折紙視角下的橢圓概念
——“橢圓及其標準方程”教學設計優化

史瓊怡

(浙江省寧波市五鄉中學 浙江寧波 315000)

教學內容解析：

本節課是人教A版《數學》（選修2-1）第2章“圓錐曲線與方程”第2節“橢圓”的第一課時內容，主要學習橢圓的定義和標準方程。學生在必修2已初步掌握了解析幾何問題的主要方法，并在平面直角坐標系中研究了直線和圓這兩個基本的幾何圖形。本節課是在學習圓及其標準方程的基礎上，將研究曲線的方法拓展到橢圓，是繼續學習橢圓的幾何性質的基礎；同時，本節課是圓錐曲線的起始課，滲透了數學兩大體系——幾何與代數間的互相轉化，幾何問題代數化的數學思想，可為后續研究雙曲線、拋物線提供基本模式和理論基礎。因此，本節課具有承前啟后的作用，是本章的重點內容。

另外，本節內容蘊含了許多重要的數學思想方法，如數形結合思想、類比思想、化歸思想等，旨在培養學生數學抽象、數學運算、邏輯推理等核心素養。因此，教師在教學時應重視體現數學的思想方法及價值。

學生學情分析：

通過對人教A版《數學2》（必修）第三章、第四章的學習，學生初步掌握了解析幾何研究問題的主要方法——坐標法，并在平面直角坐標系中研究了直線和圓這兩個基本的幾何圖形，基本實現了數與形、代數與幾何之間的聯系。但如何將幾何問題代數化仍然是多數學生理解的難點。

本節課授課班級是筆者所在學校的普通班，數學基礎水平總體較弱，且學生普遍對數學有一定的畏難情緒，對于較復雜的計算問題，往往不知如何入手，計算能力較弱。

教學目標設置：

根據本節課的內容特點及學生的認知水平，確定本節課的教學目標：1.歸納并理解橢圓的定義；鞏固用坐標法求動點的軌跡方程，體會含有兩個根式的化簡思路。2.通過歸納橢圓概念，化簡橢圓方程，培養數學抽象、邏輯推理、數學運算等數學核心素養；學習掌握概念教學中類比、化歸等數學思想方法；3.經歷橢圓標準方程的推導，增強學生戰勝困難的意志品質，并體會數學的簡潔美、對稱美。

教學重難點：

教學重點：掌握橢圓定義及標準方程，理解坐標法的基本思想；教學難點：推導橢圓的標準方程。

教學過程分析：

一、動手實驗，觸發思考

同學們，我們每個人手里都有一張圓形紙片，今天我們用折紙游戲發現橢圓，要求如下：

1.在圓形紙片內取異于圓心F2的定點F1；2.將圓形紙片的邊緣向內折疊，使圓形紙片的邊緣過定點F1（即紙片邊緣上的一點A與定點F1重合）；3.畫出折痕（圖1）；4.重復上述操作，使折痕足夠密集（圖2）。

問題1：你有什么發現？

設計意圖：學生進行直觀感知、思考，激發學生學習興趣，培養他們發現問題、提出問題、探究問題的能力，為下一步做鋪墊。

二、數學抽象，深入研究

問題2：請同學們用數學的眼光重新分析折紙游戲。思考：在折紙的過程中，點與定點和對應的折痕有什么位置關系？

設計意圖：折紙游戲引發學生探索的積極性，從折紙情境中抽象出數學原型，找到形成橢圓的數學本質，提升學生數學建模、數學抽象等核心素養。但橢圓形成的過程比較抽象，其中隱含的數學問題和數量關系還需要進一步分析，教師通過問題鏈引導學生發現結論，培養學生分析問題、解決問題的能力。

問題3：如圖3，你能否從“點”的運動角度思考橢圓的形成？連接AF2交折痕于點P，你能發現點P和橢圓的位置關系嗎？

設計意圖：折紙游戲讓學生發現AF1的垂直平分線圍成了一個橢圓。微觀上講，橢圓可以看作一些點的集合，通過師生活動，引導學生從“點”的視角探究橢圓，揭示數學本質。

問題4：如圖4，連接AF1，AF2，AF1的中垂線BC交AF2于點P，當點A運動時，有哪些不變的量？

設計意圖：定量關系是學生的思維障礙，從動手操作得到的幾何圖形中進一步抽象，提煉出數學結論。通過幾何畫板的動態演示，學生能更直觀地感受到圖形中存在的定量關系。

三、歸納總結，形成概念

問題5：橢圓的定義是什么？

設計意圖：通過引導學生從定點、定長等方面總結歸納出橢圓的定義，同時類比圓的定義，為后續研究雙曲線、拋物線做鋪墊，同時讓學生敘述橢圓的定義，鍛煉語言表達能力和數學歸納總結能力。

四、利用定義，推導方程

問題6：回顧圓的方程推導過程，我們如何推導橢圓的方程？如何對這個方程進行化簡？

設計意圖：1.類比圓的方程建立的過程得到橢圓的方程，讓學生充分感受知識之間的聯系，體會解析幾何的思想方法；2.方程的化簡運算是本節課的難點，通過對方程結構的分析，指導學生得到解決帶根式方程問題的統一方法，為后續研究雙曲線、拋物線的方程做鋪墊；3.學生在動筆計算的過程中可以充分體會解析幾何的核心思想方法——通過代數方法解決幾何問題，培養和鍛煉了學生的運算求解能力，體會代數與幾何兩大體系間的聯系和轉化。

問題7：如果橢圓的焦點在y軸上，那橢圓的方程又如何？

設計意圖：利用類比對稱，化歸的思想讓學生體會問題的本質，只是位置不同，圖形是一致的，得出焦點在軸上的橢圓的標準方程，避免繁雜計算。

問題8：橢圓的標準方程中三個參數a，b，c的關系怎樣？如何從橢圓的標準方程中判斷橢圓焦點的位置？

設計意圖：通過歸納總結，讓學生對兩種方程進行對比分析，強化對橢圓方程的理解，有助于教學目標的實現，培養學生的總結歸納能力，而且使學生體會和學習類比的思想方法，為后邊雙曲線、拋物線及其他知識的學習打下基礎。

五、隨堂練習，檢驗新知

例2：一動圓與圓x2+y2+6x+5=0外切，同時與圓x2+y2-6x-91=0內切，則動圓圓心的軌跡是什么？

設計意圖：例1可以利用定義，也可以用圓中求參數的方法，通過用待定系數法解決。例2考察用折紙法形成橢圓的數學本質。

本節課的重點是橢圓的定義，難點是化簡變形和運算，兩道練習題的設置強調了本節課的重點，也為解決幾何運算求解問題提供了可參考性的方法。

六、知識小結，升華內涵

思考：1.本節課學習的主要知識是什么？2.求橢圓標準方程常用方法是什么？3.本節課涉及了哪些數學思想方法？