聯合訂貨下基于φ-散度的多產品庫存魯棒優化模型

孫 月，邱若臻

(東北大學 工商管理學院，遼寧 沈陽 110169)

0 引言

在激烈變化的市場競爭環境下，庫存管理作為一個必要手段，為企業創造了可持續競爭優勢，合理的庫存管理策略能夠在保持較高客戶服務水平的同時，有效控制企業庫存水平，創造更多利潤。長期以來，基于報童模型的庫存控制問題一直是供應鏈管理領域的研究熱點[1]。傳統研究大多考慮單一產品并假設市場需求或產出等不確定因素服從已知隨機分布，通過優化期望利潤或成本獲得最優庫存策略。在Arrow等[2]對單周期庫存問題進行了開創性的研究之后，多產品庫存問題進一步得到了廣泛研究。

Wang等[3]假設市場需求不確定，建立了單周期多產品庫存模型，并從理論上分析了模型的最優性條件。Serel[4]對帶有預算約束的多產品報童問題加以拓展，考慮二次訂貨問題，有效利用更新市場需求信息的快速反應機制，為整個銷售季節確定訂貨量。Shi和Zhang[5]在需求不確定環境下研究了考慮供應商折扣的多產品聯合采購、定價問題。Kouki等[6]研究了具有隨機壽命的N種易腐產品聯合訂貨問題，在產品需求服從泊松分布假設下給出了連續檢查(s,c,S)庫存策略。潘林和周水銀[7]在確定性需求下，采用博弈論方法研究了不同捆綁策略下的多產品供應鏈定價問題。上述研究要么假設需求是確定性的，要么假設已知隨機需求的概率分布信息。然而，在企業實際經營過程中，面對的不確定因素日益增加，企業自身在掌握這種不確定性方面通常缺乏充分的專業知識，導致完備需求信息的假設難以適用實際要求。正如Beyer和Sendhoff[8]指出，對未知參數的任何不當假設，都將可能造成嚴重的績效損失。這就迫使決策者尋求一種能有效應對日益增加的不確定性擾動的決策方法。

魯棒優化，作為處理不確定性問題的有效手段,近年來受到廣泛關注[9]。應用魯棒優化方法研究未知需求分布的庫存控制問題可追溯到1958年，Scarf等[10]給出了僅知需求均值和方差的報童訂貨策略。此后，許多學者將這一方法應用于僅知部分需求信息的庫存控制問題中。例如，Vairaktarakis[11]利用區間和離散需求情景描述需求不確定性，研究了帶有預算約束的魯棒多產品報童問題。Lin和Ng[12]針對僅知需求區間信息的多市場單產品報童問題，給出魯棒訂貨策略。Kwon和Cheong[13]考慮了僅知需求均值和方差的單周期單產品庫存控制模型，給出最優庫存策略。Carrizosa等[14]采用魯棒優化方法研究了帶有自回歸需求的單產品報童問題。Hanasusanto等[15]針對風險規避多產品報童模型，利用二次決策規則將所建魯棒優化模型轉化成易于求解的半定規劃問題，并給出了有效的數值解。Park和Lee[16]采用分布式魯棒優化方法求解帶有多個不可靠供應商和隨機需求的單周期單產品庫存問題。由上述研究可以看出，目前魯棒優化方法在解決不確定環境下的庫存控制問題時主要采用區間或相應矩信息對不確定性進行建模。然而，采用這種事先指定的不確定集可能會丟失相關數據的重要信息，從而對最終決策帶來不利影響[17]。此外，相關參數信息的精確指定需要決策者具備專業的知識，使得這一方法具有一定的局限性。

近年來，隨著數據科學的發展，數據可得性問題備受關注，由此催生出了基于數據驅動的供應鏈運作管理問題研究。在庫存控制領域，Bertsimas和Thiele[18]針對經典報童問題，采用基于非參數估計的數據驅動方法給出了考慮風險厭惡的報童訂貨策略。針對同樣的問題，Uichanco[19]假設僅知來自未知需求分布的樣本數據，采用樣本平均近似方法研究了報童訂貨問題。Huh等[20]針對隨機庫存控制問題，采用梅耶(Kaplan-Meier)估計方法給出了相應的庫存策略。在同樣的假設條件下，Klabjan等[21]針對單一產品多周期周期性檢查隨機訂貨批量問題，提出了一種融合數據擬合和庫存優化的最小最大魯棒模型。同樣地，Ben-Tal等[22]針對離散情景概率不確定情況，給出了僅知歷史需求數據的報童策略。Sachs和Minner[23]在自由分布框架下，采用數據驅動方法研究了考慮銷售損失的報童問題，并將這一方法下庫存績效與其他參數和非參數估計方法進行比較，發現數據驅動報童模型能夠很好地處理高度審查和價格依賴的需求。邱若臻等[24]利用φ-散度構建了不確定需求概率分布的置信域，并針對風險厭惡的管理者建立了基于條件風險值的單產品單周期庫存魯棒優化模型。Mamani等[25]針對不確定需求構建了基于中心極限定理的不確定集，給出了封閉形式的魯棒訂貨決策。

由上述研究可以看出，多產品庫存控制問題研究主要側重于以下幾方面：(1)多數研究集中于已知完備需求隨機分布信息，通過優化期望成本或利潤獲得最優庫存策略；(2)采用魯棒優化方法處理庫存系統中的不確定性時大多針對單一產品庫存系統，并且假設事先已知不確定參數的不確定集；(3)部分學者雖然采用數據驅動方法探討了庫存控制問題，但未考慮是否存在具有某種結構的最優庫存管理策略，并且通常僅針對單一產品庫存系統。此外，對多產品聯合訂貨導致的固定訂貨成本鮮有涉及。基于此，本文在上述研究基礎上，進一步考慮固定訂貨成本的多產品聯合庫存控制問題，在僅知每種產品市場需求歷史數據基礎上，采用基于φ-散度的數據驅動方法構建滿足一定置信度要求的未知需求概率分布的不確定集，建立了基于最小最大準則的多產品庫存魯棒優化模型。在此基礎上，證明了(s,S)庫存策略的最優性并給出了相關策略參數的求解方法。最后，通過數值算例驗證了所建模型及求解方法的有效性。

1 考慮聯合訂貨成本的多產品庫存基本模型

考慮單周期環境下面臨不確定市場需求的零售商多產品庫存管理問題。為滿足不同客戶對不同產品的需求，零售商共經營J(J為一正整數)種產品。在銷售季節來臨之前，零售商需要確定每種產品j(j=1,2,…,J)是否需要訂貨及訂購多少數量。如果產品j需要訂貨，則支付單位采購成本cj。假設零售商采取聯合訂貨的方式，每次聯合訂貨導致的固定成本為K0。銷售期開始，零售商以單位價格rj出售產品j；在銷售期末，如產品j有剩余，則導致單位產品庫存持有成本hj；而對于未滿足需求的部分，將導致單位缺貨成本lj。

(1)

其中，式(1)中進一步考慮了零售商銷售收入，因此，文中最小化庫存總成本可等價轉化為最大化利潤問題。當考慮聯合訂貨固定成本時，零售商多產品庫存優化問題可表述為

cj(xj-x0j)+Cj(xj)Tpj}

(2)

2 不確定需求概率下的多產品庫存魯棒優化模型及最優庫存策略

當每種產品的市場需求分布未知時，不失一般性，令Uj表示產品j的市場需求概率分布所隸屬的不確定集，即pj∈Uj，j=1,2,…,J，則在最大最小準則下，式(2)魯棒對應可描述為

(3)

針對單一產品庫存控制問題，已有研究證明了當不確定市場需求隨機分布已知時，存在形如(s,S)形式的最優庫存策略使得庫存成本最低，其中，s是再訂貨點，S是訂貨至水平[10]。下面將針對未知需求分布下的多產品庫存控制，通過分析式(3)的結構屬性探討是否仍存在某種策略結構使得庫存成本最低。對于單一產品庫存控制問題，為了證明(s,S)庫存策略的最優性，文[10]定義了一維實數空間上的K-凸函數。在此基礎上，文[26]進一步將其擴展到n維空間，定義K0-凸函數如下，即

定義1對于函數φ(u):n→:1，K0≥0,如果不等式

(4)

對?v≥0,v∈n，λ<0，λ∈和?u∈n均成立，則函數φ(u)是K0-凸函數。

進一步，文[27]指出，上述定義等價于，如果對任意的u1≤u2,λ∈[0,1],下式成立，即

φ(λu1+(1-λ)u2)

≤λφ(u1)+(1-λ)[φ(u2)+K0δ(eT(u2-u1))]

(5)

則函數φ(u):n→1是K0-凸函數,K0≥0。在幾何上，函數φ(u)是K0-凸函數當且僅當所有中間點(λu1+(1-λ)u2,φ(λu1+(1-λ)u2)),λ∈[0,1]，位于點(u1,φ(λu1))和(u2,φ(λu2)+K0δ(eT(u2-u1))連接線段的下方。

為了方便描述，定義函數g(x)如下:

(5)

(7)

則在K0-凸函數定義基礎上，有如下引理1成立，即

根據引理1，函數g(x)存在一個全局極小值點S=(S1,S2,…,SJ)T∈J，定義集合

Ξ={x≤s|g(x)=g(S)+K0}

(8)

顯然，集合Ξ是非空有界的。令

(9)

σ={x≤S|x?Σ}

(10)

(i)如果x∈Σ，則g(x)≤K0+g(S)；

(ii)如果x∈σ，則g(x)>K0+g(S)。

上述引理2暗含當產品的庫存水平屬于集合Σ時，零售商不訂貨時產生的庫存成本低于訂貨后產生的庫存成本，因此，零售商的最優決策是選擇不訂貨，以當前庫存量進行銷售；當產品的庫存水平屬于集合σ時，零售商將選擇訂貨，訂貨數量為q=S-x>0。

引理3對于連續K0-凸函數g(x)，考慮聯合訂貨成本的多產品庫存魯棒優化問題(3)等價于

(11)

其中，S=(S1,S2,…,SJ)T是函數g(x)的全局極小值點。并且，函數f(x0)連續且在{x0≤S}上是K0-凸函數。

根據引理3及其證明過程，得如下定理1，即

定理1對于聯合訂貨下的多產品庫存魯棒優化問題(3)，存在最優(s,S)的庫存策略。當初始庫存水平x0∈σ時，將庫存補充至S；當初始庫存水平x0∈Σ時，則不訂貨。即，最優訂貨量為

(12)

其中，集合Σ和σ定義如式(9)和式(10)所示。

上述定理1給出了需求分布未知條件下，考慮聯合訂貨的多產品最優(s,S)庫存策略結構。然而，參數s和S的確定依賴于產品市場需求分布所隸屬的不確定集。下面利用基于φ-散度的數據驅動方法，針對每一種產品j(j=1,2,…,J)，探討如何在一定置信水平下構建未知需求概率分布的不確定集Uj，從而通過求解問題(3)確定最優庫存策略參數。

3 基于φ-散度的數據驅動多產品庫存魯棒優化策略

3.1 未知需求概率分布的不確定集構建

傳統供應鏈庫存魯棒優化問題的研究通常采用事先給定的具有某種結構屬性的不確定集，以保證獲得易于處理的魯棒對應。然而，該方法通常難以保證真實的系統參數，如需求概率，落在事先給定的不確定集內。基于此，本文將針對產品的歷史銷售數據，利用φ-散度構建滿足一定置信水平的不確定概率的置信域。對于向量p=(p1,p2,…,pm)T≥0和q=(q1,q2,…,qm)T≥0，φ-散度定義為

(13)

其中，φ(t)(t≥0)是凸的，稱為φ-散度函數。不失一般性，假設函數φ(t)(t>0)連續且二次可微，φ(1)=0，φ″(1)≠0。對于a>0，0φ(a/0):=alimt→∞φ(t)/t，0φ(0/0):=0。當向量p和q是隨機變量的概率向量時，式(13)定義了向量p和q之間的距離，且滿足pTe=1，qTe=1。

由定義(13)可知，不同散度函數φ(·)的選擇直接影響對向量p和q之間距離的度量。表1給出了常見的φ-散度及其共軛函數[23]。其中，φ*(·)表示函數φ(·)的共軛，φ*(·):→∪{∞},定義為顯然，φ*(s)是凸函數。

表1 常見的φ-散度及其共軛函數

(14)

上式表明以不低于1-α的概率保證了產品j的真實概率pj落在式(14)所示的集合內。需要指出的是，上述φ-散度數據驅動方法僅適用于離散需求概率分布不確定集構建，可廣泛應用于當決策者僅僅知道需求的歷史數據，但無法獲得真實的需求概率分布時，如何在已有數據基礎上通過優化期望利潤(成本)或其他績效指標進行決策制定的情況。例如，對于銷售某一季節性商品的零售商，當其無法獲得精確的產品需求分布信息時，為了在銷售季節來臨前確定合適的訂貨量決策，可在其歷史銷售數據基礎上采用φ-散度數據驅動方法構建產品需求概率分布不確定集，結合魯棒優化建模思想構建利潤最大化模型，并通過求解所建模型確定魯棒訂貨量決策，以此應對需求不確定性擾動。

3.2 最優(s,S)庫存策略參數的確定

為尋找每種產品的最優訂貨至庫存水平S，考慮式(6)函數g(x)最小化問題，即

(15)

在如式(14)所示不確定集條件下，式(15)內部極大化問題可描述為

(16)

問題(16)的拉格朗日函數為

其中，φ*(·)是函數φ(·)的共軛，凸函數。因此，函數ψ(λj,ηj)是關于(λj,ηj)的凸函數。問題(16)的拉格朗日對偶問題為

(18)

考慮如下問題

s.t.λj≥0,j=1,2,…,J

(19)

下面進一步討論如何確定再訂貨點s。給定Sj，sj是滿足下述方程的最大的yj(yj≤Sj)，即

(20)

上式等號左邊是產品j不訂貨時最壞情況下的庫存期望成本，等號右邊是當產品j初始庫存水平為yj，補貨至Sj時最壞情況下的庫存期望成本。式(20)表明再訂貨點sj是驅動庫存管理者是否進行補貨并將當產品j的庫存補充至Sj的臨界點。再訂貨點sj可通過求解下述問題獲得，即

(21)

定理3對于j=1,2,… ,J，考慮如下問題

λj≥0,j=1,2,…,J

(22)

4 數值分析

(3)選擇常見的Kullback-LeiblerL(KL)散度和Cressie-Read(CR)散度，置信水平分別設為95%和99%，以步驟1、2的數據為基礎，在需求概率分布未知時，分別求解問題(19)和(22)得到不同樣本規模、φ-散度和置信水平1-α下的魯棒庫存策略及相應的多產品庫存績效。

表2 真實分布下的庫存策略及績效

基于KL散度和CR散度，在95%和99%置信水平下，得到的不同樣本規模下的魯棒庫存策略如表3和表4所示。

表3 產品1在不同樣本規模、φ-散度、置信水平下的魯棒庫存策略

表4 產品2在不同樣本規模、φ-散度、置信水平下的魯棒庫存策略

由表3和表4可知樣本容量越大，兩種產品的魯棒庫存策略越接近最優情況。這是由于樣本容量越大，基于樣本估計的需求概率qNj,j=1,2，越接近真實情況，依此構建的不確定集越精確，因此，兩種產品的訂貨策略越接近其在真實概率分布下的最優訂貨策略。為了檢驗魯棒庫存策略導致的績效損失，進一步求得了在真實分布下應用魯棒庫存策略時得到的多產品庫存績效，結果如下圖1和圖2所示。

圖1 CR散度下的多產品庫存成本績效

圖2 KL散度下的多產品庫存成本績效

由圖1和圖2可以發現，無論是在CR散度還是KL散度下，基于不同的置信水平，最壞情況下的魯棒多產品庫存成本均隨著樣本規模的增加而降低。這是由于樣本規模越大，庫存管理者所能獲得的決策信息越準確，因此，依據文中方法得到的庫存成本下限越低。特別地，當在真實需求概率分布下應用魯棒庫存策略時，兩種散度函數下得到的多產品庫存績效同樣受樣本容量大小的影響，但影響較小。此外，隨著樣本容量的增加，魯棒庫存策略在真實分布下的庫存績效越接近最優情況(-2368.9)。由圖1和圖2可以進一步看出，基于φ-散度的魯棒庫存策略導致的績效損失隨樣本容量的增加而減小,表明決策者獲得的歷史需求數據樣本量越大，依據文中數據驅動方法做出的決策越接近最優情況。

在99%置信度下，當樣本容量N=100時，CR散度和KL散度下的績效損失比最大，分別為

當樣本容量N=900時，兩種散度下的績效損失比最小，分別為

同樣，在95%置信度下，樣本容量N=100時，CR散度和KL散度下的績效損失比最大，分別為

當樣本容量N=900時，兩種散度下的績效損失比最小，分別為

結果表明，需求分布信息的缺失雖然會導致一定的庫存績效損失，但相對于已知需求概率分布時的最優情況來說，績效損失比值很小。進一步，由于置信水平越高，采用基于φ-散度的數據驅動方法構建的不確定集，即式(14)越精確，因此，較高置信水平下的績效損失越小。上述結果表明，基于文中數據驅動方法得到的庫存策略能夠有效抑制需求不確定性擾動，具有良好的魯棒性。特別地，對庫存管理者來說，在經營過程中應注重收集日常銷售數據，并選擇較高的置信水平以改進決策效果。

為了進一步分析產品不同初始庫存水平下的庫存績效情況，選擇一組樣本容量為N=600，置信度1-α=99%，并在CR散度下對庫存成本進行計算。考慮兩種產品的初始庫存水平有如下四種情形：(1)產品1和產品2的初始庫存水平均低于其各自的再訂貨點s1和s2；(2)產品1和產品2的初始庫存水平均高于其各自的再訂貨點s1和s2；(3)產品1的初始庫存水平高于其再訂貨點s1，產品2的初始庫存水平低于其再訂貨點s2；(4)產品1的初始庫存水平低于其再訂貨點s1，產品2的初始庫存水平高于其再訂貨點s2。在上述四種情形下得到相應的庫存成本績效如表5所示。

表5 不同初始庫存水平下的多產品庫存成本績效

由表5可知，在第1種情形下，產品1和產品2均訂貨，對應的庫存成本績效最高。其中，產品1訂貨量為11.66(96.66-85.00)，產品2訂貨量為41.79(147.79-100.00)；第2種情形下，產品1和產品2均不訂貨，對應的庫存成本績效最低；其他情況下介于兩者之間。需要指出的是，在第1種情形下，庫存管理者根據可能的需求情景，將對兩種產品進行補貨，除了產生固定訂貨費用外還需付出一定數量的可變采購成本，因此總成本最高；而在第2種情形下，由于初始庫存水平較高，因此兩種產品均不補貨，在此情況下，雖有可能導致一定的缺貨損失，但節省了固定訂貨費用和可變采購成本，因此總成本最低。進一步，對比圖1中當N=600，置信度為99%時的情況發現，四種情形下的庫存成本績效顯著優于初始庫存水平為零時的情況。這是由于當庫存初始水平為零時，管理者一方面需要付出固定訂貨成本，另一方面還需支付將庫存補充至S水平時所導致的高昂采購成本。而在初始庫存水平不為零時，即使某些情形下進行訂貨導致固定訂貨成本的發生，但可變訂貨成本將顯著降低，從而導致總體庫存成本更低。

5 結論

本文在離散隨機需求概率不確定條件下，針對多產品聯合庫存決策問題，建立了考慮聯合訂貨成本的單周期庫存魯棒優化模型，并給出了基于最小最大準則的魯棒對應模型，進而證明了(s,S)策略的最優性。在僅知多產品市場需求歷史數據基礎上，采用基于φ-散度的數據驅動方法構建了滿足一定置信度要求的未知需求概率分布不確定集，應用拉格朗日對偶方法將所建模型等價轉化為易于求解的數學規劃問題。最后，進行了數值計算，分析了不同散度函數和置信水平下的多產品庫存績效，結果表明，隨著樣本容量的增加，依據文中方法得到的魯棒庫存策略越接近真實概率分布下的情況。特別地，與真實分布下的最優情況對比發現，需求分布信息的缺失雖然會導致庫存績效損失，但損失值很小，表明基于文中方法得到的魯棒庫存策略能夠有效抑制需求不確定性擾動對庫存績效的影響，具有良好的魯棒性。進一步，可將這一方法擴展至多周期環境，并探討如何選擇合適的φ-散度來獲得更優的庫存策略。此外，考慮產品之間的互補或替代特性，研究如何利用基于φ-散度的數據驅動方法構建能體現產品之間具有這種互補或替代特性的需求概率分布不確定集，在此基礎上制定具有魯棒性的多產品庫存決策也是未來的研究方向。