平行公理的尺規作圖方法聚焦

蔣雪梅

(重慶市永川區朱沱鎮四明初級中學校 重慶 402160)

尺規作圖指用無刻度的直尺和圓規作圖，起源于古希臘的數學課題。只使用圓規和直尺，并且只準許使用有限次，來解決不同的平面幾何作圖題。在人教版七年級下冊第五章相交線與平行線第二節中，得到了一個基本事實，即平行公理：經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行。可是教材中已把這部分的尺規作圖簡化了，部分教師是用三步法畫平行線，一放，二移，三畫。但這個平行公理的尺規作圖又該怎么畫呢？有沒有巧妙的方法呢？下面作者聚焦了幾種以幾何原型為參照的平行公理的尺規作圖方法。

問題：已知直線l與直線外一點A，過點A作與直線l平行的直線。（要求：尺規作圖）

對于用尺規作圖來畫出平行公理中平行線的問題，從平行線判定的角度考慮，得到如下幾種尺規作圖原型。

一、平行線的判定原型

（一）同位角相等，兩直線平行

幾何原型1

畫法：1.在直線l上任取一點B，以點A為圓心，以AB長為半徑畫弧，交直線l于點C（不與B點重合）；

2.構造等腰三角形ABC；

3.作等腰三角形ABC頂角的外角∠CAD的角平分線AE，則直線AE即為所求。

證明：∵AB=AC

∴∠B=∠C

又∵∠DAC是∠BAC的一個外角，AE平分∠DAC

∴∠DAE=∠B

∴AE∥BC

（二）內錯角相等，兩直線平行

幾何原型2

畫法：1.在直線l上任取兩點B.C；

2.作∠ABC的角平分線BD；

3.以點A為圓心，AB為半徑畫圓，交射線BD于點D；

4.連接AD，直線AD即為所求。

證明：由圖可知：AB=AD

∴∠ABD=∠ADB

又∵BD平分∠ABD

∴∠ABD=∠DBC

∴∠ADB=∠DBC

∴BC∥AD

二、平行四邊形原型

（一）兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形

幾何原型3

畫法：1.在直線l上任取兩點B，C；

2.分別以A、C為圓心，BC、AB為半徑畫弧，兩弧交于點D；

3.連接AD構造平行四邊形ABCD，則直線AD即為所求。證明略。

（二）對角線互相平分的四邊形是平行四邊形

幾何原型4

畫法：1.在直線l上任取兩點B，C；

2.連接AC；

3.作AC的中點O；

4.連接BO并延長至點D，使得BO=DO；

5.連接AD，則直線AD即為所求。

證明略。

三、三角形的中位線原型

幾何原型5

畫法：1.在直線l上任取一點B，連接AB并延長至點E，使得AB=AE；

2.在直線l上再取一點C（不與B點重合），連接EC；

3.作線段EC的中點D；

4.作直線AD，則直線AD即為所求。

證明略。

四、結束語

通過參照幾何原型對平行公理進行尺規作圖，不僅給了學生尺規作圖的思考方向，而且能提高學生思考問題的能力和動手能力，多角度思考問題的能力，體現了新課標下的以學生為主體，老師為主導的思想，能使不同層次的學生得到不同的發展。