讓筆算除法的算法和算理一脈相承

摘要：在加減乘除這四種計算中，除法最難，算理難理解，計算形式也難以掌握。為什么除法的形式相比乘法豎式要復雜得多，就是因為除法有余數，所以教學除法時，筆者打破教材思路，創新性地先教首位有余的除法，讓學生更好地理解算理，掌握算法。

關鍵詞：筆算除法;首位有余;算理;算法

一、教材分析

這節課是在學生已掌握了商是一位數的筆算除法，整十、整百數除以一位數的算理和算法，幾百幾十除以一位數的算理算法的基礎上進行教學的。新教材先將首位無余的兩位數除以一位數和三位數除以一位數放在一節課內進行教學，然后進行首位有余的除法和商中間有0和末尾有0的教學，目的是為了讓學生先通過每位都無余的除法理解算理掌握兩層和三層的除法豎式，然后夯實個整除法

算法。

二、困惑分析

1.兩位數除以一位數，“首位有余”和“首位無余”哪個能更清楚地解釋算理呢？

商是兩位數的筆算除法，雖然有表內除法為基礎，但其計算過程的復雜性仍是三年級學生學習上的障礙。教材把兩位數除以一位數和三位數除以一位數放在同一課時，意圖讓學生通過學法遷移，領悟并掌握兩、三位數除以一位數的筆算方法，事實上，三年級學生的學習能力較差，舉一反三、方法遷移的能力很弱，因此這樣的安排可能導致學生不能理解為何要分層列豎式。因此這節課可以打破教材的限制，重新進行了教材整合。在例題的選擇上，將例題46÷2（無余除法），改成42÷3，十位上的余數可以巧妙地解釋被除數個位上的數為何要抄下來，用算理突破了格式的難點。[1]

2.除法豎式是程序性的運算過程，假如死記硬背格式很容易出錯，那么能否追根溯源，讓學生理解除法豎式每個數字對應的含義后引出算法呢？

從古至今，除法演變了很多次，但都是要將計算的中間過程和結果按一定的順序記下來，除法豎式是一種簡潔而有效的記錄方式。為了方便學生理解，我們可以理解為除法豎式就是將分小棒的過程記錄下來，在學生已經明確分小棒的算理和已有基礎（表內除法的豎式）后，可以讓學生自主探索除法豎式。[2]

三、教學過程

1.回憶除法豎式

（1）分7根

師：今天我們繼續來學習筆算除法，先請同學們來分小棒。瞧，這里有7根小棒，平均分成2份，每份幾根，還剩幾根？

（2）列豎式

①誰來列式？（7÷2）

②7除以2，除了用分小棒的方法得到結果，我們還可以把它列成（豎式）來計算。

師：算一個除法要經過三步，哪三步？

生：想商、相乘、相減。

師：3表示什么？

生：每份有3根。

師：6呢？

生：分掉了6根。

師：1呢？

生：1就是余數，剩下1根，不能再分。

設計意圖：用分小棒引入商是一位數的除法筆算，不僅復習了舊知，同時和后面例題的教學貫穿起來。7÷2有兩種方法得到結果，可以用小棒分一分，也可以列成豎式算一算，豎式中每個數字都能在分小棒的過程中找到對應的含義，3表示每份有3根，6表示分掉了6根，1表示還剩1根。通過小棒和豎式的結合復習喚醒學生對除法筆算的舊知，為后面遷移到商是兩位數的筆算除法埋下

伏筆。[3]

2.新知探索

（1）分整捆

師：讓我們繼續來分小棒。看，把4捆小棒平均分兩份，每份是多少？

生：把4捆平均分成2份，每份2捆。

（2）分幾捆帶幾根（無余）

師：那如果添上6根，總共有46根小棒，也要平均分成兩份，小棒該怎樣分呢？

生：把4捆平均分成2份，每份2捆;把6根平均分成2份，每份

3根。

師：他在分的時候，不是一下子分完的，而是分了？（2次）先分整捆，再分單根。

師生一起分。（屏幕出示字樣：先分整捆，再分單根。）

3.分幾捆帶幾根（有余）

（1）（改題）那如果我拿掉4根，現在一共有42根小棒，而且要平均分成3份，又該怎么分？ 這次分小棒和剛才有什么不一樣？請同學們帶著這兩個問題同桌討論。

（2）提問：

師：這次的分小棒跟剛才哪里不一樣？

生：4捆平均分成3份，每份1捆，余下1捆，不能正好分完

師：那接下來該怎么分？

生：一捆和2根合起來，12根平均分成兩3份，每份4根。

（3）小結：雖然這次分小棒跟上面的不一樣，但是，也要分幾次？（2次）先分（整捆），再分（單根），要是整捆的分不完，余下的要和單根地合起來繼續分，一共要分兩次。

4.豎式

（1）剛才分7根小棒可以用這樣的豎式來計算。那么現在分42根小棒，用豎式又該怎么算呢？

（2）定思路。剛才我們先分？（4捆）。

·分十位。

（1）那我們就要先算4除以3，商是幾？

（2）1要寫在？（4 的上面）。為什么？

（3）商已經想好了還要想兩步，哪兩步？

（4）請大家一起算。

（5）說每個數字的意思：3表示？1表示？

（6）連起來算一遍

·分個位。

（1）下面還要分剩下的幾根？

（2）在豎式上1捆在這里，2根在上面，它們在兩個地方，這可不行怎么辦？（把2抄下來）

（3）12除以3商是幾？（4）4要寫在？（個位上）為什么？

（4）這就是想商，接著呢？

（5）齊說算法

5.對比，完整計算。

（1）這個豎式和原來的豎式相比，有什么不同的地方？（更長，商有兩位，原來只有一層樓，現在有兩層樓。）

師：原來分小棒只要分一次，所以豎式只蓋一層樓，今天分小棒先分整捆再分單根，一共要分2次，豎式就要蓋2層樓。

（2）這兩個豎式除了有不同的地方，那有什么相同的地方？（不管蓋幾層樓都要有1商2乘3減這三步）

（3）下面讓我們把42÷3完整地算一遍。

6.模仿。

師：大家會了嗎？好的，那就請同學們自己說自己寫，練習紙上第1題。

設計意圖：新知的探索分三個層次。第一層：先分4捆，平均分成2份，整十數除以一位數也就舊知，喚醒學生對分整捆小棒的記憶，分整捆小棒和分單根小棒的過程是相似的;第二層：再添6根，順承學生思維，引導他們先分整捆，再分單根，在這里突破第一個算理“先分整捆，再分單根”便水到渠成，如果沒有再添上6根這個過程，學生先分單根再分整捆的想法比較突出，同時也為下一個例題做準備;第三層：拿掉4根，平均分成3份，這次分小棒有難度，同桌討論讓學生自主探索、合作交流，讓知識自然地發生，對比這次分小棒和上面有何不同后突破第二個算理“整捆余下的小棒要和單根合起來一起分”，這也印證了上一題先分整捆再分單根的重要性。分完小棒將算理遷移至算法，也就是將分小棒的過程寫成豎式，這一環節扶放結合，通過富于啟發性的問題細化兩層的豎式，并逐一強化。這一過程中讓學生完整表述算法，也是使豎式算法得以內化的過程。

（三）鞏固與深入

1. 54÷3

過渡：老師現在有54根小棒，而且要平均分成3份，又該怎么算呢？一起來看。

（1）54÷3應該先算？

（2）那5÷3商是幾，分掉了幾還剩幾呢？請同學們填這三個框，練習紙上第三題。

（3）生匯報，分小棒驗證。

（4）接著呢？（把4抄下來）小棒驗證。

（5）24÷3商是幾分掉了幾，還剩幾呢？生完成剩下的框。

（6）生匯報，小棒驗證。

2.46÷2

剛才我們還分過46÷2，那它用豎式該怎么算呢？這次老師不給框了，練習紙上第三題。

（1）生試做。

（2）展示兩種豎式

（3）哪個對？小棒分了幾次？（2次）所以豎式蓋幾層樓？（2層）

（4）一起算，溝通4-4=0，0不要寫。

設計意圖：鞏固練習不是一下子放手讓學生，而是先第一層后第二層，逐層練習和用小棒驗證，又將算法和算理進行融合，再次加深兩層這個格式，明白每個數字的含義。第二個練習是將原先分過小棒的46÷2拿出來讓學生列豎式，雖然這個豎式首位無余也是新知，但有了前面分2次小棒的經驗，大部分學生能想到列兩層豎式，第一層就是分整捆，第二層就是分單根。練習的設計也是有梯度的，先是有框，后是無框，層層遞進。

四、教學反思

基于學生低年級時一層除法豎式的基礎，筆者曾嘗試讓學生在理解兩位數除以一位數（首位有余）的算理后，自己嘗試讓學生探索兩層除法豎式。由于學生第一次接觸的兩層的豎式，三年級孩子沒有經驗可以參考，這次嘗試沒有成功。最終筆者還是采取“講授式”這種傳統的教學方式，在練習中采取“扶放結合“的方式新授這個內容。在日后的教學過程中，筆者將不斷嘗試，能否由學生自主探索兩層除法筆算。

參考文獻

[1]祖惠華.算理·算法·算趣——教學“兩位數乘兩位數”有感[J].當代家庭教育，2019.

[2]官秀平.貫通小學數學計算算理學習途徑[J].數學學習與研究，2019.

[3]呂碧霞.小數乘整數中的算理算法教學[J].當代教研論叢，2018.

作者簡介

汪丹（1989.7—），女，江蘇江陰人。本科，畢業于徐州師范大學，江陰市教學新秀，曾在江陰市“三力課堂”評比活動中榮獲一等獎。