整合科研與教學(xué)過(guò)程中數(shù)學(xué)史的趣味性應(yīng)用——函數(shù)極值

李靜

摘要：將數(shù)學(xué)史有機(jī)融入科研與教學(xué)中可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣、培養(yǎng)其創(chuàng)造能力、啟發(fā)其人格成長(zhǎng)、預(yù)見(jiàn)其認(rèn)知發(fā)展、指導(dǎo)并豐富教師的課堂教學(xué)等。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)史趣味性函數(shù)極值

當(dāng)前在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中融合科研已經(jīng)越來(lái)越普遍，在整合科研與教學(xué)中添加數(shù)學(xué)史會(huì)使得枯燥的學(xué)習(xí)變得更加具有趣味性。數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教育中不僅可以活躍課堂氛圍提高學(xué)習(xí)興趣，還可以增加學(xué)生的審美能力以及培養(yǎng)創(chuàng)造能力。但在我國(guó)數(shù)學(xué)教學(xué)中尚未得到重視及普及，究其原因主要是因?yàn)槭紫葦?shù)學(xué)史有關(guān)書(shū)籍較少， 滲透數(shù)學(xué)史教育的相關(guān)文獻(xiàn)則更少;其次，教材中數(shù)學(xué)文化知識(shí)較少， 數(shù)學(xué)史知識(shí)則更少。怎樣將數(shù)學(xué)史融入科研與教學(xué)過(guò)程中去，有助于學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的快樂(lè)， 欣賞數(shù)學(xué)之美以及靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)思想解決實(shí)際問(wèn)題。數(shù)學(xué)史與高等數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容相結(jié)合的方式可為（1）古今方法比較[1];（2）某類數(shù)學(xué)問(wèn)題的比較[2];（3）數(shù)學(xué)名題的應(yīng)用[3];（4）欣賞數(shù)學(xué)之美[4]。

在高等數(shù)學(xué)教材中函數(shù)的極值是這樣定義的：假設(shè)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，對(duì)于去心鄰域內(nèi)任一有， 則稱是函數(shù)的一個(gè)極大值（極小值）。極值概念是局部性的，判斷方法之一為必要條件：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)卻在該處取得極值，則， 該必要條件即為費(fèi)馬引理，聯(lián)系費(fèi)馬引理可以適當(dāng)引入皮埃爾·德·費(fèi)馬（法國(guó)著名的“業(yè)余數(shù)學(xué)小王子”）的人物簡(jiǎn)介或者趣聞幫助學(xué)生理解和建立聯(lián)系.與此同時(shí)，費(fèi)馬對(duì)于極值的研究可以延伸到科研中， 古典變分法的核心內(nèi)容是確定泛函的極值和極值點(diǎn)，在有限維空間中，如果泛函弱下半連續(xù)且強(qiáng)制，則該泛函必定取得極小值。變分理論的主要思想是通過(guò)廣義解將微分方程的求解和泛函極值問(wèn)題的求解聯(lián)系起來(lái)，通過(guò)尋找適當(dāng)泛函的臨界點(diǎn)求微分方程的解。經(jīng)典牛頓力學(xué)認(rèn)為空間和時(shí)間處處連續(xù)， 基本物理量比如速度、加速度和力等都可以用整數(shù)階的微分算子來(lái)定義，因而物理和力學(xué)演化過(guò)程可都可以用整數(shù)階的微分方程來(lái)精確刻畫(huà)。但是，在1926年有學(xué)者指出湍流的速度場(chǎng)是不可微的， 同時(shí)有大量的實(shí)驗(yàn)表明， 許多粘彈性材料的應(yīng)用松弛是非指數(shù)型的，有記憶性傳統(tǒng)的粘彈性整數(shù)階微分本構(gòu)模型不能精確表述其力學(xué)行為。基于以上種種原因，人們波切期待著有一種可以用的數(shù)學(xué)工具和可依據(jù)的基本原理來(lái)對(duì)這些復(fù)雜系統(tǒng)進(jìn)行建模。分?jǐn)?shù)階的微分方程用于刻畫(huà)具有記憶和遺傳性質(zhì)的材料和過(guò)程，其對(duì)復(fù)雜系統(tǒng)的描述具有建模簡(jiǎn)單、參數(shù)物理意義清楚以及描述準(zhǔn)確等優(yōu)勢(shì)，因而成了復(fù)雜力學(xué)和物理過(guò)程數(shù)學(xué)建模的重要工具之一。

在科學(xué)技術(shù)進(jìn)步中，要求分析和控制客觀現(xiàn)象的數(shù)學(xué)能力向著富有全局性高、精水平發(fā)展，從而使得非線性分析的成果不斷積累，逐漸促成了分析數(shù)學(xué)內(nèi)新分支學(xué)科的誕生.無(wú)論如何，在無(wú)限維空間框架中，處理分析學(xué)的線性和非線性問(wèn)題的方式有著無(wú)窮的潛力。近數(shù)十年的成就足以有理由要求人們接受非線性泛函分析這一重要的分支學(xué)科。 橢圓型微分方程的研究起源于18世紀(jì)Laplace等人的工作，既有著悠久的歷史，又不斷更新著其研究對(duì)象、內(nèi)容和方法，能夠直接聯(lián)系著眾多的自然現(xiàn)象和實(shí)際問(wèn)題，不斷提出和產(chǎn)生需要解決的新課題和新方法。自然科學(xué)中很多問(wèn)題都可以用橢圓型方程來(lái)刻畫(huà)。

比如我們研究一類擬線性拉普拉斯方程

考察方程所對(duì)應(yīng)的能量泛函

需要指出需要注意的是在工作空間中無(wú)法定義，為了克服這一困難需引入變量替換其中為

通過(guò)變量替換后變?yōu)?/p>

在相應(yīng)的條件下，利用極值的方法得出泛函即的臨界點(diǎn)，從而得出這一類拉普拉斯方程多解的存在性。一個(gè)問(wèn)題用多種方法來(lái)解決是要從給定的信息中，能夠盡可能全面具體的從各個(gè)方面思考同一個(gè)問(wèn)題，能夠不受現(xiàn)有知識(shí)或結(jié)論的常規(guī)束縛，關(guān)于創(chuàng)新提出新的構(gòu)思，達(dá)到思維躍進(jìn)的創(chuàng)新局面。數(shù)學(xué)問(wèn)題源于客觀的世界，用數(shù)的形式和法則來(lái)描述和分析世界， 充分利用數(shù)學(xué)教學(xué)、數(shù)學(xué)科研相結(jié)合讓學(xué)生在體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)現(xiàn)的過(guò)程來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的獨(dú)立思考能力。

古人云，學(xué)貴有疑，小疑則小進(jìn)，大疑則大進(jìn)。科學(xué)研究大都從問(wèn)題開(kāi)始。在實(shí)際的應(yīng)用過(guò)程中，我們注重學(xué)生的自主探索，加強(qiáng)學(xué)生之間與學(xué)生教師之間的多向合作，鼓勵(lì)學(xué)生獨(dú)立創(chuàng)新思考以及注重理論聯(lián)系實(shí)際，善于發(fā)現(xiàn)生活生產(chǎn)中的實(shí)際例子。

參考文獻(xiàn)

[1]徐傳勝，呂建榮.亞伯拉罕棣莫佛的概率思想與正態(tài)概率曲線.[J]西北大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2006，36（2）：339-343.

[2]李文林.數(shù)學(xué)的進(jìn)化-東西方數(shù)學(xué)史比較研究.[M]北京，科學(xué)出版社，2005.

[3]李文林.三位一體數(shù)學(xué)史.[J]中國(guó)科技史雜志，2007，28（4）：444-448.

[4]梁宗巨.世界數(shù)學(xué)通史.[M]大連，遼寧教育出版社，2005.