合情推理與演繹推理相輔相成

林水助

在實施新課改之前，我國傳統數學教育重視演繹推理，而在實施新課改后，演繹推理相對來說被弱化，與之相比，合情推理得到重視。一線的中小學教師，還有一些高校學者都積極投入到對“合情推理”的研究當中去，試圖在教學活動中引入合情推理，為的是契合課標的要求，而演繹推理在數學上是作為一種嚴格的推理方法使用，是數學嚴謹性的體現。 因此，合情推理與演繹推理是相輔相成的。

筆者以具體案例加以闡述，以執教新北師大版六年級下冊第一單元復習中一實踐活動為例，本課教材中，設計了一個用4張完全一樣的長方形紙（長16cm，寬4cm）卷成不同的圓柱形的活動，其實踐活動目的是通過 “用長方形紙卷圓柱形”的探索活動，鼓勵學生應用所學的圓柱的表面積和體積的知識，經歷探索規律的過程，體會一些變量之間的關系。教學重難點：體會在圓柱側面積相等的情況下，體積不等，理解其原由。

一、運用合情推理，發現規律

《數學課程標準》中指出：“推理能力的發展應貫穿在整個數學學習過程中。推理是數學的基本思維方式，也是人學習和生活經常使用的思維方式。在小學階段，主要學習合情推理，即歸納推理和類比推理。而歸納推理又多表現為不完全歸納推理”。在本課教學中，先采用合情推理中的不完全歸納法推理，讓學生經過觀察、猜想、實驗、比較，再進行歸納、類比，驗證得出規律。

教學實例簡述：

1、觀察和猜想

教師拿出兩張同樣的長方形紙，一張橫著卷成圓柱形，另一張豎著卷成圓柱形，兩個圓柱的體積一樣大嗎？學生出現不同的意見：兩個圓柱的體積一樣大，兩個圓柱的體積不一樣大，認為粗短的圓柱體積大，或覺得細長的圓柱體積大。

2、實驗和比較

學生小組合作完成驗證活動，將紙圍成不同的圓柱，把測量和計算的數據填在下面的表格中。

學生得出結論：側面積相等時，粗短的圓柱體積大，細長的圓柱體積小。

3、歸納和類比

把兩張這樣的長方形紙橫著對折，沿著虛線剪開，將兩張長方形紙換個方向粘在一起（接口處忽略不計）。得到兩張新的長方形紙，長32cm，寬2cm。一張橫著卷成圓柱形，另一張豎著卷成圓柱形。把測量和計算的數據填在表格中。

4、驗證得出規律

學生把四個圓柱形按體積由大到小排列，討論得出規律：在側面積相等時，圓柱的底面積越小，它的體積就越小;圓柱的底面積越大，它的體積就越大。

剛才的活動過程，就是一個猜想、實驗、驗證的過程，我們根據一些實例得出了這個規律，但學生還是不明白其中的原由。我們通過合情推理得出在側面積相等時，圓柱的底面積越小，它的體積就越小;圓柱的底面積越大，它的體積就越大，但是為什么呢？其中的原由需要運用演繹推理來加以驗證理解。

二、妙用演繹推理，驗證理解。

1、接軌初中的演繹推理

引導學生列式研究，比如這個長方形紙的長為a，寬為b，且a>b。得出結論：以b為底面周長、a為高，V=Л（ ） a= ，以a為底面周長、b為高，V=Л（ ） b= ）可是根據班級實際情況，這種演繹推理的證明可以使班里一些優秀學生得到提高，但不作為基本要求。

2、適用六年級級的演繹推理

教學實例簡述：

（1）半徑擴大2倍，高縮小到原來的 ，體積的變化

把兩張這樣的長方形紙橫著對折，沿著虛線剪開，將兩張長方形紙換個方向粘在一起（接口處忽略不計）。得到兩張新的長方形紙，長32cm，寬2cm。一張橫著卷成圓柱形，另一張豎著卷成圓柱形。

長32cm，寬2cm。一張橫著卷成圓柱形與剛開始的長方形長16cm，寬4cm的長方形橫著卷成圓柱形進行對比，長（也就是圓柱形的底面周長）擴大2倍，寬（也就是圓柱形的高）縮小到原來的 ，體積會有什么變化？剛開始大部分學生認為不變。學生通過實際計算發現體積是變大了，再把這兩組數據進行比較，找出其中原由。

長（也就是圓柱形的底面周長）擴大2倍，半徑也是擴大2倍，因為底面積=半徑×半徑×∏，所以底面積擴大4倍，高縮小到原來的 ，圓柱的體積=底面積×高，推出體積擴大2倍，從表格里的數據可以再次驗證。

（2）半徑縮小到原來的 ，高擴大2倍，體積的變化

同理，長32cm，寬2cm。另一張豎著卷成圓柱形與剛開始的長方形長16cm，寬4cm的長方形豎著卷成圓柱形進行對比，寬（也就是圓柱形的底面周長）縮小到原來的 ，長（也就是圓柱形的高）擴大2倍，體積會有什么變化？學生通過實際計算發現體積是縮小了，再把兩組數據進行比較，找出其中原由。

寬（也就是圓柱形的底面周長）縮小到原來的 ，半徑也是縮小到原來的 ，因為底面積=半徑×半徑×∏，所以縮小到原來的 ，高擴大2倍，圓柱的體積=底面積×高，推出體積縮小到原來的 ，從表格里的數據可以再次驗證。

（3）長方形的面積相等，長和寬的變化成反比例。

由于長方形的面積相等，長和寬的變化成反比例，長擴大幾倍（或縮小到原來的幾分之幾），寬反而縮小到原來的幾分之幾（或擴大倍），半徑會擴大或縮小到原來的幾分之幾，相應的底面積會擴大（或縮小）平方倍。固底面積的大小決定因素較大。所以可以得出，側面積相等時，粗短的圓柱體積大，細長的圓柱體積小。

三、教學中應培養學生合情推理能力的基礎上發展演繹推理

《數學課程標準》中指出：“推理能力的發展應貫穿在整個數學學習過程中。推理是數學的基本思維方式，也是人學習和生活經常使用的思維方式。在小學階段，主要學習合情推理，即歸納推理和類比推理。而歸納推理又多表現為不完全歸納推理”。在數學教學中，如能重視強化學生的推理意識，培養學生的推理能力，既有利于幫助學生形成言必有據一絲不茍的良好習慣，也有利于學生掌握科學的思維方法，促進已有知識、經驗、技能的有效遷移，提高學生的學習效率。

對于小學六年級的學生，老師應有意識地培養學生的演繹推理能力，但要求上盡量還是循序漸進。而合情推理對學生來說，就顯得容易得多，且形式多樣，學生可以通過動手做一做、試一試、猜一猜、想一想、可以通過單獨思考、小組交流等形式，經歷觀察、實驗、猜想、證明等數學活動，發展培養合情推理能力。學生的合情推理能力強了，有助于演繹推理能力的培養和提高，所以這兩種推理方式是相輔相成的。也可以說是“吹盡黃沙始見金”吧。