矩陣初等變換的應(yīng)用

摘? 要：矩陣的初等變換是線性代數(shù)中的最為重要的概念之一，它貫穿著線性代數(shù)這門課程的始終，并且有著極其廣泛的應(yīng)用。因此，理解和掌握好矩陣的初等變換對(duì)于學(xué)習(xí)好線性代數(shù)十分重要。然而，在學(xué)習(xí)線性代數(shù)中，對(duì)于理解和掌握矩陣的矩陣的初等變換及其應(yīng)用，很多同學(xué)，特別是對(duì)于普通高校文科的學(xué)生，以及民辦高校的學(xué)生，學(xué)習(xí)的時(shí)候，感覺知識(shí)很零碎，計(jì)算量也比較大，更不知如何更有效正確理解和掌握。本文主要是對(duì)矩陣的初等變換在線性代數(shù)中的應(yīng)用等問題，進(jìn)行梳理，歸納和總結(jié)。為同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)有關(guān)矩陣的初等變換的知識(shí)時(shí)，能夠系統(tǒng)地了解矩陣的初等變換在不同地方的應(yīng)用，提供思路和方法。

關(guān)鍵詞：初等變換;行階梯形;行最簡(jiǎn)形;極大無關(guān)組：

一.矩陣的初等變換的定義

定義：將矩陣的下述變換稱為矩陣的初等行（列）變換：（i）對(duì)調(diào)矩陣的i、j兩行（列）;（ii）以非零數(shù)k乘以矩陣的第i行（列）的所有元素;（iii）將矩陣的第j行（列）的所有元素的k倍加到矩陣的第i行（列）對(duì)應(yīng)的元素上去。

矩陣的初等行（列）變換統(tǒng)稱為矩陣的初等變換。

二. 矩陣的初等變換的若干性質(zhì)

性質(zhì)1 如果矩陣A經(jīng)有限次初等行變換化為B，則A的列向量組與B的列向量組具有相同的線性關(guān)系;

性質(zhì)2 對(duì)矩陣A施行一次初等行（列）變換所得到的矩陣，相當(dāng)于在A的左（右）邊乘上一個(gè)相應(yīng)的初等矩陣;

性質(zhì)3 矩陣的初等變換不改變矩陣的秩;

性質(zhì)4 可逆矩陣可以表示成一系列初等矩陣的乘積;

性質(zhì)5 初等矩陣都是可逆的，且初等矩陣的逆矩陣也是可逆矩陣。

三.矩陣的初等變換的應(yīng)用

矩陣的初等變換有著及其廣泛的應(yīng)用，由于篇幅所限，我們只討論矩陣的初等變換在線性代數(shù)中的應(yīng)用。

1.判斷兩個(gè)矩陣是否等價(jià)：

對(duì)于兩個(gè)矩陣A，B，對(duì)它們分別施行矩陣的初等行變換，化成行最簡(jiǎn)形矩陣，如果它

們的行最簡(jiǎn)形矩陣相同，則矩陣A于矩陣B等價(jià);否則，矩陣A于矩陣B不等價(jià)。

2.將矩陣化為行階梯形，行最簡(jiǎn)形，標(biāo)準(zhǔn)型

對(duì)于任何給一個(gè)矩陣，都可以經(jīng)過有限次矩陣的初等行變換，將其化成行階梯形;再進(jìn)

一步施行有限次矩陣的初等行變換，就可以化成行最簡(jiǎn)形，對(duì)行最簡(jiǎn)形矩陣施行有限次矩陣的初等列變換，就可以化成標(biāo)準(zhǔn)形。

3求矩陣的秩

對(duì)于任何給一個(gè)矩陣A，可以通過對(duì)矩陣A進(jìn)行初等行變換，將其化為行階梯形，那么

行階梯形的非零行的行數(shù)，就是矩陣A的秩。

4.求可逆矩陣的逆矩陣

?階矩陣（A，E），然后，對(duì)于矩陣（A，E）施行一系列矩陣的初等行變換，直至A化成單位矩陣E的同時(shí)，單位矩陣E化成了A的逆矩陣。

5.求線性方程組的解

利用矩陣的初等變換求解線性方程組，首先寫成線性方程組的增廣矩陣，然后對(duì)增廣

矩陣進(jìn)行矩陣的初等行變換，化成行階梯形;再根據(jù)系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩是否相等，來判定線性方程組是否有解？如果不相等，無解;如果相等且等于未知數(shù)的個(gè)數(shù)，則解是唯一的;如果相等且小于未知數(shù)的個(gè)數(shù)，則無窮多個(gè)解;在有解時(shí)，再對(duì)行階梯形矩陣進(jìn)行初等行變換化為行最簡(jiǎn)形，由行最簡(jiǎn)形矩陣寫出線性方程組的通解。

6.求矩陣方程，或

對(duì)于矩陣的方程求解，可以在方程左邊或右邊或兩邊乘以相應(yīng)的逆矩陣，即可求出矩陣方程的解;但通常最實(shí)用的方法是矩陣的初等變換法。即：對(duì)于矩陣方程，構(gòu)造矩陣（A，B），然后，對(duì)于矩陣（A，B）施行一系列矩陣的初等行變換，直至將A化成單位矩陣? 的同時(shí)，矩陣B化成了所求的未知矩陣X。而對(duì)于矩陣方程，構(gòu)造矩陣，然后，對(duì)構(gòu)造矩陣施行一系列矩陣的初等列變換，直至將A化成單位矩陣時(shí)，矩陣B化成了所求的未知矩陣X。至于矩陣方程，可令，則，利用矩陣的初等行變換求解出D，然后，再由，利用jv在的初等列變換求解出未知矩陣X。

7.判斷向量組的線性相關(guān)性

對(duì)于給定的向量組，寫成矩陣，然后對(duì)矩陣A施行矩陣的初等行變換，求出A的秩，如果，則線性無關(guān)，否則線性相關(guān)。

8.求向量組的秩和極大無關(guān)組

首先將向量組作為矩陣的列，而后對(duì)矩陣進(jìn)行矩陣的初等行變換化成行階梯形，則行階

梯形矩陣的非零行的個(gè)數(shù)，即為向量組的秩，而與行階梯形矩陣的列向量組的極大無關(guān)組相對(duì)應(yīng)的矩陣的列向量組就是所求向量組的極大無關(guān)組。

9.求矩陣的特征值與特征向量

求矩陣A的特征值，就是求特征方程的根，而特征方程的根即為矩陣A的特征值，矩陣A的對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量，就是求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解析。無論是求特征方程的根，還是求齊次方程的基礎(chǔ)解析都要用到矩陣的初等變換。

10.化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型

由于二次型與對(duì)稱矩陣A之間是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，因此，化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，既可以從二次型出發(fā)，也可以從二次型對(duì)應(yīng)的矩陣A出發(fā)，我們?cè)谶@里主要介紹如何用矩陣的初等變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法。

對(duì)于對(duì)稱矩陣A，我們構(gòu)造階矩陣，然后，對(duì)A做一次初等行變換，緊接著再對(duì)整個(gè)矩陣做一次相應(yīng)的初等列變換，直至將A化成對(duì)角矩陣，當(dāng)將A化成對(duì)角矩陣的同時(shí)，單位矩陣E化成了可逆線性變換矩陣C，使得，其中就是二次型的標(biāo)準(zhǔn)形對(duì)應(yīng)的矩陣。

類似的。對(duì)于對(duì)稱矩陣A，我們也構(gòu)造階矩陣，然后，對(duì)于對(duì)稱矩陣A，每做一次初等列變換，緊接著再對(duì)整個(gè)矩陣做一次相應(yīng)的初等行變換，直至將A化成對(duì)角矩陣，當(dāng)將A化成對(duì)角矩陣的同時(shí)，單位矩陣E化成了可逆線性變換矩陣C，使得，其中就是二次型的標(biāo)準(zhǔn)形對(duì)應(yīng)的矩陣。

矩陣的初等變換還有著非常廣泛的應(yīng)用，比如，在高等代數(shù)、數(shù)論、通信、經(jīng)濟(jì)、生物基因遺傳等等方面都有著矩陣的初等變換的應(yīng)用。

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作者簡(jiǎn)介：楊付貴（1957.5）男，天津人，副教授。從事最優(yōu)化方法研究。