基于排隊系統(tǒng)的偏好差異性顧客服務策略分析

李武強， 倪冠群， 許曉晴

(1.長安大學 經(jīng)濟與管理學院,陜西 西安 710064; 2.福建農(nóng)林大學 管理學院,福建 福州 350002)

0 引言

在諸如咨詢、醫(yī)療診斷、個人護理等服務中，良好的服務體驗往往需要服務員耐心、專注且較長時間的投入，服務效果與服務時間呈正相關關系，具有此類特征的服務也被一些研究者稱為顧客密集型服務(Customer-intensive Service)[1～3]。

如何協(xié)調服務質量與排隊等待是顧客密集型服務研究關注的重點，由于排隊模型能夠較好的反映服務系統(tǒng)中的排隊現(xiàn)象[6,7]，因此許多學者結合排隊論對此問題進行了研究。Anand等[1]從顧客密集型服務的共性特征出發(fā)，基于M/M/1模型研究了同質顧客情景下，服務商如何協(xié)調服務質量與效率才能達到系統(tǒng)最優(yōu)的問題；Debo等[8]針對服務信息不明確且顧客選擇具有從眾效應的情景進行了研究，指出服務速度的設定應以維持一定的隊長為前提；Tong等[9]基于創(chuàng)新導致固定服務時間減少情景，對將“減少的時間”用于提升服務質量還是服務更多顧客的問題進行研究；另外，還有周華等[10]對如何選擇服務專家技能水平的研究，Chan等[11]對服務效果較差時會重新服務現(xiàn)象的研究等。然而上述研究并未考慮到顧客的差異性，且僅提供一項服務。

事實上不同顧客對于服務的偏好存在差異，其感受到的效用也不一樣[12,13]，而服務商在此情景下如何優(yōu)化服務，實現(xiàn)收益最大化也是需要關注的問題。相關研究方面，Afèche[14]針對偏好和時間敏感程度都存在差異的顧客，研究了如何提供差異性的價格和延遲時間策略的問題；Zhou等[15]基于不同偏好顧客從服務所獲效用不同的現(xiàn)象，對于差異性顧客如何統(tǒng)一定價的問題進行了分析；劉健等[16]基于顧客不公平規(guī)避偏好心理，分別從社會成本最小化和企業(yè)收益最大化角度對是否保留優(yōu)先權顧客并收取優(yōu)先服務費用的問題進行了研究；Mccrossan等[17]則從診斷技術偏好角度研究了不同顧客人群對于遠程診斷服務的選擇問題。但上述研究更關注于服務響應時間，服務方式對于服務系統(tǒng)優(yōu)化的影響，沒有考慮到服務時間的長短對于顧客感受以及服務選擇的影響。

顧客往往會根據(jù)具體服務情景決定是否選擇服務[18]，而已有研究也表明為不同的顧客提供針對性的服務策略能夠有效提高系統(tǒng)收益[19,20]。現(xiàn)實中，服務商為了節(jié)省成本以及滿足顧客偏好，往往會在原有服務框架的基礎上，對局部內(nèi)容進行調整形成新的服務，并設定新的價格，期望獲得更大的收益，如許多SPA服務僅僅只是耗材方面存在差異。由于主要的成本支出如服務人員、固定投資，以及流程等并未發(fā)生明顯改變，因此新的服務在服務時間以及成本方面與原來服務并無顯著差異。這也就意味著，服務商為差異性顧客提供了具備相同服務時間及成本的多種服務。在此情景下，服務商如何對多種服務共用的服務流程(服務時間)進行調整，價格如何設定才能到達收益最大化？

1 基本假設

本文基于M/M/1排隊模型對單一服務商展開分析，顧客一旦選擇排隊就不能中途退出，服務規(guī)則為先到先服務且每次僅能服務一人。為了簡化分析，本文假定存在兩類不同偏好的顧客，而服務商則根據(jù)顧客偏好提供兩類服務，定義為服務j，j∈{1,2}。兩類服務的服務速度沒有明顯區(qū)別，服從參數(shù)為μ的指數(shù)分布，價格分別為pi。總的顧客到達速率(潛在到達速率)服從系數(shù)為Λ的泊松分布，當顧客到達服務點后將根據(jù)服務效用與成本決定是否選擇服務，其中選擇服務的顧客的到達速率(有效到達速率)為λ；根據(jù)偏好的不同可將顧客定義為i類顧客，i∈{1,2}，其中1類顧客所占比例為q，2類顧客為(1-q)，兩類顧客的單位時間等待成本c是相同的。

由于顧客存在服務偏好差異，不同的顧客即使從同一種服務所獲得的效用也是不同的[14]，本文將服務j對于i類顧客的基準效用定義為vij；基于1類顧客更偏好服務1，2類顧客更偏好服務2的設定且不失一般性，假定min{v11,v22}>max{v12,v21}。定義δ=v22-v11>0，結合現(xiàn)實可以認為服務2相對于服務1是更符合當前需求方向的服務。本文設定為完全信息情景，服務商和顧客對彼此的信息完全了解。另外，由顧客密集型服務中顧客所獲效用為服務時間遞增凹函數(shù)的特點，結合Anand等[1]的研究定義顧客i由服務j所獲效用為Uij(μ)=vij-αμ，其中α為顧客關于服務時間的敏感程度。

結合M/M/1排隊系統(tǒng)的相關研究可知，當μ<λ時顧客的平均逗留時間W=1/(μ-λ)。由此可得，一定服務速度和價格情景下顧客凈效用為Unij(μ,pj)=Uij(μ)-pj-c/(μ-λ)。

假定Unij≥0時，顧客選擇服務。結合現(xiàn)實情景可知，當服務商面對兩類顧客時，其可選擇的基本策略有以下六種：

S1：僅服務1類顧客，排隊隊列中僅有1類顧客；

S2：僅服務2類顧客，排隊隊列中僅有2類顧客；

S3：公平策略，同時服務兩種顧客，且使兩類顧客選擇服務的狀態(tài)相同；

S4：優(yōu)先服務1類顧客；

S5：優(yōu)先服務2類顧客；

S6：不服務任何顧客。

以上基本策略中，S1和S2可稱為排他性服務策略，因為另一種顧客被排除在服務范圍之外；S3為公平服務策略，兩類顧客要么同時全部選擇服務，要么同時部分選擇服務；S4與S5則屬于優(yōu)先服務策略；S6策略下服務商收益為零，不予考慮。

2 排他性服務策略分析

在M/M/1排隊系統(tǒng)下，兩類顧客的等待時間是相同的。若服務商僅為i類顧客提供服務，那么最直接的方法就是為服務j設定足夠高的價格，使得任何顧客選擇服務j時凈效用都為負，其中i≠j。另外，當僅有服務i可被選擇時，服務商的最優(yōu)策略為設定合適的服務速度μ和價格pi，使得Unii(μ,pi)=0；由假設min{v11,v22}>max{v12,v21}可知，此時若j類顧客選擇服務i則其凈效用Unji(μ,p)

定義f(i)=q2-i(1-q)i-1，當i=1，2時f(i)分別為q，1-q。

根據(jù)顧客對于服務的選擇情況，可將Si策略下的情景分為三種：(1)所有i類顧客選擇服務，Unii(μ,pi|λ=Λf(i))≥0；(2)無顧客選擇服務，Unii(μ,pi|λ=0)<0；(3)僅部分i類顧客選擇服務，Unii(μ,pi|λ∈(0,Λf(i))=0。其中，由于情景(2)沒有顧客選擇服務，所以不予分析。由以上條件可知在策略Si情景下，對于一定服務速度μ、pi，有效到達速率為:

(1)

上式中由上至下分別代表了所有i類顧客、部分i類顧客選擇服務的情況。由此可將服務商的收益表述為:

maxRSi(μ,pi)=piλ(μ,pi)

s.t.Unij(μ,pj)<0,i≠j

(2)

由于策略Si實質上屬于同質顧客選擇服務情景，因此可參考Anand等[1]的研究直接得出結論。

3 公平服務策略S3分析

在公平策略情景下，服務商會設定合適的服務速度和價格，使得兩類顧客選擇服務的狀態(tài)相同，存在以下三種情況：(1)兩類顧客全部都選擇服務；(2)無顧客選擇服務；(3)兩類顧客分別僅有部分選擇服務。總的有效到達速率λ由1類顧客的有效到達速率λ1以及2類顧客的有效到達速率λ2兩部分組成。由于兩類顧客各自可選的服務都有兩種，情況比較復雜，因此下文首先對顧客選擇以及均衡狀態(tài)下的隊列結構進行了分析。

3.1 服務選擇及隊列結構分析

引理1隊列均衡狀態(tài)下，服務商的最優(yōu)策略必然使得1類顧客選擇服務1，2類顧客選擇服務2。

證明根據(jù)上文所述的3種情景，分別證明引理1。

1)所有顧客都選擇服務

當所有顧客都選擇服務時，根據(jù)顧客對服務的選擇可分為：①兩類顧客各自同時選擇兩種服務；②一類顧客同時選擇兩種服務，另一類顧客僅選擇一項服務；③兩類顧客分別選擇不同服務。此處將采用排除法證明。

①首先，證明1類顧客和2類顧客不可能同時都選擇兩種服務。

在均衡狀態(tài)下，若1類顧客同時選擇兩種服務，則必然是因為這兩類服務對于1類顧客的收益是相同的，否則1類顧客會選擇其中收益較高的那個服務，因此可得Un12(μ,p2)=Un11(μ,p1)，由此可知:

v12-p2=v11-p1?p1-p2=v11-v12>0

(3)

同理，若2類顧客同時選擇兩種服務，則存在Un21(μ,p1)=Un22(μ,p2)，由此可知:

v21-p1=v22-p2?p1-p2=v21-v22<0

(4)

易知式(3)和(4)相互矛盾。因此可得1類顧客和2類顧客不可能同時都選擇兩種服務。

②其次，證明一類顧客同時選擇兩種服務，另一種顧客僅選擇一項服務亦非最優(yōu)情景。此情景的證明分為兩種情況，如下所示。

第一，證明i類顧客同時選擇兩種服務，而j類顧客僅選擇服務i非最優(yōu)情景,i≠j。與證明①類似，此處省略。

第二，證明i類顧客同時選擇兩種服務，而j類顧客僅選擇服務j非最優(yōu)情景,i≠j。

同理可得，2類顧客同時選擇兩種服務，而1類顧客僅選擇服務1非最優(yōu)情景。

綜上可知，情景②非最優(yōu)情景。

③最后，證明i類顧客選擇服務i的情景要優(yōu)于i類顧客僅選擇服務j的情景,i≠j。

若i類顧客選擇服務j而非服務i，則表明其選擇服務j的凈效用更高，即Unij(μ,pj)≥Unii(μ,pi)，由此可以得出:

Un12(μ,p2)≥Un11(μ,p1)?p1-p2≥v11-v12>0

(5)

Un21(μ,p1)≥Un22(μ,p2)?p1-p2≤v21-v22<0

(6)

綜上所述，由證明①、②及③可知，當所有顧客都選擇服務時，在服務商的最優(yōu)策略下，1類顧客選擇服務1，2類顧客選擇服務2。

2)無顧客選擇服務

無需證明。

3)部分顧客選擇服務

在公平策略中，若部分顧客選擇服務，則所有顧客的凈效用均為零；否則，未選擇服務的顧客會加入排隊隊列，使得等待成本上升。這些顧客的加入會導致兩種結果，要么即使所有顧客都加入，其凈效用依然大于零，此時轉變?yōu)榍榫?)所有顧客選擇服務；要么等待時間的變長使得顧客所得收益為零，不再有新顧客加入。因此，當部分顧客選擇服務時，必然是所有顧客凈效用為零。根據(jù)顧客對服務的選擇，將其表示為:

Un11(μ,p1)=U11(μ)-p1-c/(μ-λ)=0

(7)

Un12(μ,p2)=U12(μ)-p2-c/(μ-λ)=0

(8)

Un22(μ,p2)=Un22(μ)-p2-c/(μ-λ)=0

(9)

Un21(μ,p1)=U21(μ)-p1-c/(μ-λ)=0

(10)

由于min{v11,v22}>max{v12,v21}，因此(7)和(10)、(8)和(9)不可能同時存在。這就意味著，顧客對服務選擇的情景只有兩種，即a.1類顧客選擇服務1，2類顧客選擇服務2；b.1類顧客選擇服務2，2類顧客選擇服務1。顯然，情景a要優(yōu)于情景b。

通過上述三種情景的證明，可知在服務商的最優(yōu)策略下，1類顧客選擇服務1，2類顧客選擇服務2。

引理2-1隊列均衡狀態(tài)下，當服務所有顧客時，服務商的最優(yōu)策略為使得所有顧客凈效用為零。

若存在i類顧客的凈效用大于零，此時若保持服務速度不變，僅在保證所有顧客選擇服務的前提下適當提高服務價格使得此類顧客凈效用為零，即可使服務商獲得更高收益。由此可知，當所有顧客都加入排隊隊列時，服務商最優(yōu)策略是采用合適的價格使得顧客凈效用為零。而僅有部分顧客選擇服務時，則其凈效用必然為零。

引理2-2隊列均衡狀態(tài)下，當僅服務部分1類顧客和2類顧客時，顧客凈效用為零。

引理3在最優(yōu)的公平策略S3情景下，λ1/λ2=q/(1-q)。

證明首先，當服務商采用公平策略服務全部顧客時，顧客有效到達速率即為潛在到達速率，因此λ1/λ2=q/(1-q)。

其次，當服務商采用公平策略服務部分顧客時，由引理2-1和2-2可知，服務商為了獲得最大收益必然會制定相應的策略，使得i類顧客僅選服務i，且隊列均衡狀態(tài)下所有顧客的凈效用Unii(μ,pi)=0。另外可知:

1類顧客選擇服務的決策依據(jù)為：Un11(μ,p1)=v11-αμ-p1-c/(μ-λ)≥0;

2類顧客選擇服務的決策依據(jù)為：Un22(μ,p1)=v22-αμ-p2-c/(μ-λ)≥0。

定義z為顧客從服務所獲效用與支付價格之差，由Unii(μ,pi)=0可知z=v11-αμ-p1=v22-αμ-p2，因此可以將1類、2類顧客選擇服務的決策依據(jù)改寫為Un=(μ)=z-c/(μ-λ)≥0，這表明最優(yōu)的公平策略下顧客是否選擇服務與顧客類型無關。由M/M/1模型隊列均衡狀態(tài)的特征可知，在充分小的時間段[t,t+Δt)到達1個有效顧客的概率為λΔt，此顧客的類型僅依賴于潛在顧客的結構，即其為1類顧客的概率為q，2類顧客的概率為(1-q)，因此可知在[t,t+Δt)到達1個1類顧客的概率為qλΔt，2類顧客的概率為(1-q)λΔt，所以隊列均衡狀態(tài)下1類顧客與2類顧客的有效到達速率之比為q(1-q)。

綜上可知，在最優(yōu)的公平策略S3情景下λ1/λ2=q/(1-q)。

3.2 模型構建及策略分析

由引理3可知一定價格pj以及服務速度μ情況下，1類顧客的有效到達速率λ1=qλ(μ,pj)，2類顧客的有效到達速率λ2=(1-q)λ(μ,pj)，因此服務商的收益函數(shù)可表述為R(μ,pj)=[p1q+p2(1-q)]λ(μ,pj)。

同時，由引理2-1和2-2可知，服務商為了獲得最大收益會設定相應的策略使兩類顧客的凈效用均為零，即Un11(μ,p1)=Un22(μ,p2)=0，由此可得p2=p1+δ，將其代入R(μ,pj)后服務商的收益函數(shù)轉變?yōu)榛?類顧客的函數(shù)。綜上可得，策略S3情況下服務商的目標函數(shù)為:

maxR(μ,p1)=[p1+(1-q)δ]λ(μ,p1)

(11)

由上式可得最優(yōu)公平策略。

4 優(yōu)先服務策略分析

4.1 策略S4分析

策略S4為優(yōu)先服務1類顧客，結合上文最優(yōu)策略的規(guī)律以及顧客的服務選擇，可將服務狀況分為三個階段：1)當潛在到達速率較少時，服務所有顧客；2)當潛在到達速率大于某個臨界值時，服務所有1類顧客以及部分2類顧客；3)當潛在到達速率足夠大時，僅服務1類顧客。其中，階段1)與策略S3中服務所有顧客情景是相同的；階段3)則與策略S1相同。因此，僅有階段2)屬于策略S4的獨有情景，所以本部分進一步將策略S4定義為“服務所有1類顧客以及部分2類顧客”的策略，并對其進行討論。

若要保證所有1類顧客以及部分2類顧客選擇服務，則需保證λ>qΛ，即總的有效到達速率大于1類顧客的潛在到達速率，且:

Un11(μ,p1)=U11(μ)-p1-c/(μ-λ)>0

(12)

Un22(μ,p2)=U22(μ)-p2-c/(μ-λ)=0

(13)

其中，(12)式表明1類顧客選擇服務1的凈效用大于零，由此可確保所有1類顧客都會選擇服務；而(13)式則是僅部分2類顧客選擇服務的必要條件。

易知，在所有1類顧客都選擇服務的前提下，提高服務1的價格，使得Un11(μ,p1)→0+時，不會影響1類顧客的服務選擇且能使服務商獲得更大收益。因此，可取極限值令服務1價格p1=U11(μ)-c/(μ-λ)。而顧客有效到達速率λ(μ,p2)則由式(13)確定，此時可得服務商的收益:

maxR(μ,p2)=max{p1qΛ+p2(λ(μ,p2)-qΛ)}

=max{p2λ(μ,p2)}-qδΛ

(14)

式(14)中前半部分是僅服務部分2類顧客時服務商的收益最大化問題，而后半部分則與決策變量無關。

4.2 策略S5分析

同策略S4分析類似，可進一步將策略S5定義為“服務所有2類顧客以及部分1類顧客”的策略。同樣，若要保證服務所有2類顧客以及部分1類顧客，則需保證λ>(1-q)Λ,且Un11(μ,p1)=0，Un22(μ,p2)>0。令p2為Un22(μ,p2)→0+的極限值，可得服務商的目標收益函數(shù)maxR(μ,p1)=max{p1λ(μ,p1)}+(1-q)δΛ。與策略S4分析類似，此處直接給出結論。

5 最優(yōu)策略分析

(15)

通過以上三部分的分析比較，可給出服務商在不同潛在到達速率情景下的最優(yōu)策略，如下所示。

定理7服務商的最優(yōu)選擇為

由定理7可知，隨著潛在到達速率的增加，有效顧客中1類顧客所占比例越來越少。另外，三種基本策略關于潛在到達速率的適用范圍僅與1類顧客特征相關，這主要是因為服務商從1類顧客所獲得的收益相對較少，策略變更的主要目的在于調整有效顧客中1類顧客的比例，從而保障更多的2類顧客選擇服務。這也在一定程度上說明當顧客足夠多時，服務商更愿意提供符合當前需求傾向的服務，而服務1相對來說僅僅是潛在顧客較少時避免服務資源浪費的手段。

6 算例分析

假定某服務商提供兩種服務，服務1對于1類顧客的基準效用v11=12，服務2對于2類顧客的基準效用v22=14，兩類顧客對服務的敏感系數(shù)均為α=1，單位時間等待成本c=1，潛在顧客中1類顧客所占比例q=0.4。

圖1 各基本策略的收益

圖2 最優(yōu)策略下各類顧客的有效到達速率

圖3顯示了在最優(yōu)策略下服務價格及速度的變化情況，其中當Λ∈(5,8.33)時p2應略低于虛線所示價格，以保證所有2類顧客選擇服務；當Λ≥8.33時p1應大于虛線所示價格，以便將1類顧客排除在服務范圍之外。整體上來看，服務速度是關于潛在到達速率的非減函數(shù)，而服務價格則相反，這種情況也反映了顧客密集型服務的特點，即隨著服務時間的減少，顧客愿意支付的價格也隨之降低。另外，價格p1與p2線段在不同階段呈平行關系，且二者之差與基準效用v11、v22的差相關。

圖3 最優(yōu)策略下的服務價格與速度變化情況

7 結論

現(xiàn)實中，顧客對服務的偏好是不同的，而服務商為了滿足顧客的偏好，往往會在原有服務框架的基礎上，對局部內(nèi)容進行調整形成新的服務。另外，在很多情景下這些服務都可以由同一個服務人員或者團隊提供，并且服務時間和過程往往沒有顯著差別。本文針對上述情景進行研究，結果發(fā)現(xiàn)：①采用區(qū)別定價的策略能夠使得服務商獲得最大收益，且價格設置的基準為使得顧客從偏好服務中所獲凈效用盡可能的小；②有效到達速率中1類顧客所占比例(λ1/λ)是關于潛在到達速率的非増函數(shù)，其主要原因在于服務商能夠從每位2類顧客獲得更高的收益，當潛在顧客增加時可以通過服務定價將1類顧客排除在服務范圍之外，從而達到服務更多2類顧客的目的；③服務速度是關于潛在顧客到達速率的非減函數(shù)，而價格則相反，這一現(xiàn)象由顧客密集型服務的特點決定，即顧客愿意為較長時間的服務支付較高的價格。

另外，從服務效率來看，隨著顧客群體的增加，最優(yōu)策略存在兩個“瓶頸期”，即單位時間內(nèi)完成服務的顧客數(shù)量保持不變。其一為優(yōu)先服務策略階段，其二為排他性策略階段且顧客群體大于一定臨界值時。出現(xiàn)此現(xiàn)象的主要原因是在此階段服務商需要維持一定的等待時間，以保證有相應的顧客參與服務。而服務商收益在第一個瓶頸期保持增長，在第二個瓶頸期達到最大。