一維正態(tài)分布和二維正態(tài)分布

粟瓊

【摘要】正態(tài)分布又叫高斯分布，是反映自然界中事物“發(fā)生—到達(dá)頂峰—消亡”過(guò)程的規(guī)律總結(jié)，它在自然界，人類社會(huì)等都有大量體現(xiàn)。本文就一維正態(tài)分布與二維正態(tài)分布的特點(diǎn)做出分析，研究其特征。

【關(guān)鍵詞】正態(tài)分布;一維;二維

正態(tài)分布是也叫常態(tài)分布或者高斯分布，最早由棣莫弗在求二項(xiàng)分布的漸近公式中得到，是一個(gè)在數(shù)學(xué)、物理及工程等領(lǐng)域都非常重要的概率分布，同時(shí)在統(tǒng)計(jì)學(xué)中都有很廣泛的運(yùn)用，影響極其深遠(yuǎn)。

一、一維正態(tài)分布的定義及密度曲線的分析

（一）一維正態(tài)分布定義

在多次高爾頓釘板試驗(yàn)中，掉入中間槽的球的個(gè)數(shù)多于掉入兩邊的槽的球的個(gè)數(shù)，并且從中間往兩邊遞減。如果我們將球槽從左至右編號(hào)，以這些編號(hào)為橫坐標(biāo)，以每個(gè)球槽落入的小球個(gè)數(shù)為縱坐標(biāo)建立坐標(biāo)系，則可以做出頻率分布直方圖，將頻率分布直方圖上方中點(diǎn)用直線連接起來(lái)畫出頻率分布折線圖，當(dāng)我們的球槽足夠多足夠密時(shí)，這些折線近似一條光滑的曲線，我們把它稱為總體密度曲線，在高爾頓釘板試驗(yàn)中的總體密度曲線就像一個(gè)倒扣的鐘形，兩頭低中間高，并且兩邊對(duì)稱，我們也把它叫做“鐘形曲線”，也叫“正態(tài)分布密度曲線”。

（二）一維正態(tài)分布密度曲線的分析

正態(tài)分布密度曲線公式中的參數(shù)和為常數(shù)，它們的值決定了曲線的位置與高度，下面研究這兩個(gè)常數(shù)的變化對(duì)正態(tài)分布密度曲線的影響。

1.當(dāng)取固定值分別取值x1、x2、x3時(shí)，曲線圖形如圖所示：

2.當(dāng)取固定值分別取值、1、2時(shí)，曲線圖形如圖所示：

由圖可知只影響曲線的位置，不影響曲線的形狀，只影響曲線的形狀，不影響曲線的位置，越小，標(biāo)準(zhǔn)差就越小，圖形就越“瘦高”，就越集中在期望的附近。

二、二維正態(tài)分布的定義及密度曲線的分析

在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，正態(tài)分布的影響力極其深遠(yuǎn)，一維正態(tài)分布不管是定義還是性質(zhì)都比較容易理解，但是現(xiàn)實(shí)生活中，對(duì)某一事物產(chǎn)生影響的不僅僅是一個(gè)變量，可能會(huì)有兩個(gè)甚至多個(gè)變量，那也就需要二維甚至多維的正態(tài)分布數(shù)據(jù)進(jìn)行分析。下面就二維正態(tài)分布作出分析：

在三維空間中，為了更形象地描述二維正態(tài)分布，我們?cè)诳臻g直角坐標(biāo)系中研究二維正態(tài)分布密度曲線，其函數(shù)的圖形像一個(gè)倒扣在xOy平面上的鐘，中心點(diǎn)對(duì)應(yīng)xoy平面中的點(diǎn)，由一維正態(tài)分布的經(jīng)驗(yàn)我們?nèi)菀字啦桓淖兤渌鼌?shù)，只改變、的值，則該函數(shù)曲線的形狀不會(huì)發(fā)生改變，只會(huì)改變這個(gè)“鐘形”的中心位置。

我們考慮單個(gè)的值變化時(shí)圖形的改變，下圖從左至右是取固定值2時(shí)，分別取值1、2、3、4這四個(gè)值時(shí)對(duì)應(yīng)的圖形，顯然，當(dāng)?shù)闹翟酱髸r(shí)，在x軸方向上，圖形就越“矮平”，X的值就越分散。

同理，如果我們只考慮的變化，則的值越大時(shí)，在y軸方向上，圖形就越“矮平”，Y的值就越分散。

最后我們考慮的值對(duì)圖形的影響，我們保持其他四個(gè)參數(shù)的值不變，的值分別取值0、0.25、-0.5、0.9這四個(gè)值，對(duì)應(yīng)的圖形分別如下圖所示：

從圖形可以看得出來(lái)，隨著的值的絕對(duì)值越大，圖形對(duì)應(yīng)更“集中”，更集中在中心線的周圍，所以我們也更容易理解，當(dāng)?shù)慕^對(duì)值越大時(shí)，X與Y的線性相關(guān)關(guān)系就越強(qiáng)，的正負(fù)則說(shuō)明了X與Y是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)的關(guān)系。

二維正態(tài)分布的兩個(gè)邊緣分布均為一維正態(tài)分布，X～，Y～。

二維正態(tài)分布的應(yīng)用也比較廣泛，比如當(dāng)我們研究男女性別對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的影響時(shí)，我們就可以收集大量的成績(jī)數(shù)據(jù)，利用二維正態(tài)分布模型就很容易看得出來(lái)性別差異與數(shù)學(xué)成績(jī)的關(guān)系。

其實(shí)，實(shí)際問(wèn)題中，當(dāng)影響結(jié)果的變量較多時(shí)，也可以用多維正態(tài)分布來(lái)分析，在此文中就不再討論了。

三、正態(tài)分布的應(yīng)用

正態(tài)分布在變量分析中有非常廣泛地應(yīng)用，它描述了自然界中“產(chǎn)生——發(fā)展——高潮——消亡”的過(guò)程，能夠用于輔助判斷自然界中出現(xiàn)的事物的發(fā)展過(guò)程。大量的數(shù)據(jù)與實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，自然界中的現(xiàn)象大部分都可以看成服從或者近似地服從正態(tài)分布，所以，正態(tài)分布在人類社會(huì)中具有很廣泛的研究應(yīng)用價(jià)值和指導(dǎo)價(jià)值，正態(tài)分布的研究反過(guò)來(lái)也有利于促進(jìn)人類的發(fā)展與進(jìn)步。

現(xiàn)在，通過(guò)正態(tài)分布研究，我們可以確定在社會(huì)生產(chǎn)活動(dòng)和科學(xué)實(shí)驗(yàn)中，很多變量的概率分布都可以近似地用正態(tài)分布來(lái)描述。例如，人類社會(huì)中某種疾病的出現(xiàn)和發(fā)展過(guò)程;某個(gè)地區(qū)一年的降水量的情況;人類在某個(gè)年齡段的身高、體重、脂肪率等情況;同一種植物種子的發(fā)芽情況;同一批考生的考試成績(jī)情況;某個(gè)工廠同一批次的產(chǎn)品的質(zhì)量情況等等，均近似地呈現(xiàn)正態(tài)分布的特點(diǎn)。

在關(guān)于正態(tài)分布的研究中，有一個(gè)很有趣的現(xiàn)象，很多事物的分布原本并不服從或者近似地服從正態(tài)分布，但是，當(dāng)我們將樣本容量擴(kuò)充到一定程度以后，反倒服從或者近似地服從正態(tài)分布了。所以，正態(tài)分布是我們認(rèn)識(shí)這個(gè)世界的有力武器，為我們揭示自然界的規(guī)律提供了強(qiáng)有力的指導(dǎo)。

既然正態(tài)分布能夠解釋這么多事物的規(guī)律，那滿足什么樣的特點(diǎn)的事物或者現(xiàn)象才服從正態(tài)分布或近似地服從正態(tài)分布呢？一般說(shuō)來(lái)，只要某個(gè)事物或現(xiàn)象發(fā)生的最終結(jié)果是受到很多相互獨(dú)立的微小因素的影響的，我們就認(rèn)為這個(gè)事物或者現(xiàn)象符合正態(tài)分布的規(guī)律。比如，10歲女孩的身高情況，既受到先天因素的影響，又在后天也會(huì)受到多重因素的影響。先天因素當(dāng)中包括父母的遺傳因素，母親的孕期營(yíng)養(yǎng)等，后天因素包括睡眠、飲食、營(yíng)養(yǎng)等等，由于有多種相互獨(dú)立的隨機(jī)因素影響女孩的身高情況，我們可以把這個(gè)年齡段的女孩身高情況看成服從或者近似地服從正態(tài)分布，從而加以研究。

當(dāng)然，正態(tài)分布也不能解釋這個(gè)世界上的所有事物，它的使用也受到一定的限制，這種限制主要表現(xiàn)在：

1.正態(tài)分布只能用來(lái)解釋同一事物或者現(xiàn)象的分布情況，可以體現(xiàn)出同一事物或現(xiàn)象在自然狀態(tài)下的規(guī)律，也能說(shuō)明不同個(gè)體在這一規(guī)律下的差異，但是無(wú)法將其他不同的事物或者現(xiàn)象混合在一起解釋。

2.正態(tài)分布只能用來(lái)描述在多種隨機(jī)因素影響下的事物或者現(xiàn)象，如果是確定性的因素則無(wú)法描述，比如，函數(shù)關(guān)系這種確定性的關(guān)系則不能用正態(tài)分布來(lái)表達(dá)。

3.正態(tài)分布所描述的事物或現(xiàn)象的結(jié)果往往有非常多種，結(jié)果數(shù)量很有限的事物則往往無(wú)法用正態(tài)分布來(lái)解釋，比如拋一枚硬幣，其結(jié)果只有“正面向上”和“反面向上”兩種結(jié)果，那么它的規(guī)律就無(wú)法用正態(tài)分布來(lái)解釋。

總而言之，正態(tài)分布是我們研究、認(rèn)識(shí)這個(gè)世界，揭示人類社會(huì)生產(chǎn)實(shí)踐和科學(xué)研究，改造世界的強(qiáng)大武器。

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