基于層次分析法的新高考改革選科目組合概率研究

周澤宇　唐煒

摘 要：本文針對(duì)新高考改革后帶來的教學(xué)資源、排課、師資分配等問題，建立優(yōu)化模型，為現(xiàn)行高中選科政策提供創(chuàng)新型方案。我們首先定性分析了影響高中生選科的因素，針對(duì)各因素生成量化指標(biāo)，對(duì)各指標(biāo)進(jìn)行歸一化處理，以得到有關(guān)各個(gè)因素的決策矩陣。然后，利用層次分析法，建立起關(guān)于選科人數(shù)估計(jì)的多屬性決策模型，將決策矩陣作為目標(biāo)層到準(zhǔn)則層的第一層矩陣，將由成對(duì)比較矩陣分析得到的權(quán)值矩陣作為準(zhǔn)則層到方案層的第二層矩陣。聯(lián)立決策矩陣與權(quán)值矩陣，得到方案層各元素相對(duì)于目標(biāo)層的權(quán)值，由權(quán)值估算出學(xué)生選擇各單科的概率，進(jìn)而估算出學(xué)生選擇各選科組合的概率。

關(guān)鍵詞：層次分析;多屬性決策模型;權(quán)值;科目

1 引言

2014年9月4日[1]，國(guó)務(wù)院發(fā)布《國(guó)務(wù)院關(guān)于深化考試招生制度改革的實(shí)施意見》，意見提出新高考改革的主要任務(wù)和措施，要求改進(jìn)招生計(jì)劃分配方式、改革考試形式和內(nèi)容以及招生錄取機(jī)制等，此舉措標(biāo)志著新高考改革方案的正式發(fā)布。對(duì)于作為第三批試點(diǎn)進(jìn)行新高考改革的省市數(shù)量，由最初定下的18個(gè)銳減至8個(gè)，有關(guān)人士對(duì)試點(diǎn)省份進(jìn)行了調(diào)查了解[2]，總結(jié)出整體延遲的主要原因是，其擔(dān)心“自身資源跟不上改革節(jié)奏”。若真正允許學(xué)生自主選擇科目，學(xué)校就必須根據(jù)學(xué)生的選科結(jié)果，提供足夠的課程供學(xué)生“走班”。簡(jiǎn)單計(jì)算可知，“6 選 3”有 20 種組合，“7 選 3”則有 35 種組合，而一種組合的三門課不能安排在同一時(shí)間。因此，不僅排課復(fù)雜，更是極大增加了師資和教室等教學(xué)資源的需求，對(duì)經(jīng)濟(jì)和教育發(fā)展水平相對(duì)滯后的地區(qū)來說，可能是難以承受的。另一方面，選擇不同組合的學(xué)生數(shù)量很可能差異很大，而且由于社會(huì)變化的種種原因，學(xué)生的選擇也會(huì)逐年變化。

2 機(jī)器學(xué)習(xí)方法

2.1確定影響學(xué)生選科的因素

在具體估算學(xué)生如何選科之前，需要先經(jīng)過定性分析，找出存在哪些原因影響著學(xué)生選科的方案。經(jīng)過自身分析、對(duì)學(xué)生的調(diào)查走訪與咨詢相關(guān)專家意見，得到影響學(xué)生選科的因素主要有：個(gè)人興趣愛好、學(xué)術(shù)風(fēng)格、硬件設(shè)施、教師配置、就業(yè)趨勢(shì)五大部分。其中，個(gè)人興趣愛好屬于學(xué)生層面，學(xué)術(shù)風(fēng)格、硬件設(shè)施、教師配置屬于學(xué)校層面，就業(yè)趨勢(shì)屬于社會(huì)層面。

2.2定量化相關(guān)因素，確定評(píng)價(jià)指標(biāo)并建立函數(shù)

在具體分析中我們發(fā)現(xiàn)，對(duì)于個(gè)人的興趣愛好，需要逐個(gè)對(duì)學(xué)生進(jìn)行走訪才能知曉，而針對(duì)不同學(xué)校，需要對(duì)大量的學(xué)生進(jìn)行調(diào)查分析，基數(shù)的龐大，使得調(diào)查個(gè)人興趣愛好難以進(jìn)行。而學(xué)術(shù)風(fēng)格則較為空洞，難以進(jìn)行數(shù)學(xué)層面的分析。因此，需要將這兩個(gè)因素，等效為另一個(gè)與之相關(guān)的性質(zhì)。經(jīng)分析發(fā)現(xiàn)，無論是個(gè)人興趣愛好還是學(xué)術(shù)風(fēng)格，均與各科高分分布情況直接相關(guān)，因此，將其進(jìn)行性質(zhì)上的等效處理。各科高分分布情況，可用往屆各科高分人數(shù)h 這一量綱進(jìn)行反應(yīng)。

硬件設(shè)施，則可用各科實(shí)驗(yàn)設(shè)備數(shù) e 進(jìn)行反應(yīng)，而教師配置可用各科教師人數(shù)t 進(jìn)行反應(yīng)，就業(yè)趨勢(shì)可用各科就業(yè)情況評(píng)分 s 進(jìn)行反應(yīng)。

至此，已將各個(gè)影響因素進(jìn)行定量化處理，得到了四個(gè)對(duì)于各科選科人數(shù)的評(píng)價(jià)指標(biāo)，從而建立起關(guān)于各科選科人數(shù) N 的函數(shù)，如下式：

（1）

在已經(jīng)發(fā)布了新高考改革方案的省中，我們選取了廣東省的五所不同條件的中學(xué)進(jìn)行調(diào)查，分別是廣州市南武中學(xué)、中山紀(jì)念中學(xué)、廣州市白云中學(xué)、花都區(qū)新華中學(xué)、開平市風(fēng)采中學(xué)。每一學(xué)校各選出 500 位同學(xué)，統(tǒng)計(jì)出了他們?cè)诜挚坪竽M考試的分?jǐn)?shù)分布情況。然后，對(duì)各個(gè)學(xué)校的各科實(shí)驗(yàn)設(shè)備數(shù)以及各科教師人數(shù)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)。

2.3建立模糊綜合評(píng)價(jià)模型

建立基于層次分析法的模糊綜合決策模型，將各個(gè)屬性納入準(zhǔn)測(cè)層內(nèi)進(jìn)行研究，該模型的示意圖見圖 1 所示。

我們查找了大量數(shù)據(jù)，并咨詢了相關(guān)領(lǐng)域的專家，建立了方案層相對(duì)于準(zhǔn)則層的成對(duì)比較矩陣 B1-B6，用于表示針對(duì)各個(gè)學(xué)科而言，準(zhǔn)則層里不同屬性的重要性。采用了 Santy 的 1-9 標(biāo)度方法，建立該模型下的成對(duì)比較矩陣標(biāo)度表。

通過有關(guān)權(quán)值得分的計(jì)算，可將其轉(zhuǎn)化為學(xué)生選擇的概率 p，對(duì)于廣東省而言，新高考改革實(shí)行“3+1+2”的選科模式，即在物理、歷史中任選一科，在化學(xué)、生物、政治、地理中任選兩科。記同學(xué)校中物理、歷史的權(quán)值得分為c1、c2，選擇概率為 p1，2;化學(xué)、生物、政治、地理的權(quán)值得分為c3、c4、c5、c6。通過概率論中相關(guān)知識(shí)，計(jì)算出基于選單科概率的選科組合概率，見表1所示。

3 小結(jié)

在某個(gè)發(fā)布了新高考改革方案的省里選幾所不同地區(qū)不同條件的中學(xué)，根據(jù)學(xué)校的學(xué)生規(guī)模、文化傳統(tǒng)和特色等實(shí)際情況，估算出每一種選課組合的選擇概率。本文采用多屬性決策模型，不必限制影響因素的具體維數(shù)，可進(jìn)行全面而具體的分析。歸一化處理使得各屬性值不再受其各自量綱的影響，使各指標(biāo)可進(jìn)行混合運(yùn)算。決策矩陣中的元素類似于分值，由成對(duì)比較矩陣產(chǎn)生的權(quán)重矩陣則為各分值對(duì)應(yīng)的權(quán)值，各元素相乘產(chǎn)生的綜合得分則類似于加權(quán)打分系統(tǒng)，更為客觀準(zhǔn)確。

參考文獻(xiàn)

[1]張中寧，新高考改革背景下普通高中選課走班調(diào)查研究——以浙江省 5 所高中為例[D]，曲皋師范大學(xué)，2017.3

[2]亓佳彤，由新高考“六選三”引出的遞歸問題[R]，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2019.