基于投影模型的區間直覺模糊多屬性決策方法研究

曾守楨，駱丹丹

(1.寧波大學 商學院,浙江 寧波 315211； 2.復旦大學 管理學院,上海 200433)

0 引言

直覺模糊集[1]同時考慮了事物隸屬度、非隸屬度和猶豫度，因而在處理不確定和模糊信息方面更具優勢。但在實踐中，由于決策問題的復雜性和多樣性，使得評價者或決策專家難以準確給出評價意見的隸屬度，更多時候只能給出隸屬度和非隸屬度的大致區間。鑒于此，Atanassov 和Gargov[2]對直覺模糊集進行了推廣，提出了區間直覺模糊集的概念，并研究了區間直覺模糊集的運算法則、拓撲結構等基礎理論。因其具備較強的實用性，區間直覺模糊集得到了學界的廣泛關注，相應的成果也較為豐富[3～7]。

在眾多相關成果中，投影法[8,9]是一種概念清楚、涵義明確、計算簡單的決策方法，目前已經成功應用于各類直覺模糊多屬性決策問題。比如，Xu和Hu[10]在直覺模糊集模的基礎上，重新定義了直覺模糊投影的概念，并將其應用于多屬性投資問題；衛貴武[11]提出了一種直覺模糊多屬性投影決策方法，其通過備選方案在虛擬正、負理想方案上的投影，計算出每個方案關于正、負理想方案的相對隸屬度，從而得到所有方案的排序結果。另外，針對屬性權重完全未知的直覺梯形模糊多屬性決策問題，鞏奕成等[12]提出了一種直覺梯形模糊灰關聯投影尋蹤動態聚類法，該方法根據灰關聯投影值的大小對備選方案進行分類、排序和擇優；針對屬性值為區間直覺模糊的多屬性決策問題，王曉等[13]提出了基于區間直覺模糊投影思想的目標規劃模型，利用得到的屬性權重，結合區間直覺模糊數的得分函數和精確函數對方案進行排序和決策；邵良杉[14]等提出了一種基于前景理論的雙向投影決策方法，其利用區間直覺模糊熵和方案區間投影總偏差最小的非線性規劃模型，求解屬性權重；吳堅等[15]也提出了一種基于投影法的區間型多屬性決策兩階段優化模型。

然而，現有投影方法在定義和應用等方面仍存在比較大缺陷。特別是，在度量投影向量之間的相近程度或者相關關系方面，有待進一步研究。比如，Xu等[16]指出，經典的投影方法并不能完全度量兩個向量之間的相似關系，特別是，當投影向量的模比被投影向量的模大時，投影值大小并不能反映其相似程度；Chuan[17]也對投影方法的缺陷進行了分析，指出現有投影方法受投影向量模的約束，只有當兩個向量的模滿足一定關系時，投影關系才成立。

綜上所述，雖然區間直覺模糊集已廣泛應用于多屬性決策問題，但對基于投影方法的區間直覺模糊多屬性問題，尚需提出更有效的解決思路。本文立足于這一問題，首先提出了一種改進的區間直覺模糊投影方法，并根據正負理想方案與備選方案的投影關系構建了屬性權重的求解模型,最后提出了一種基于改進投影值的新貼近度公式，以實現對備選方案進行擇優排序，能有效克服現有方法的缺陷。

1 區間直覺模糊集定義與運算

Atanassov和Gargov[2]在直覺模糊集的基礎上提出了區間直覺模糊集，定義如下：

定義1[2]設Z是一個非空集合，則稱

(1)

(2)

(3)

(4)

2 區間直覺模糊投影方法

在經典投影方法的基礎上[8,9]，文獻[13,14]提出了區間直覺模糊集的投影概念，定義如下:

(5)

(6)

(7)

(8)

3 基于投影模型的屬性權重不完全的區間直覺模糊決策方法

設A={A1,A2,…,Am}為決策問題的方案集，G={G1,G2,…,Gn}為屬性集，其屬性權重向量為w=(w1,w2,…,wn)T。在進行多屬性決策時，一般需要事先給出屬性的權重。但是，客觀事物的不確定性、人類思維的模糊性以及時間壓力、知識和數據缺乏等，均會導致專家提供的屬性權重信息不完全?，F假設不完全權重信息結構可以表示為如下形式[18]：

(1)弱序：{wi≥wj}；

(2)嚴格序：{wi-wj≥αi(>0)}；

(3)倍序：(wi≥βiwj),0≤βi≤1；

(4)區間序：{γi≤wi≤γi+ε}i,0≤γi≤γi+εi≤1；

(5)區別序：{wi-wj≥wk-wl},j≠k≠l。

為方便起見，用H表示專家提供的不完全屬性權重信息集。如何通過已知的評價信息和不完全權重信息，實現方案的排序優選是學界一直關注的問題。下面，利用本文提出的區間直覺模糊投影方法來處理該類問題，以驗證方法的可行性和科學性。

第三步，建立投影優化模型。確定屬性權重的一個重要原則是，要使每個決策方案的評價值更接近正理想方案，同時盡可能遠離負理想方案。因此，需要建立投影模型以確定屬性權重，有：

(9)

由于上述2個目標的重要性程度相同，因而模型1可轉化為如下的單目標規劃。不失一般性，記為模型2，滿足：

(10)

通過求解上述模型，可得出指標的權重向量：w=(w1,w2,…,wn)T。

第四步，方案優選排序。針對區間直覺模糊信息的方案排序問題，邵良杉和趙琳琳[14]提出了一種基于傳統投影方法的區間直覺模糊信息TOPSIS方法，該方法首先計算方案Ai(i=1,2,…,m)的相對貼近度C(Ai)(i=1,2,…,m)，有：

(11)

然后根據貼近度C(Ai)的大小對方案進行排序，即C(Ai)越大，備選方案Ai(i=1,2,…,m)越優。

但是，最近有學者[19,20]發現，在一些現實評價與決策問題中，通過上述定義的相對貼近度得到的最大方案，有時并不能同時滿足與正理想解最近A+和與負理想解A-最遠的基本準則。另外，如前所述，傳統投影方法還受到投影向量模大小的約束。因此，為改進上述兩方面的缺陷，下面提出一種基于改進投影模型的TOPSIS新貼近度計算方法，有:

(12)

4 實例分析

表1 區間直覺模糊評價信息

下面，根據前文提出的方法，對上述問題進行決策。

第一步，根據評價信息確定正理想方案和負理想方案，分別滿足：

A+=(([0.5,0.6],[0.1,0.3]),([0.7,0.8],[0.1,0.2]),

([0.5,0.6],[0.2,0.4]),([0.6,0.8],[0.1,0.2]))

A-=(([0.2,0.4],[0.3,0.4]),[0.1,0.3],[0.5,0.6]),

([0.2,0.4],[0.4,0.5]),([0.2,0.3],[0.4,0.6]))

第二步，利用(8)式，分別計算備選方案Ai(i=1,2,…,5)在正理想方案A+和負理想方案A-上的加權投影結果，有：

第三步，根據方程(10)，構建基于區間投影方法的權重優化求解模型，有：

通過求解上述優化模型，得到屬性權重向量為w=(0.15,0.4,0.2,0.25)T。

第四步，根據求解的屬性權重大小，計算方案Ai(i=1,2,…,5)在正理想方案A+和負理想方案A-上的加權投影值，有：

然后，根據方程(12)計算每個方案的貼近度：

CI′(A1)=-0.72,CI′(A2)=-1.01,CI′(A3)=0
CI′(A4)=-0.92,CI′(A5)=-1.22

第五步，利用CI′(Ai)(i=1,2,…,5)的計算結果，對所有方案Ai(i=1,2,…,5)進行綜合排序，有：A3?A1?A4?A2?A5,因此，最佳備選方案為A3。

此處，為更好突出本文所提方法與現有方法的區別，下面利用邵良杉和趙琳琳[14]提出的傳統投影方法，計算每個方案的貼近度C(Ai)(i=1,2,…,5)，可得：

CI(A1)=0.52,CI(A2)=0.48,CI(A3)=0.67

CI(A4)=0.47,CI(A5)=0.44

因CI(A3)>CI(Ai)(i=1,2,4,5)，可得到最佳備選方案為A3，與本文提出的方法得到的最優備選方案一致。但是，該方法得到的完整排序結果為A3?A1?A2?A4?A5，與本文得到的結果略有差別，主要體現在方案A2和A4排序上。主要原因在于，在CI(Ai)的計算過程中，有：

|A2|(=1.811)>|A-|(=1.603)
|A4|(=1.712)>|A-|(=1.603)

該結果不能滿足傳統區間直覺模糊投影方法中關于模大小的約束條件。根據前面的分析可知，由此計算得出的投影值不合理，而本文提出的區間直覺模糊投影方法，能有效改進該問題，且提出的新貼近度方法在一定程度上解決了現有方法中關于同一方案會同時接近正負理想解的困境。

另外，值得注意的是，CI(Ai)(k=1,2,3,4,5)的計算結果都非常接近，而本文提出的新貼近度CI′(Ai)(i=1,2,3,4,5)大小變化明顯，說明CI′(Ai)在計算區分度上比CI(Ai)要敏感，這也是本文方法較傳統方法的另一大優勢。

5 結論

本文研究了基于投影模型的區間直覺模糊多屬性決策方法，主要創新工作如下：(1)針對區間直覺模糊投影方法存在的缺陷，提出了一種改進的區間直覺模糊投影方法。該方法不受投影向量模大小的約束，能更有效地度量投影向量之間的相關程度；(2)基于該新投影方法，利用正負理想方案與備選方案的投影關系，構建了區間直覺模糊多屬性問題中的屬性權重求解模型，計算簡潔高效；(3)設計了一種基于投影模型的區間直覺模糊TOPSIS方法，并給出了一種新貼近度計算思路，能有效解決最優方案不能同時滿足與正理想解最近和與負理想解最遠的困境，且實證結果表明，該方法在計算區分度上比現有方法更科學有效。