直線與圓的位置關(guān)系中的二變元問題的最大值問題探析

莊 順

(福建省廈門第六中學(xué) 361000)

在近年的高考題、自主招生題、競賽題或模擬題中，經(jīng)常會有求解涉及雙變元或多變元問題中的最值或取值范圍問題．此類問題由于變元較多，切入點(diǎn)沒有太大規(guī)律，往往導(dǎo)致難度較大，且比較難加以突破．也正是由于變元較多，此類問題破解的思維方式多變，切入點(diǎn)眾多，方法有時(shí)也多樣．

【高考真題】(2018·北京理·7)在平面直角坐標(biāo)系中，記d為點(diǎn)P(cosθ，sinθ)到直線x-my-2=0的距離．當(dāng)θ，m變化時(shí)，d的最大值為( ).

A．1 B．2 C．3 D．4

思維角度1：三角函數(shù)法

點(diǎn)評把點(diǎn)到直線的距離問題轉(zhuǎn)化為含有二元函數(shù)θ、m的最值問題，分別結(jié)合三角函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)，依次來轉(zhuǎn)化，進(jìn)而得以確定相應(yīng)的最值問題．在這里的解決關(guān)鍵是對二元函數(shù)θ、m沒有直接關(guān)系的條件下，分別有針對性地處理，從而得以轉(zhuǎn)化與應(yīng)用．

思維角度2：數(shù)形結(jié)合法

分析根據(jù)題條件確定點(diǎn)P的軌跡與直線恒過定點(diǎn)A(2，0)的性質(zhì)，先讓直線x-my-2=0保持“靜止”時(shí)確定點(diǎn)P到直線的距離的最大值問題，再進(jìn)一步讓直線x-my-2=0進(jìn)行“轉(zhuǎn)動”，通過數(shù)形結(jié)合來確定最值即可．

解法2 由于點(diǎn)P(cosθ，sinθ)，則知點(diǎn)P的軌跡是單位圓O：x2+y2=1，而直線x-my-2=0恒過定點(diǎn)A(2，0)的動直線，如圖所示.先讓直線x-my-2=0保持“靜止”，過O垂直于直線x-my-2=0的直線交單位圓O：x2+y2=1于點(diǎn)Q，交直線x-my-2=0于點(diǎn)B，而單位圓O：x2+y2=1與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)D.根據(jù)平面幾何知識可知點(diǎn)P到直線x-my-2=0的距離的最大值為點(diǎn)Q到直線x-my-2=0的距離1+|OB|，接下來，再讓直線x-my-2=0進(jìn)行“轉(zhuǎn)動”，數(shù)形結(jié)合可知1+|OB|≤1+|OA|，所以當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，點(diǎn)Q與點(diǎn)D重合時(shí)，1+|OB|的最大值為3.所以當(dāng)直線x-my-2=0的方程為x=2(此時(shí)m=0)，且點(diǎn)P為點(diǎn)D(-1，0)時(shí)，d的最大值為|AD|=3.故選擇答案C．

點(diǎn)評根據(jù)單位圓與過定點(diǎn)的直線束之間的關(guān)系，依次在保持直線“靜止”時(shí)讓點(diǎn)P在單位圓上運(yùn)動，再讓直線“轉(zhuǎn)動”起來，通過數(shù)形結(jié)合并利用平面幾何的知識來轉(zhuǎn)化與應(yīng)用，進(jìn)而數(shù)形結(jié)合得以確定相應(yīng)的二元問題的最值．

其實(shí)，當(dāng)我們破解完一道數(shù)學(xué)問題后，要加以不斷總結(jié)，不斷領(lǐng)悟反思，進(jìn)而可以有效達(dá)到多角度切入，并能有效進(jìn)行深度挖掘，進(jìn)行有效深度學(xué)習(xí)，從而真正達(dá)到觸類旁通、一題多解的效果，有助于培養(yǎng)數(shù)學(xué)科學(xué)的思維習(xí)慣，良好的核心素養(yǎng)以及能力素質(zhì)．