Heston隨機波動率模型下帶負債的投資組合博弈

楊 璐， 朱懷念， 張成科

(1.廣東工業大學 管理學院,廣東 廣州 510520; 2.廣東工業大學 經濟與貿易學院,廣東 廣州 510520)

0 引言

投資組合問題一直是學術界研究的熱點，無論從理論還是實踐的角度，都具有很大的價值。Merton[1]是連續時間投資組合的先導者，其開創了“連續時間金融”這個領域。從投資的角度講，資產負債管理問題就是投資人的財富過程扣除負債后的投資組合問題。近些年，資產負債管理問題引起了學者們的廣泛注意，同時在理論界和金融機構也得到了快速發展。在目前的文獻中，大部分學者采用均值-方差準則或者效用最大化準則進行研究。對于前者，Chiu和Li[2]研究了連續時間下風險資產的價格和負債過程均服從幾何布朗運動的資產負債管理問題。Leippold等[3]研究了離散時間的多期資產負債管理問題。Chen等[4]、Chen和Yang[5]把Chiu和Li[2]以及Leippold等[3]的模型擴展到了Markov體制轉換市場進行研究。Pan和Xiao[6]研究了隨機利率和通脹風險下的資產負債管理問題。最近，一些文獻開始專注時間一致的資產負債管理問題。Wei等[7]及Wei和Wang[8]研究了馬爾科夫體制轉換市場中的時間一致資產負債管理問題。Zhang等[9]研究了狀態依賴風險規避的資產負債管理問題。對于后一種效用最大化準則，Pan和Xiao[10,11]研究了隨機利率和流動約束下的最優資產負債管理問題。曾燕等[12]以最大化投資人終端時刻資產負債比率為目標，研究了連續時間框架下的資產負債管理問題，得到了最優投資策略和值函數的解析表達。在風險資產服從Heston模型方面：謝超強等[13]用指數效用準則研究了風險偏好視角的資產負債管理問題；而馬娟等[14]用HARA效用準則研究了資產負債管理問題。

上述研究都是針對單個投資人展開分析的，然而現實環境錯綜復雜，有必要把競爭因素考慮進去，而博弈論可以對該因素進行很好地闡釋。在關于投資組合微分博弈方面的文獻，主要有零和微分博弈和非零和微分博弈。在零和微分博弈方面：Browne[15]是最早進行研究的；Elliott和Siu[16]研究了馬爾科夫體制轉換模型下保險人同金融市場之間的零和隨機微分博弈問題，通過求解該博弈的均衡策略得到了保險人的最優投資策略；Mataramvura和?ksendal[17]在跳擴散金融市場中研究了風險最小化的投資組合博弈問題；楊鵬[18]研究了具有交易費用和負債的投資人與金融市場之間的零和隨機微分博弈問題。然而，對于金融市場之間的非零和博弈問題：Espinosa和Touzi[19]最先研究；吳輝和馬超群[20]研究了常彈性方差模型下的非零和投資組合博弈問題；Basak和Makarov[21]研究了Black-Scholes模型下的非零和投資組合博弈問題；Guan和Liang[22]研究了通脹風險下兩個DC型養老金投資者的隨機Nash微分博弈問題，通過最大化投資者終止時刻個人財富與競爭對手的財富之比的效用，運用隨機動態規劃的方法，Nash均衡策略的顯式表達式被求解出來。由此，可以看出，在帶負債的投資組合管理問題中,很少考慮到投資人之間的競爭因素，且目前在效用最大化準則下基于Heston模型的資產負債管理問題尚未有學者進行研究。所以，我們研究基于期望效用最大化準則帶負債的投資組合博弈問題是一件有意義且富有挑戰性的工作。

1 金融市場

本文是在不考慮交易成本和稅收費用連續的金融市場中進行研究的。首先，我們進行了一些設定。然后，給出了金融市場中無風險資產和風險資產的價格過程。最后，給出了投資人扣除負債后的凈財富過程。

1.1 基本設定

設(Ω,F,{Ft}t∈[0,T],P)是一個完備的概率空間，其中P是給出的參考概率測度，{Ft}t∈[0,T]是定義在完備的概率空間上滿足常規假設的σ-域流。B(t)=(BS(t),BV(t))是在完備的概率空間上定義的一個標準的二維布朗運動，且BS(t)和BV(t)相互獨立。

1.2 資產價格過程

假設金融市場中無風險債券的價格S0(t)滿足如下的常微分方程

dS0(t)=rS0(t)dt,S0(0)=1

(1)

其中r為無風險利率。風險資產股票的價格過程S(t)在t時刻服從如下方程

(2)

股票價格波動的方差滿足如下的隨機微分方程

(3)

1.3 投資人的財富過程

假設金融市場中有兩個投資人，記為k，k∈{1,2}。

(4)

其中xk0表示投資人k的初始財富。

類似Li等[23]，假設兩投資人在時間區間[0,T]內面臨一個相同但不可控的與隨機波動有關的外生負債L(t)，其演化過程服從如下隨機微分方程

(5)

其中μL≥0和σL≥0分別為外生負債的預期增長率和波動率，ρL∈(-1,1)為負債和股票價格方差之間的相關性，η2表示風險源BV(t)的市場價格參數，l0表示初始負債。

投資過程中，投資人往往關注的是其凈資產的多少。因此，扣除負債后，投資人k∈{1,2}的凈資產可表示為

(6)

投資人k的所有可行策略πk(t)的集合記為Πk(k∈{1,2}),其所有可行策略應當滿足如下的條件

①πk(t)是Ft-循序可測、右連左極的實值過程；

2 非零和博弈問題

下面基于期望效用準則研究非零和隨機微分博弈問題。

(7)

類似于Espinosa和Touzi[19]及吳輝和馬超群[20]，投資人k的目標是最大化終端時刻T相對于其競爭對手相對財富的期望效用，即投資人k相對于投資人m≠k∈{1,2}的財富過程的效用如下式

=zk,L(t)=l,V(t)=v]

(8)

式(8)為投資人自身與競爭對手終端時刻財富相對差距的效用，其中投資人k對其競爭對手相關排名的看重程度記為λk∈[0,1]，也表示權重因子。

(9)

(10)

下面考慮問題(10)在冪函數下的最優問題，即投資人k∈{1,2}的效用函數形式如下

(11)

其中γk<1，γk≠0表示相對風險厭惡系數。

(12)

3 最優投資策略

在這一部分，我們將借助動態規劃原理給出問題(12)的納什均衡策略。定義值函數為

=zk,L(t)=l,V(t)=v]

(13)

對任意的函數Ψk(t,zk,l,v)和可行策略πk∈Πk，定義生成元為

(14)

根據動態規劃原理，可得生成元滿足

(15)

類似Guan和Liang[22]，效用最大化問題(10)的HJB方程可表示為

(16)

我們對上式中的πk求一階導數，可以得到

(17)

對式(17)中的k和m賦值，解方程組可以得到

(18)

把式子(17)代入式子(16)，經過化簡整理得到

(19)

設值函數為

(20)

(21)

(22)

把式子(22)代入到式子(19)，經過化簡整理分離變量得

(23)

式子(23)若要成立，則需要滿足下式

(24)

(25)

其中

(26)

綜合上述分析可得下述定理。

定理1對于非零和博弈問題(10)，假設λkλ2≠1，且投資人k={1,2}的效用函數為式(11)，則投資人k={1,2}的最優投資策略和最優值函數分別為

(27)

(28)

4 數值模擬

表1 基本參數的取值

由圖1和圖2知，投資人1的最優投資策略隨著均值回歸速率κ的增大而減少，隨著波動系數σV的增大而增大。當ρV<0時，股票價格波動V與股票價格S的運動方向相反。股票價格波動V的平均回復速率κ越大，風險資產會具有更加不穩定的波動性，投資風險加大，故投資人1會減持股票的投資份額。當σV越來越大時，由于風險資產的波動性與其價格之間的負相關性，波動性越大，風險資產的價格就越有可能上漲。因此，隨著σV的增加，投資人1將增加對風險資產的投資。投資人2的最優投資策略和投資人1的變化趨勢一致。

圖1 κ和σV對π*1的影響

圖2 κ和σV對π*2的影響

由圖3和圖4可以看出，相對風險厭惡系數的絕對值γk(k=1,2)越大，投資人1和投資人2減少風險資產的投資。當投資人1和投資人2的權重因子增大即與競爭對手的相關排名的看重程度不斷增大時，均會加大投資。

圖3 γ1和λ1對π*1的影響

圖4 γ2和λ2對π*2的影響

從圖5可知，兩個投資人的值函數隨著的增大而減小直至趨于穩定。當逐漸增大的時候，投資人會減少投資直至不投資，故其值函數逐漸減少而趨于穩定。

圖5 κ對W1和W2的影響

5 結語

在競爭日趨激烈的投資市場，考慮投資者的相對排名也變成了一個重要的因素，所以研究資產負債投資組合的博弈問題極其重要。即研究增加負債因素的兩個投資者考慮與競爭對手的相對排名時，如何在金融市場中進行投資達到效益最大。文中的非零和博弈問題被轉化成投資人的期望效用最大化問題，期望效用包括投資人本身的財富和與競爭對手財富的相對差距。假設股票的收益過程服從更符合實際環境的Heston模型，通過動態規劃方法，在冪函數效用框架下，推導出了均衡投資策略與值函數的顯式表達。進一步，在數值結果分析中，討論了均值回歸速率κ、波動系數σV、競爭系數λ1和λ2以及相對風險厭惡系數γk等參數對均衡投資策略和值函數動態行為的影響。結果表明：(1)投資人對排名比較看重，排名越靠前，越會加大投資。(2)投資人對風險越厭惡，越會減少投資。(3)當ρV<0時，κ越大，V波動的抵消效用就越弱，股票的價格波動會加劇，會加大投資的風險，則投資人會減少風險資產股票的投資。當σV越來越大時，V波動的互補效用就越強，股票價格就會有更高的收益率，投資人會增加投資。