兩輪自平衡車的吸引區域估算方法

岳玉環，趙永華，郜峰

(嘉興職業技術學院，浙江 嘉興 314036)

0 引言

眾所周知，在很多情況下，精確地求解系統吸引區域是非常困難的，所以只能采用估算的方法來盡可能地近似地求解吸引區域。常用的方法是基于Lyapunov 函數的方法。由于Lyapunov 函數的選擇對于吸引區域的估計有很大的影響，所以如何選擇一個合適的Lyapunov函數來估計吸引區域仍然具有很大的難度。 其中相對簡單的二次Lyapunov 函數常用來進行吸引區域的估算[1]。此外，文獻[2-3]對多項式系統的吸引區域估計提出不同解決方法。然而，其中很多實際系統，例如輪擺、有飽和系統等都屬于非多項式系統。在文獻[4] 中提出了針對非多項式系統尋找吸引區域的估計方法。這些方法都是基于線性矩陣不等式(LMI)展開式求解多項式最優解實現的，計算量很大。

本文以兩輪自平衡車為例，介紹利用二次Lyapunov 函數通過坐標變換方法來擴大吸引區域估算值。通過與吸引區域估算結果的對比，證明了該坐標變換方法的有效性和計算的簡便性。

1 兩輪自平衡車的數學模型

兩輪自平衡車以其結構簡單，運動靈活的特點廣泛應用于現代交通中。它是一種多變量、 非線性、絕對不穩定的兩輪機器人系統，典型的商業化產品有Segway。兩輪自平衡車在靜止狀態下不能穩定平衡。車體的平衡是一個動態過程，在平衡點附近根據車體實時的方位信息和運動速度來調節控制信號以保持車體的平衡，這實際上是一個運動的倒立擺平衡系統[5-9]。兩輪自平衡車的結構簡圖如圖1所示，變量定義及具體數值見表1[10]。本文只研究兩輪自平衡車沿直線運動的情況。

圖1 兩輪自平衡車結構簡圖

接下來應用拉格朗日方程建立系統的數學模型。

系統的總動能T包括車體的動能T1, 左、右輪子動能T2，即

T=T1+T2=

表1 兩輪自平衡車的變量

以車輪中心軸線所在的x-y平面為零勢能面，系統的勢能為U=mpgLcosθ。

(1)

(2)

式中τ為電動機的轉矩。為了計算簡便，此處忽略了電動機電刷處的摩擦力。

由此得到系統的狀態方程為

應用文獻[11] 中的部分反饋線性化方法，將電動機的轉矩τ作為控制輸入信號，并選擇如下形式：

(3)

此外，在構造平衡車結構時，使條件α=η成立。此時，該系統的狀態方程可表示為

(4)

為了控制車體在豎直方向的平衡穩定，將系統在期望的平衡點(x1,x2,x3)=(0,0,ν0) 處進行線性化。這里需要說明的是：在x3=C(常數)時(狀態變量x3是相對角速度)，(x1,x2,x3)=(0,0,C)均為系統平衡點。

應用泰勒展開得到該系統的線性狀態方程

x=Ax+Bu

(5)

該線性系統顯然是可控的，所以可以通過選擇合適參數的PID控制策略u=-Kx實現該系統在豎直位置的平衡控制，此處K=(k1,k2,k3)。

2 吸引區域估算結果對比

2.1 基于二次Lyapunov函數吸引區域估計

從最基本的二次Lyapunov函數出發，在吸引區域內部通過尋找適當的幾何圖形來逼近吸引區域邊界，從而近似估計吸引區域的大小。

將控制信號u=-Kx施加到式(5)中，得到的閉環系統的表達式為

(6)

進一步得到

(7)

在橢球中，最大的球體可以表示為

(8)

采用表1中的數值， 應用Python語言編寫程序進行吸引區域的數值估算[13]。通過調用scipy庫中的linalg.solve_continuous_are()函數和solve_lyapunov()函數，估算出吸引區域約為R=1.2×10-3。可見，該吸引區域的估算數值非常小，不足以滿足系統實際控制和調試之用。

2.2 利用坐標變換，擴大吸引區域估算值

本小節，通過坐標變換的方法尋找更大的吸引區域估計值。為了簡單起見，假定

(9)

在新坐標系下，式(6)可寫作

與原坐標系下的閉環系統表達式(6)對比，得到

在新坐標系下，線性系統的Lyapunov方程

至此，可以得到如式(8)相同定義的最大球體

(10)

觀察式(10)，它實質上是一個在原坐標系下受到M值影響的橢球。

(11)

通過選取合理的M值，相當于對原坐標系下的式(8)進行適當地拉伸，可以較為明顯地擴大x的取值范圍，即擴大吸引區域。

3 系統仿真

參照得到的較大的吸引區域估算值，選取偏離平衡位置較遠的點x=(0.1rad,-0.5rad/s,3rad/s)作為系統的初始條件，利用Python程序進行系統的響應仿真，仿真結果如圖2所示。

圖2 系統的響應曲線

圖2中實線為K=(-90.18,-2.83,-0.79)，可以看出車體在4s內達到平衡點并穩定下來，說明了線性控制器u=-Kx的有效性，同時證明了吸引區域的估算值的可用性。虛線為K=(-90.18,-10,-0.79)得到的系統響應效果，發現系統獲得了較好的動態響應效果。由此也可以得出：在進行吸引區域估計時得到的K能夠實現系統的穩定控制，并且為PID線性控制器的參數整定優化提供一定的方向性指導。

4 結語

基于二次Lyapunov函數，對兩輪自平衡車的平衡控制通過變換坐標的方法來獲得較大吸引區域估算值，并從幾何學上直觀地解釋了坐標變化的意義。通過Python程序仿真系統響應過程，驗證了在擴大的吸引區域內的初始條件，均可通過PID線性控制器達到穩定平衡的控制效果。這種利用開源的Python 對控制系統的控制仿真獲得了成本更低、更簡便直觀的良好效果，對Python在眾多科研人員中的普及和推廣有很好的借鑒意義。