高等數(shù)學(xué)中“方程”根的問題

摘 要：在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中會涉及到“根”的問題，如何正確區(qū)分是方程的“根”還是“導(dǎo)函數(shù)”方程的根，以及“根”的存在性、唯一性;以及如何求出“根”，需要深入分析研究。本文通過對高等數(shù)學(xué)教材中涉獵到的涵蓋“根”問題的相關(guān)知識點(diǎn)進(jìn)行了歸納梳理總結(jié)，以便達(dá)到清晰思路，舉一反三，精準(zhǔn)解決問題的目的。

關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué);根;導(dǎo)函數(shù)方程

高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中 “根”的問題，是高等數(shù)學(xué)教學(xué)中一個(gè)非常重要的內(nèi)容，也是一個(gè)難點(diǎn)所在。首先要明確是方程的根還是導(dǎo)函數(shù)方程的根，因?yàn)椴煌愋头匠痰母鶎捎貌煌慕忸}原理。我們梳理了一下，總結(jié)出有以下兩部分的知識點(diǎn)中涵蓋“根”的問題。（1）閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（2）微分中值定理。如果我們能夠在教學(xué)中把各種知識點(diǎn)中“根”的問題進(jìn)行歸類，無疑對學(xué)生系統(tǒng)掌握知識，運(yùn)用知識，清晰思路都是非常好的一件事情，而且能幫助學(xué)生突破這個(gè)難點(diǎn)。

一、方程根的問題

在“閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)”這一節(jié)講到“方程的根”，解決方案是“零點(diǎn)定理”。

如果函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且f（a）與f（b）異號，那么函數(shù)f（x）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，即至少存在一點(diǎn)使得

所以當(dāng)我們判斷出是要求“方程根”的問題，我們就會選擇“零點(diǎn)定理”來解決。注意做題時(shí)首先要構(gòu)造“輔助函數(shù)”，再去檢驗(yàn)這個(gè)函數(shù)滿不滿足“零點(diǎn)定理的條件，如果滿足就直接用，如果不滿足就創(chuàng)造條件用。

例1.證明方程在內(nèi)（0，1）恰好有一個(gè)實(shí)根

分析：這個(gè)題目需要證明“存在性”和“唯一性”兩個(gè)方面。

二、導(dǎo)函數(shù)方程根的問題

在“微分中值定理”這一節(jié)講到“導(dǎo)函數(shù)方程的根”，解決方案是“羅爾定理”。

例1.設(shè)函數(shù) f（x）=（x-1）（x-2）（x-3），試判斷方程 f '（x）=0 有幾個(gè)實(shí)根，分別在何區(qū)間？

分析：羅爾定理常用于討論導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的存在性。

通過 f（a）=f（b）找出 f（x）連續(xù)、可導(dǎo)的區(qū)間;再利用羅爾定理判斷導(dǎo)數(shù)方程根的個(gè)數(shù)。

因?yàn)?f（1）= f（2）= f（3）=0 接著判斷 f（x）在[1，2]、[2，3]上是否符合羅爾定理。

解：因?yàn)?f（1）= f（2）= f（3），

且f（x）在[1，2]上連續(xù)

在（1，2）內(nèi)可導(dǎo)，由羅爾定理，$x₁?（1，2），使 f?（x₁）=0

同理，$x₂?（2，3），使 f '（x₂）=0

故 f '（x）=0有兩個(gè)實(shí)根

又因 f '（x）=0是二次方程，至多兩個(gè)實(shí)根

一般地，n次實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式至多有n個(gè)實(shí)根

故f '（x）=0有兩個(gè)實(shí)根，分別位于（1，2）和（2，3）內(nèi).

綜上：（1）導(dǎo)函數(shù)方程根的問題用羅爾定理（2）方程根的問題用零點(diǎn)定理（3）根的個(gè)數(shù)問題用單調(diào)性論證。

參考文獻(xiàn)

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[3] 羅釗，韓天勇，王偉鈞.高等數(shù)學(xué)（下冊）[M].北京：科學(xué)出版社，2010.

作者簡介：吳文前成都大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院副教授，碩士。研究方向：數(shù)學(xué)教育。