偏導數在實際生活中的應用

摘 要：函數的偏導數是高等數學中的最基本的概念之一，也是高等數學中的核心概念之一，并且函數的偏導數有著極其廣泛的應用。尤其是在實際生活中的應用是最常見的。本文主要探討如何利用偏導數求解實際生活中的條件極值，最值等優化問題，以及最小二乘法的應用.如有不當之處，望讀者給予批評指正。

關鍵詞：偏導數;條件極值;最值;最小二乘法;生活應用

一、最優化問題

函數的偏導數是高等數學中最重要核心概念之一，其本質反映的是函數關于自變量中的

某一個的變化率問題。在實際的生活中，常常利用偏導數求條件極值，最值等最優化問題。

在多元函數極值問題中，當自變量各自獨立不受任何限制時，通常稱這種極值為無條件

極值. 然而在實際問題中，我們所遇到的許多關于極值問題，往往對自變量還有一定的條件進行約束，我們將這種自變量帶有約束條件的極值稱為條件極值。

比如，在半徑為R的圓的一切內接三角形中，求面積S最大的三角形。我們以 表示內接三角形各邊所對應的圓心角，則所給問題其實就是求目標函數 ，在滿足約束條件 下的極值問題，也就是所謂的條件極值問題。

求解條件極值，最直接的方法就是想辦法將其轉化為無條件極值來處理。比如，對于上述條件極值問題，我們可將約束條件 表示為 ，然后，將其代入目標函數中，得到 ，再求此二元目標函數在有界閉區域 上最大值。

然而，只有當約束條件可以表示為顯函數形式的條件極值問題，才可以轉化為無條件極值問題來求解，但是在實際應用中，許多情況是約束條件為隱函數的形式，我們很難將其表示為顯函數，因此我們必須尋求更為有效的求解條件極值的方法，即拉格朗日乘數法。.

以二元函數為例，設函數 及 在所考慮的區域內有連續的一階偏導數，且 不同時為零，求目標函數 在約束條件 下的極值. 具體步驟如下：

第1步 構造輔助函數 ，稱為拉格朗日函數，其中 稱為拉格朗日乘數。

第2步 建立聯立方程組

解出 ，其中 就是所求條件極值的可能極值點.

第3步 由實際問題本身的性質判定點 是否為極值點，進而求出極值.

注1：.拉格朗日乘數法對于多元目標函數，以及約束條件多個的情形也適用，但約束條件的個數一定要小于目標函數中自變量的個數;

目標函數的準確式，為了運算簡便，可以適當簡化 ，只要簡化后的函數與原來的目標函數有相同的極值點與極值即可 .例如目標函數為 而約束條件為 ， 條件極值問題，拉格朗日函數可簡化為 .

注3：拉格朗日乘數 前面的“+”號可以寫成“-”號，此時 的值只差一個正負號

并不影響極值的取得.

例1.求在半徑為R的圓的一切內接三角形中，求面積S最大的三角形.

由于半徑為R的圓的一切內接三角形中一定存在面積S最大的三角形，而可能最大

面積的三角形只有一個，所以，當圓內接三角形為等邊三角形時面積最大。

二.最小二乘法

在實際生活中，對于許多經濟管理問題，經常需要研究某一種現象與影響它的某一個最主要因素之間的關系，比如在研究糧食產量時，在眾多影響糧食產量的因素中施肥量是一個最重要的因素，需要研究糧食產量與施肥量之間的關系;在消費問題的研究中，由于國民收入是影響消費的最主要因素，需要研究消費額與國民收入之間的關系等等 .為了找出這類問題中兩個變量之間的關系，往往根據兩個變量的幾組觀測值或實驗數據，找出這兩個變量的近似表達式，一般稱這樣的表達式為經驗公式 .而一旦建立了經驗公式，我們就可以將理論應用于實踐，利用經驗公式對自變量或因變量進行控制或預測，而最小二乘法是確定經驗公式中未知參數的常用方法。

例2 某企業為了了解這種商品的收益情況，收集了這種商品在市場上的銷售量 （單位：千件）與獲得的利潤額 （單位：萬元）的幾組具體數據，如下表所示：

根據上表的數據建立 與 之間的一個能使上述數據大體適合的函數關系 .

為此，在平面直角坐標系中，根據表中的數據畫出實際數據的散點圖，從圖中，我們直觀分析這些點的分布規律. 如果這些點的連線大體在一條直線上，那么就用線性函數表示，否則就選取更為合適的其它非線性函數描述.

本例中，銷售量 與利潤額 的10組數據的散點圖可見，這些點的連線大致接近于一條直線，因此可以認為 是線性函數，不妨設 其中 、 為待定參數.

參考文獻

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[3] 羅蘊玲，楊卓，王秀紅，王穎，張景杰.伴你學數學---高等數學及其應用導學，第二版. 北京;高等教育出版社.2016

[4] 《高等數學》（第七版）上、下冊，同濟大學數學系編，高等教育出版社

[5] 《高等數學例題與習題》 同濟大學高等數學教研室編，同濟大學出版社

作者簡介：楊付貴（1957.5）男，天津人，副教授。從事最優化方法研究。