探究圓錐曲線中定點與面積問題的一般解法

何定杰

摘 要：圓錐曲線是高中數學解析幾何的一個重難點知識，通常會結合其他版塊的知識進行考查，比如直線與圓錐曲線的位置關系，定點問題和構成圖形面積問題是其典型代表。以2019年全國Ⅲ卷（理科數學）中的10題、21題為例，解析高考真題，以求分離出解題過程中的數學思想及思維，從而總結類型問題的一般解法，讓難點變成可攻克的一般問題。

關鍵詞：圓錐曲線 解析幾何 定點 面積 數學思想及思維

新課標2017版將高中數學劃分為五大主題，而圓錐曲線是幾何與代數主題下的一個重難點，直線與圓錐曲線的位置關系更是考查的重中之重，這樣一來就要求學生具備足夠的數形結合的思想以及構造函數（或方程）的解題思維，同時還對學生翻譯與轉化的能力、運算能力有著較高的要求。

下面就以2019年高考全國Ⅲ卷（理科數學）10題、21題為例，對這類型的問題進行解析。

總結：本題考查了圓錐曲線中的定點問題以及圓錐曲線與定直線的四邊形的面積問題，考查的知識面廣，計算復雜，包括函數、導數、圓錐曲線、四邊形的內容，難度較大，是這張試卷的壓軸題之一。從函數角度入手，結合拋物線的一些性質，數形結合，利用弦長公式聯系二次函數與圓錐曲線的方程，巧妙將四邊形切割成兩個三角形，從而將求四邊形的面積轉化成求兩個三角形的面積之和的問題，提高運算的效率。

二、類型總結

1.定點問題

定點問題是圓錐曲線考查的難點和熱點問題，對所學知識的綜合考查力度是比較強的，對學生的計算能力、邏輯推理的能力要求都是較高的。涉及這類型的題目常常令學生望而卻步，那么下面介紹兩種這類題常用的解題方法。

（1）參數法

參數法是高考解題中很常見的方法，函數、解三角形、數列、幾何等等類型的題都可以運用參數法求解，其核心思想就是引進參數將題設中的條件聯系起來，從而達到求解的目的。那么下面我們就圓錐曲線的定點問題總結參數法的一般步驟：

設參：根據題設條件引進參數;一般引進的參數都是點的坐標或者直線的斜率

列式：根據題設列出關系式;題中條件一般都能指引我們表示出對應的動態直線或者曲線的方程

轉化：根據題設探求直線過某一定點;一般的，將表示出來的動態直線轉化成的形式，這樣就能找到直線恒過某一定點;若設立的是動態曲線的方程，就要將其轉化成的形式，從而找到直線恒過的定點。

本題既然是探究以MN為直徑的圓過不過定點，就需要將圓的方程表示出來，由題設，不難發現將M、N兩點的坐標求出來是首要的。我們直接設出P點的坐標，利用兩個參量表示出其他量，從而結合題設達到消參的目的，求出定點;本題還有另一種解法，可以通過引入參量k，設立直線PQ的方程，再通過解方程組求出各個量，找到定點（參考例3自行探究）。

通過探究，可以發現，第一種方法比第二種的運算少，計算相對容易。從而我們可以得到一個啟示：只有合理的選擇參數，才能有效地減少運算量。

（2）由特殊到一般法

當題設沒有給出定點，但要求解決這個定點問題，我們就可以從題設中尋找特殊情況以確定這個定點，找到目標之后再進行一般情況下的推理。

解題步驟：

研究特殊情況;從題設的特殊情況入手，得到目標關系索要探求的定點。一般的特殊情況有：直線斜率不存在、直線過原點等。

探究一般情況;從得到的定點入手，探究一般情況下，是否會經過這個點，從而判定我們得到的點是否是正解。

得出結論;綜合上述得出結論。

有關方法二需要大家自主訓練，對于圓錐曲線的定點問題，計算量大，式子復雜，但只要運用好這兩種方法，認真、仔細的演算，基本沒有問題。

2.面積問題

圓錐曲線中的面積問題往往是幾個知識面的交匯考查，如例1綜合考查了三角形的性質和雙曲線的內容，又如例2（2）考查了函數、圓和拋物線的內容，是高考的一大難題。這類問題一般考查的面積計算無非是三角形與四邊形，也可以總結出一些解題的規律。

（1）熟練尋找三角形的底和高：

如例1，分析題設條件我們很容易能找到底邊OF是最合適的突破口，從而結合三角形的性質我們很快就求出答案。

實際上，求三角形的面積離不開底和高，由此至少需要兩條線段的長度，而為了簡便運算，我們通常會選擇能以坐標直接表示的線段作為底或高。

（2）熟悉特殊類型的三角形：焦點弦三角形

定義：過有心圓錐曲線一個焦點弦的兩個端點與另一個焦點構成的三角形稱為有心圓錐曲線的焦點弦三角形[1]

這類最值問題， 通常動直線是過定點斜率不定或截距變化斜率不變，如定點在x軸（y軸） 且在橢圓內（外），不管哪一種類型，都要恰當選擇直線點斜式方程避免分類討論， 并合理選擇三角形面積公式進行割補等簡化運算， 此外還要求熟練掌握換元法和配湊法等策略。[2]

三、思考啟示

圓錐曲線是高考重難點，考題綜合性強，常考題目交匯內容多，是一個需要大量練習與記憶的內容。有關其中的定點問題以及面積問題都能總結出比較常見的模型，在練習時，聯合曲線、直線構建合理的解題模型能起到事半功倍的效果。需要注意的是，有的題不止一種解法（如例3），不同解法的計算量和復雜程度也有可能不一樣，所以解題時需要分析清楚適合的解法，提高解題效率。

參考文獻

[1]張超.焦點弦三角形的面積表示及應用[J].中國數學教學參考.2019（7）：56

[2]黃偉才.圓錐曲線最值問題處理策略[J].中學數學研究.2019（4）：43