關(guān)于中職數(shù)學(xué)中一元二次不等式解法的探討

潘世鳳

摘 要：在中職學(xué)校的課程中，數(shù)學(xué)是一門(mén)非常重要的學(xué)科，數(shù)學(xué)教學(xué)可以培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，幫助學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度了解和認(rèn)識(shí)世界。一元二次不等式是中職數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，因此在整個(gè)數(shù)學(xué)教育中占有非常重要的地位。數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)需要一定的基礎(chǔ)，然而農(nóng)村中職學(xué)生的知識(shí)基礎(chǔ)比較薄弱，需要針對(duì)此類(lèi)學(xué)生設(shè)計(jì)不同的教學(xué)方式。本文首先分析了農(nóng)村中職學(xué)校數(shù)學(xué)教學(xué)的現(xiàn)狀，然后分析了一元二次不等式在傳統(tǒng)教學(xué)中存在的問(wèn)題，最后分析探討了一元二次不等式的不同解法。

關(guān)鍵詞：中職數(shù)學(xué);一元二次不等式;解法

1、農(nóng)村中職數(shù)學(xué)教學(xué)現(xiàn)狀

在中職的教學(xué)中，數(shù)學(xué)是基礎(chǔ)課程，是學(xué)好專(zhuān)業(yè)課程的前提。但是隨著中職學(xué)校的不斷增加，學(xué)校的學(xué)生數(shù)量也在不斷地增加，這就導(dǎo)致中職學(xué)生的學(xué)習(xí)水平不高，綜合能力較差，學(xué)習(xí)和生活中的自律能力不夠，很多學(xué)生不愿意學(xué)習(xí)基礎(chǔ)的文化課，這種現(xiàn)象在農(nóng)村職校中更加常見(jiàn)、更加嚴(yán)重。由于數(shù)學(xué)難度較大，很多學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)非常薄弱，沒(méi)有學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法和習(xí)慣，很多非?；A(chǔ)的數(shù)學(xué)知識(shí)都沒(méi)有掌握，并且在數(shù)學(xué)課堂上經(jīng)常容易打瞌睡、走思、玩鬧等，增大了數(shù)學(xué)教學(xué)的難度。

2、一元二次不等式在傳統(tǒng)中職教學(xué)中存在的問(wèn)題

一元二次不等式是不等式教學(xué)的基礎(chǔ)，也是中職數(shù)學(xué)教學(xué)中的重點(diǎn)。下面將闡述傳統(tǒng)中職學(xué)校在進(jìn)行該內(nèi)容講解時(shí)存在的問(wèn)題。

2.1、以教師講解為主，枯燥乏味

一元二次不等式需要學(xué)生進(jìn)行計(jì)算，因?yàn)榻夥ㄊ欠浅３橄蟮?，所以學(xué)生自學(xué)難度較大。一元二次不等式的解法是在了解原理的基礎(chǔ)上，一種比較規(guī)范的、有章可循的方法。所以學(xué)生只需要記憶解法，按照方法一步步地進(jìn)行計(jì)算即可，對(duì)解法深層次的思考是沒(méi)有必要的?；谝陨咸攸c(diǎn)，很多教師在講解時(shí)采用灌溉式的教學(xué)方式，首先向?qū)W生展示幾種經(jīng)典的一元二次不等式，針對(duì)每種類(lèi)型講解不同的解題方式，然后讓學(xué)生通過(guò)練習(xí)進(jìn)行記憶，讓學(xué)生掌握一元二次不等式的解法。雖然這種方式在很多情況下是高效的，但是中職學(xué)生由于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)比較薄弱，對(duì)數(shù)學(xué)沒(méi)有興趣，更加不愿意學(xué)習(xí)枯燥的計(jì)算方法。所以，這種方式帶來(lái)的教學(xué)質(zhì)量并不高。

2.2、缺少系統(tǒng)性復(fù)習(xí)

學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程其實(shí)是知識(shí)的遷移過(guò)程，將舊知識(shí)的體系遷移到新知識(shí)中。在學(xué)習(xí)新知識(shí)的過(guò)程中，都依賴(lài)于已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)的知識(shí)，數(shù)學(xué)知識(shí)不是獨(dú)立存在的，都是相關(guān)依賴(lài)，相互聯(lián)系的關(guān)系。所以教師在講解任何新知識(shí)之前，都應(yīng)該帶領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)與之相關(guān)的舊知識(shí)，并著重帶領(lǐng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)兩者之間的聯(lián)系。

教師在講解一元二次不等式時(shí)，應(yīng)該首先帶領(lǐng)學(xué)生回顧與之相關(guān)的三個(gè)知識(shí)點(diǎn)。第一個(gè)知識(shí)點(diǎn)是一次函數(shù)、一元二次方程以及一元二次不等式之間的聯(lián)系以及不同。第二個(gè)知識(shí)點(diǎn)是和一元二次不等式對(duì)應(yīng)的一元二次函數(shù)的圖像形式。第三個(gè)知識(shí)點(diǎn)是一元二次方程相應(yīng)的求解方式。但是在中職學(xué)校中，數(shù)學(xué)教學(xué)在整個(gè)教學(xué)體系中所占教學(xué)時(shí)間的比例較少，而且學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)非常的薄弱，教師往往只在很短的時(shí)間內(nèi)就完成了知識(shí)的回顧，導(dǎo)致中職生對(duì)知識(shí)的認(rèn)識(shí)不清楚，對(duì)舊知識(shí)沒(méi)有記憶，也導(dǎo)致不能理解新的知識(shí)，嚴(yán)重影響了中職生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的效果。

2.3、學(xué)生記憶差，教學(xué)重復(fù)

一元二次不等式主要有兩種形式，第一種情況是ax2+bx+c>0，第二種形式是ax2+bx+c<0。在進(jìn)行一元二次不等式的解題時(shí)，需要從二次項(xiàng)系數(shù)和根判別式分情況考慮、解題。其中二次項(xiàng)系數(shù)為上述式子中的a，a需要分兩種情況，分別是a>0及a<0。根判別式對(duì)應(yīng)三種情況。在數(shù)學(xué)教材中，將一元二次不等式的解題方式劃分為十五種類(lèi)型。由于很多中職學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)學(xué)科的學(xué)習(xí)沒(méi)有興趣，所以他們?cè)跀?shù)學(xué)課堂上一般沒(méi)有記筆記的習(xí)慣，在課后不會(huì)進(jìn)行數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的復(fù)習(xí)，他們對(duì)于解法的記憶通常是很短暫的。在教師講解新知識(shí)的過(guò)程中，學(xué)生對(duì)于上次講解的內(nèi)容沒(méi)有任何記憶，在這種情況下，教師就需要對(duì)已經(jīng)見(jiàn)過(guò)的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行再次講解，導(dǎo)致教學(xué)過(guò)程重復(fù)，沒(méi)有進(jìn)展。因此，基礎(chǔ)較好或者較為努力的學(xué)生認(rèn)為教師講解知識(shí)的過(guò)程太過(guò)重復(fù)，比較枯燥啰嗦，導(dǎo)致這部分學(xué)生失去了繼續(xù)學(xué)習(xí)的積極性。而基礎(chǔ)較差的學(xué)生在聽(tīng)完教師講解的舊知識(shí)之后，集中注意力的時(shí)間已經(jīng)到達(dá)了頂峰，導(dǎo)致在學(xué)習(xí)新知識(shí)時(shí)不能集中注意力，容易走思。

3、解題方法

一元二次不等式在中職數(shù)學(xué)的教學(xué)過(guò)程中是非常重要的知識(shí)點(diǎn)，它作為承上啟下的知識(shí)點(diǎn)，作為很多知識(shí)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，比如函數(shù)相關(guān)知識(shí)、數(shù)列相關(guān)知識(shí)等。另外，在很多知識(shí)體系的教學(xué)中都利用了一元二次不等式解法的思想來(lái)解決問(wèn)題，比如三角函數(shù)的解析等。一元二次不等式對(duì)應(yīng)的最高次數(shù)為二，主要有兩種形式，第一種情況是ax2+bx+c>0，第二種形式是ax2+bx+c<0。一元二次不等式的解法主要有四種，下面將分別進(jìn)行闡述。

3.1、分解因式法

分解因式指的是將一個(gè)多項(xiàng)式采用合理有效的方法分解為多個(gè)簡(jiǎn)單形式的乘積形式。分解因式法是一元二次不等式解法中比較常見(jiàn)和常用的方法。分解因式法的具體形式是將ax2+bx+c分解為兩個(gè)簡(jiǎn)單形式的乘積，令ax2+bx+c=a（x+x1）（x+x2），因此將一元二次不等式的求解轉(zhuǎn)換為求解兩個(gè)一元一次不等式的組合，可將兩個(gè)一元一次不等式的結(jié)果集合求交集，便可以得到一元二次不等式的結(jié)果。

比如在求解一元二次不等式x2-7x+10<0時(shí)，可將原來(lái)的式子分解為（x-2）（x-5）<0，式子（x-2）和（x-5）相乘的結(jié)果為負(fù)，則式子（x-2）和（x-5）的符號(hào)不同，即一正一負(fù)。首先令第一個(gè)式子大于0，第二個(gè)式子小于0，即x-2>0且x-5<0，前者結(jié)果為x>2，后者結(jié)果為x<5，對(duì)其求交集，得到結(jié)果為20，前者結(jié)果為x<2，后者結(jié)果為x>5，對(duì)其求交集，為空。綜合上述兩種情況，可得到一元二次不等式x2-7x+10<0的最終結(jié)果為2

需要注意的是，在利用分解因式法求解一元二次不等式時(shí)，應(yīng)該將一元二次不等式分解為最簡(jiǎn)單的形式，才能更快更方便的得到不等式的解集。另外如果將一元二次不等式分解為一個(gè)單項(xiàng)式和一個(gè)多項(xiàng)式，則應(yīng)該令單項(xiàng)式在前，多項(xiàng)式在后。

3.2、配方法

配方法是指將原來(lái)的式子轉(zhuǎn)換為完全平方式的形式進(jìn)行求解，通過(guò)這種形式，可以從原來(lái)的式子中找到潛在的隱藏的條件，快速地得到解集。在利用配方法求解一元二次不等式時(shí)，形式如下：ax2+bx+c轉(zhuǎn)換為a（x+h）2+k。由于式子為一元二次不等式，所以a不能取0。所以a（x+h）2的值一定不小于0。將原來(lái)的式子轉(zhuǎn)換為（x+h）2=-k/a，若a，k取值符號(hào)不同，則對(duì)-k/a進(jìn)行開(kāi)方，可得到x的取值。若a，k取值符號(hào)相同，則無(wú)解。

比如在求解一元二次不等式4x2+4x-3>0的解集時(shí)，利用配方法將原來(lái)的式子4x2+4x-3轉(zhuǎn)換為（2x+1）2-4，可（2x+1）2-4>0，對(duì)其進(jìn)行移動(dòng)、開(kāi)方可以得到2x+1>2或者2x+1<-2，則可以得到一元二次不等式4x2+4x-3>0的解集為x<-2/3或者x>1/2。

3.3、根軸法

根軸法是比較簡(jiǎn)單的求解一元二次不等式的方法。該方法結(jié)合了對(duì)應(yīng)的一元二次方程和x軸兩個(gè)因素來(lái)得到不等式的解集。首先，求解一元二次不等式對(duì)應(yīng)的一元二次方程的解。然后，將得到的解在x軸上進(jìn)行標(biāo)記，然后對(duì)其進(jìn)行穿線得到最終的解集。需要注意穿線應(yīng)該從右方開(kāi)始，從上到下。并且該方法也可以擴(kuò)展到一元高次不等式的求解中。

比如在求解一元二次不等式x2-4x+3>0的解集時(shí)，應(yīng)該首先求得一元二次方程x2-4x+3=0的根，得到該方程的根為x1=1，x2=3。然后將1和3在x軸上進(jìn)行標(biāo)注，從右側(cè)和上方開(kāi)始穿線，則可得到該一元二次不等式的解集為x<1或x>3。再比如在求解一元二次不等式2x2+3x-2<0的解集時(shí)，首先求得方程2x2+3x-2=0的根為：x1=-2，x2=1/2。然后將-2和1/2標(biāo)注在x軸上，從右側(cè)和上方開(kāi)始穿線，則可得到對(duì)應(yīng)的解集為-2

3.4、圖像法

圖像法，顧名思義就是根據(jù)函數(shù)的圖像來(lái)得到不等式的解集。該方法利用十字相乘法得到函數(shù)圖像和x軸的交點(diǎn)，便可以得到最終的解集。十字相乘法有很多的優(yōu)勢(shì)，比如可以用十字相乘法來(lái)分解因式，也可以用十字相乘法求解一元二次不等式及方程組，利用十字相乘法可以在很短的時(shí)間內(nèi)得到答案且計(jì)算量不大，可以有效地提高學(xué)生的做題效率。但同時(shí)十字相乘法也有一些缺點(diǎn)，比如有的題目的形式可以很容易地利用十字相乘法得到解答，但是也有的題目用十字相乘法的難度較大、花費(fèi)時(shí)間較多。甚至有的題目是不能使用十字相乘法的。通常情況下，十字相乘法適用于二次三項(xiàng)式的求解。

比如式子x2+2x-3就可以十字相乘的方法進(jìn)行因式分解，首先觀察二次項(xiàng)為1，則可以分解為1*1，一次項(xiàng)為2，常數(shù)項(xiàng)為-3，則可以分別常數(shù)項(xiàng)分解為-1*3。根據(jù)十字相乘法的規(guī)則，二次項(xiàng)分解的兩個(gè)數(shù)和常數(shù)項(xiàng)分解的兩個(gè)數(shù)進(jìn)行十字相乘，兩者相加的結(jié)果為一次項(xiàng)系數(shù)。在該題中即為1*3+1*（-1）=2。因此可以將x2+2x-3分解為（x-1）（x+3）。再比如對(duì)式子2x2+3x-2也可以利用十字相乘的方法進(jìn)行因式分解。觀察其二次項(xiàng)，常數(shù)項(xiàng)，一次項(xiàng)分別為2，-2，3，則可以將二次項(xiàng)分解為2*1，將常數(shù)項(xiàng)分解為-1*2，則將分解后的數(shù)字進(jìn)行十字相乘并求和，得到2*2+1*（-1）=3。因此可以將式子2x2+3x-2分解為（2x-1）（x+2）。在對(duì)式子因式分解之后，便可以采用3.1節(jié)中的方式進(jìn)行一元二次不等式的求解。

總結(jié)

綜上所述，在中職的教學(xué)中，數(shù)學(xué)是非常重要的學(xué)科，也是其他專(zhuān)業(yè)學(xué)科的基礎(chǔ)，所以教師要充分重視數(shù)學(xué)的教學(xué)。但是由于中職學(xué)校學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較為薄弱，綜合素質(zhì)不夠，使得在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中出現(xiàn)了很多的困境和問(wèn)題。比如教師數(shù)學(xué)教學(xué)方式枯燥，在新知識(shí)講解前缺乏系統(tǒng)性的復(fù)習(xí)，有些學(xué)生記憶力差，學(xué)習(xí)態(tài)度不認(rèn)真等。這就需要教師對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)方式進(jìn)行改變。一元二次不等式是數(shù)學(xué)學(xué)科中非常重要的知識(shí)點(diǎn)，也是其他知識(shí)點(diǎn)的基礎(chǔ)，而且還有很多別的學(xué)科體系利用一元二次不等式的解題思維來(lái)解決相應(yīng)的問(wèn)題。所以中職教師在進(jìn)行一元二次不等式的講解過(guò)程中，應(yīng)該考慮多種解題方法，從多個(gè)角度來(lái)輔助學(xué)生更好地學(xué)習(xí)，能夠簡(jiǎn)單快速地掌握一元二次不等式的解題方法。

參考文獻(xiàn)

[1]沈盈琴.中職數(shù)學(xué)教學(xué)中開(kāi)展分層教學(xué)的實(shí)施理念與方法探討[J].好家長(zhǎng)，2019（15）：120-120.

[2]謝威海.淺析中職數(shù)學(xué)中一元二次不等式的解法[J].中華少年，2018（13）：278-278.

[3]顧晨曦.基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的“一元二次不等式的解法（1）”教學(xué)設(shè)計(jì)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2017（1）：21-23.

（作者單位：荔浦市職業(yè)教育中心學(xué)校）