一元函數泰勒公式的計算方法

王江

摘要：在一元函數泰勒公式的教學中，應引導學生在對泰勒公式的產生背景、推導方法深入理解的基礎上，培養學生應用泰勒公式解決實際問題的能力. 本文對泰勒公式的常用計算方法進行了總結.

關鍵詞：泰勒公式;數值計算

泰勒公式是在用簡單的初等函數（多項式函數）逼近復雜函數（特別是無理函數和初等超越函數）的背景下產生的，只要誤差滿足要求，多項式函數對復雜函數的性態和近似計算有著重要的實際應用意義. 學生在學習了泰勒公式之后，碰到關于泰勒公式計算的問題不知如何入手，本文主要總結了4個關于泰勒公式的計算方法。

泰勒定理? 若函數在含有的某個開區間內具有直到階的導數，則對任一，有

上式稱為函數在展開的泰勒公式，其中稱為佩亞諾型余項，（介于到之間）稱為拉格朗日型余項。

1.直接法

利用直接導數的方法進行求解。

例1? 按的冪展開多項式。

解：因為，，，，于是

，，，，，所以

。

2.變量替換法

在實際應用中，應用得較多的是泰勒公式在時的特殊情形（稱為麥克勞林公式），掌握常用的麥克勞林公式對解題有很大的幫助。常見的麥克勞林公式有：

由的泰勒公式可得與（為常數，為自然數）的泰勒公式，只需令或即可。

例2? 求下列函數含佩亞諾余項的麥克勞林公式。

（1）;（2）。

3.分解法

將所求函數分解成已知的泰勒公式進行計算。

例3? 求函數含有佩亞諾余項的麥克勞林公式。

解：因為

4.待定系數法

設，將其改寫為，若已知與的展開式且可展成泰勒公式，可設，將他們代入，整理后通過比較系數求得，，。

例4求的帶佩亞諾余項的三階麥克勞林公式。

泰勒公式作為高等數學中的一個非常重要的工具，有著廣泛的應用，應用泰勒公式計算實際問題，關鍵是對泰勒定理的本質理解透徹，然后靈活運用，熟能生巧。

參考文獻：

[1] 王志平. 高等數學 [M]. 上海：上海交通大學出版社，2012.

[2] 劉玉璉，傅沛仁等. 數學分析講義（第五版）[M]. 北京：高等教育出版社，2008.