“命題的否定”與“否命題”概念辨析

丁陽會

摘 ?要：“命題的否定”與“否命題”是學生學習常用邏輯用語的過程中經常遇到的疑惑點，只有深刻理解兩個概念的本質并充分運用數學轉化與化歸的思想才能撥云見日.

關鍵詞：命題，否定，否命題

問題1 在數學中，有很多“若p，則q”形式的命題，有的是真命題，有的是假命題.例如

①若x>1，則2x+1>5;（假命題）

②若四邊形為等腰梯形，則這個四邊形的對角線相等.（真命題）

這里，命題①②都是省略了量詞的全稱量詞命題.

有人認為，①的否定是“若x>1，則2x+1≤5”，②的否定是“若四邊形為等腰梯形，則這個四邊形的對角線不相等”.你認為對嗎？如果不對，請你正確地寫出命題①②的否定.

問題2 判斷下列命題是否正確：

①“若2x+1>5，則3x+1<10”的否定是“若2x+1>5，則3x+1≥10”;

②“平行四邊形是矩形”的否定是“平行四邊形不是矩形”;

③“ ”的否定是“ ”;

④“等腰梯形的對角線相等”的否命題是“等腰梯形的對角線不相等”;

⑤“ ， ”的否命題是“ ， ”;

⑥“若 ，則 ”的否命題是“若 ，則 ”.

其中，問題1是2019年新人教版普通高中教科書《數學》（必修第一冊）第一章習題1.5“拓廣探索”中給出了一道思考題，顯然“若x>1，則2x+1≤5”是一個假命題，它不是命題“若x>1，則2x+1>5”的否定，“若四邊形為等腰梯形，則這個四邊形的對角線不相等”雖然是一個假命題，但它也不是②的否定，那么正確答案是什么呢？新人教版（2019）教科書與原人教版（2007）相比，只保留了充分條件與必要條件，全稱量詞命題和存在量詞命題及其否定（原人教版教材稱為“全稱命題與特稱命題”），刪除了四種命題及其關系和簡單的邏輯聯結詞.但是我們要解決問題1，還要從“命題的否定”與“否命題”兩個基本概念談起.

對一個命題進行全盤否定，就得到一個新命題，這一新命題就稱為原命題的否定，它和原先的命題只能一真一假，不能同真或同假.【1】對于兩個命題，如果一個命題的條件和結論分別是另一個命題的條件的否定和結論的否定，我們把這樣的兩個命題叫做互否命題，如果把其中一個命題叫做原命題，那么另一個叫做原命題的否命題.互否命題針對的是“若p，則q”形式的命題.【2】顯然“命題的否定”與“否命題”是兩個不同的概念.

有人認為命題“若p，則q”的否命題是既否定條件，又否定結論，而它的否定則是只否定結論，不否定條件，這種說法前半句正確，后半句則是錯誤的，例如命題“若 ，則 ”是假命題，“若 ，則 ”也是假命題，顯然它不是原命題的否定.那么，“若 ，則 ”的否定該如何書寫呢？

我們要書寫一個命題的否定首先要明確這個命題的結構，在高中教材中，常見的命題按結構可以分為以下幾類：單稱命題（例如2是偶數）、若 ，則 型、復合命題（含有邏輯聯結詞“或”、“且”）、全稱量詞命題、存在量詞命題.單稱命題的否定是直接進行否定，例如“2是偶數”的否定是“2不是偶數”，復合命題“ ”的否定分別為“ ”，全稱量詞命題“ ”的否定為存在量詞命題“ ”、存在量詞命題“ ”的否定為全稱量詞命題“ ”.對于“若 ，則 ”型的命題，我們在中學階段一般只書寫他的逆命題、否命題、逆否命題，如果要書寫它的否定，則需要把它改寫成全稱量詞命題，然后再書寫它的否定，例如上面的命題“若 ，則 ”改寫為全稱量詞命題“ ， ”，其否定就應該是“ ， ”，這是一個真命題，與原命題真假性相反.同樣，我們要書寫一個命題的否命題，首先也要把它改寫成“若 ，則 ”型的命題，例如書寫命題“2是偶數”的否命題，應該先把它改寫成“若一個整數是2，則這個整數是偶數”，再書寫它的否命題為“若一個整數不是2，則這個整數不是偶數”.問題1中的兩個命題是省略了量詞的全稱量詞命題，應該將兩個命題加上量詞并改寫成如下命題：“x>1，2x+1>5”，“所有的等腰梯形的對角線都相等”.它們的否定分別為：“ x>1，2x+1≤5”（真命題），“存在一個等腰梯形，它的對角線不相等”（假命題）.

問題2中的說法都是錯誤的.具體分析如下：

①中的兩個命題都是假命題，因而是錯誤的，應該先把原命題化簡再改寫成全稱量詞命題“x>2，x<3”，其否定應該是“ x>2，x≥3”，這是一個真命題.

②中兩者也都是假命題，顯然錯誤，原命題是省略了量詞的全稱量詞命題，應將其改寫為“所有的平行四邊形都是矩形”，其否定應該是“至少有一個平行四邊形不是矩形”，這是一個真命題.

③“ ”等價于“ ”，“ ”等價于“ ”，兩者顯然不能互為否定，“ ”的否定為“ ”，所以“ ”的否定是“ ”.

④應該將原命題改寫為“若一個四邊形是等腰梯形，則它的對角線相等”，它的否命題為“若一個四邊形不是等腰梯形，則它的對角線不相等”.

⑤應該將原命題改寫為“若 ，則 ”，它的否命題是“若 ，則 ”;

⑥應該將原命題化為等價命題“若 ，則 ”，它的否命題是“若 ，則 ”.

小結：不論是書寫命題的否定還是否命題，都要先分清命題的結構，再嚴格按照定義來寫，必要的時候還要對原命題進行化簡，進行等價變形，否則也容易出錯，對于命題否定的書寫是否正確，要養成用命題與命題的否定真假性相反這一規則進行檢驗的習慣.

參考文獻：

[1]人民教育出版社 課程教材研究所 中學數學程教材研究開發中心.普通高中課程標準實驗教科書·數學必修第一冊（A版）[M].北京：人民教育出版社，2019

[2]人民教育出版社 課程教材研究所 中學數學程教材研究開發中心.普通高中課程標準實驗教科書·數學選修2-1（A版）[M].北京：人民教育出版社，2007