核心素養背景下的數學中考命題研究

黃錦書 沈惠娟

【摘要】本文以命制“新定義題型”數學中考題為例論述命制數學考題的方法，分析2019年廣西北部灣經濟區中考數學試卷的最后一題，對該考題進行改編，明確考題的考查層次、拓寬考題的考查范圍，提出注重問題情境、明晰初中數學各知識板塊的考查比例、考查數學本質與核心知識等命題建議。

【關鍵詞】數學 中考 命題研究 核心素養 新定義題型

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2020）29-0036-04

近年來，聚焦數學學科核心素養成為中考命題的出發點和落腳點，注重考查思維過程、創新意識和分析問題、解決問題能力的問題越來越受到命題專家的青睞。如何在考查結果性目標的同時兼顧過程性目標，實現對學生“四基”的考查？怎樣命題才能更好地考查數學素養和創新能力呢？筆者認為，應盡量原創或是加大改編力度，對試題反復打磨、精雕細琢?！靶露x題型”承載了區分、選拔的功能，其原創取向、由淺入深、數形結合的命題風格，體現了命題組深厚的命題功底，這類“新定義題型”重在考查學生的思維能力，培養學生學會思考、理解數學本質的能力，引領教學方向?！靶露x題型”指在問題中定義了一些概念、新運算、新符號，要求學生“現學現用”，用“新定義”解題，考查學生的閱讀理解能力、應變能力及創新能力的一種題型。下面筆者以2019年廣西北部灣經濟區中考數學試題為例進行分析。

一、試題分析

（一）試題呈現

如果拋物線C1的頂點在拋物線C2上，拋物線C2的頂點也在拋物線C1上時，那么我們稱拋物線C1與C2為“互為關聯”的拋物線。如圖1，已知拋物線C1：y1=[14]x2+x與C2：y2=ax2+x+c是“互為關聯”的拋物線，點A，B分別是拋物線C1，C2的頂點，拋物線C2經過點D（6，-1）。

（1）直接寫出A，B的坐標和拋物線C2的解析式;

（2）拋物線C2上是否存在點E，使得△ABE是直角三角形？如果存在，請求出點E的坐標;如果不存在，請說明理由;

（3）如圖2，點F（-6，3）在拋物線C1上，點M，N分別是拋物線C1，C2上的動點，且點M，N的橫坐標相同，記△AFM面積為S1（當點M與點A，F重合時S1=0），△ABN的面積為S2（當點N與點A，B重合時，S2=0），令S=S1+S2，觀察圖象，當y1≤y2時，寫出x的取值范圍，并求出在此范圍內S的最大值。

“互為關聯”的拋物線這個“新定義”簡單明了，沒有晦澀難懂的數學語言和數學符號，簡約但不簡單，深入思考就會發現其豐富的內涵和意蘊，但在此題中只是在第（1）問中得到簡單的應用，最后兩問不僅與新定義“互為關聯”的拋物線沒有關系，甚至與二次函數的性質和圖象特征也基本不相關，二次函數只是作為背景，實在有點可惜。筆者認為這道新定義試題應側重考查代數知識，這樣整份試卷的知識點分配更合理，更能考查學生的數學綜合能力和創新能力。筆者對這道題進行研究和改編，敬請廣大同仁批評指正。

（二）對試題初步探究

既然兩條拋物線互為關聯，那么它們應該在“數”和“形”上應該有所聯系。計算發現C2：y2=-[14]x2+x+2中的a=-[14]與C1：y1=[14]x2+x中的a=[14]互為相反數;仔細觀察圖形發現，兩條拋物線組成的圖形應該是中心對稱圖形。筆者決定再找幾個例子研究，從特殊到一般，看看是否都有這樣的規律。于是筆者讓點B“動”起來，即不要求拋物線C2一定經過點D（6，-1）。當點B坐標為（4，8）時，求得C2：y2=-[14]x2+2x+4，兩條拋物線的解析式中的二次項系數仍互為相反數。

作出圖形（如圖3），觀察發現兩條拋物線組成的圖形也是中心對稱圖形。當點B坐標為（6，15）時，求得C2：y2=-[14]x2+3x+6，兩條拋物線的解析式中的二次項系數仍互為相反數，作出圖形（如圖4），觀察發現兩條拋物線組成的圖形是中心對稱圖形。不僅如此，比較得到的幾個C2解析式即可發現，C2解析式中的常數項等于一次項系數的2倍。

由上面分析，筆者猜想：如果兩條拋物線是“互為關聯”的拋物線，則兩條拋物線解析式中的二次項系數互為相反數，兩條拋物線組成的圖形是中心對稱圖形。下面進行推導驗證。

不失一般性地，我們設拋物線C1：y=a1x2+b1x+c1與C：y=ax2+bx+c是“互為關聯”的拋物線，為了方便計算和后面的推理闡述，就以拋物線y=[14]x2+x的頂點A（-2，-1）作為拋物線C1的頂點，則拋物線C1的解析式可寫成y=a1（x+2）2-1，現在要證明a=-a1以及C與C1組成的圖形是中心對稱圖形。C1上任意一點B（m，n）為拋物線C的頂點，則拋物線C的解析式可寫成y=a（x-m）2+n?！唿cB在拋物線C1上，∴a1（m+2）2-1=n，又∵點A在拋物線C上，∴a（-2-m）2+n=-1，變形得a（m+2）2+n=-1，解方程組[a1（m+2） 2-1=na（m+2） 2+n=-1得]a=-a1，由此可知C與C1的解析式中的二次項系數互為相反數。

因為拋物線C與C1的解析式中的二次項系數互為相反數，所以互為關聯的兩條拋物線的形狀、開口大小一樣，只是開口方向相反、位置不同，只要拋物線C繞線段AB的中點旋轉180°，則拋物線C與C1重合，所以互為關聯的兩條拋物線組成的圖形是中心對稱圖形，由此可知猜想是正確的。

由上面結論可知，如果拋物線C1的解析式為y=[14]x2+x，則拋物線C的解析式中的二次項系數a=-[14]，則拋物線C的解析式可寫成y=[-14]（x-m）2+n。∵點B在拋物線C1上，∴n=[14m]2+m，代入y=-[14]（x-m）2+n得y=-[14]x2+[12]mx+m，即b=[12m]，c=m，∴c=2b，即此時拋物線C的解析式中的常數項等于一次項系數的2倍。

在上面分析中，我們從運動與變化的角度，讓點B運動起來，則拋物線C跟著運動，這樣就成了動態問題。解決動態問題，首先要把握運動、變化的全過程，在“變”中探求“不變”的本質，變中不變即是性質。我們探索出新圖形的性質之后，就可以為后面運用新圖形的性質解決問題做準備。

在這一過程中，筆者先借助幾何直觀猜測結論，再從數的角度驗證猜測。如果只從“數”的角度出發，根據解析式和中心對稱的點坐標去推導說明點在函數圖象上是比較煩瑣的，有時借助幾何直觀進行思考會更簡便，教師要重視向學生滲透借助幾何直觀進行分析的思考方式。

（三）對試題進一步拓展

由上述分析可知，互為關聯的拋物線C與C1組成的圖形是中心對稱圖形，點B運動，則對稱中心跟著運動，那么對稱中心運動有規律嗎？對稱中心運動的軌跡是什么？下面筆者先通過合情推理進行分析。

拋物線C1：y=[14]x2+x的頂點A（-2，-1），設對稱中心為O1，當點B與點A重合時，點O1坐標為（-2，-1）;當點B坐標為（2，3）時，點O1坐標為（0，1）;當點B坐標為（4，8）時，點O1坐標為（1，[72]）;當點B坐標為（6，15）時，點O1坐標為（2，7）。通過描點觀察，猜想O1的軌跡是一條以點A為頂點的拋物線。如果從“數”的角度去猜想，則看（-2，-1），（0，1），（1，[72]），（2，7）這4個點是否同在一條拋物線上。設O1的軌跡的解析式為y=a（x+2）2-1，把x=0，y=1代入y=a（x+2）2-1，求得a=[12];把x=1，y=[72]和x=2，y=7代入y=a（x+2）2-1，同樣求得a=[12]，由此可見，這4個點都同在拋物線y=[12]（x+2）2-1上，由此更加肯定猜想的正確性。下面用演繹推理進行驗證。

點A坐標為（-2，-1），設點B坐標為（x，y），點O1坐標為（x0，y0），由中點坐標公式（作三角形中位線容易推導出中點坐標公式，所以應該不算超綱）可知x0=[x-22]，y0=[y-12]，∴x=2（x0+1），y=2y0+1，代入y=[14]x2+x可得y0=[12]（x0+2）2-1，這就是y0與x0的關系式，把x0換成x，把y0換成y，則得到y=[12]（x+2）2-1，從而證明點O1的軌跡是拋物線y=[12]（x+2）2-1。

推廣到一般情形，為了方便計算和后面的推理闡述，不失一般性地，筆者還是以點A（-2，-1）作為拋物線C1的頂點，則拋物線C1的解析式可寫成y=p（x+2）2-1，推理同上：設點B坐標為（x，y），點O1坐標為（x0，y0），可知x0=[x-22]，y0=[y-12]，∴x=2（x0+1），y=2y0+1，代入y=p（x+2）2-1可得y0=2p（x0+2）2-1，這就是y0與x0的關系式，把x0換成x，把y0換成y，則得到y=2p（x+2）2-1，由此可見，對稱中心O1的軌跡是一條拋物線。比較y=2p（x+2）2-1和y=p（x+2）2-1，可知這條拋物線與原拋物線頂點相同，其解析式中的二次項系數等于原拋物線解析式中的二次項系數的2倍。

上面的結論是從特殊到一般，由具體到抽象，通過觀察、實驗、猜測、計算、歸納、推理、驗證等一系列活動得出的。教師如果在日常教學中經常引導學生經歷觀察、猜想、探究和發現，通過幾何直觀、推理和計算去分析問題、解決問題，可以讓學生積累數學活動經驗，提升數學抽象、直觀想象、邏輯推理、數學運算等數學素養。并且，教師不僅要一題多解，還要一題多變，引導學生多層面、多角度對數學問題進行延伸探究，改變靜止孤立思考問題的習慣，使思維向廣闊的方向聯想，向縱深方向發展，達到由此及彼，觸類旁通的教學目的，這樣才能培養學生思維的發散性和靈活性，發展其創造力。

二、嘗試命制“新定義題型”

由于“新定義題型”考查學生的學習潛能，因此它遵循學習規律：學習新知—鞏固新知—運用新知，2019年廣西北部灣經濟區中考數學試卷第26題中的新定義是“圖形新定義”，其命制呈現的結構為：給出新圖形的定義—探索新圖形的性質—運用新圖形的性質解決問題。整題在題干中給出新圖形的定義，在題支中設置探索性質、運用性質的問題，設問的特點遵循我們認識事物的規律：從簡單到復雜，從特殊到一般。由此，筆者遵循此命題思路嘗試命制新題。

（一）初稿呈現

如果拋物線C的頂點在拋物線C1上，拋物線C1的頂點也在拋物線C上時，那么我們稱拋物線C與C1“互為關聯”的拋物線。拋物線C：y=ax2+bx+c，拋物線C1：y1=[14]x2+x，點A，B分別是拋物線C1，C的頂點。

（1）如圖5，如果拋物線C與C1是“互為關聯”的拋物線，求a的值以及b和c之間的關系;

（2）拋物線C1以點A為頂點，拋物線C與C1是“互為關聯”的拋物線，求證：拋物線C與C1是中心對稱圖形;

（3）拋物線C與C1是“互為關聯”的拋物線，拋物線C與C1組成的圖形的對稱中心為O1，點B運動，則點O1跟著運動，請分析說明點O1運動的軌跡是一條拋物線。

此題第（1）問，根據文字語言和圖形語言初步理解新定義，是對新定義的簡單應用，先從“數”的特征提出問題，同時為第（2）問鋪墊;第（2）問讓學生在熟悉新定義的基礎上繼續探索，并從“形”的特征提出問題，對新定義的性質進一步研究，同時為第（3）問鋪墊;第（3）問在前面探索出新定義圖形的性質后，讓學生學以致用。但仔細一想，如果這樣設問，還是沒有考查到二次函數的主要性質，如軸對稱性質和增減性等。雖然考查了轉化、數形結合、特殊與一般、類比等數學思想，但尚未考查到分類討論思想，感覺壓軸的分量不夠，于是筆者決定再次進行改編。

（二）再次改進

由前面的分析可知，對稱中心O1的軌跡是一條拋物線，這條拋物線與原拋物線頂點相同，解析式中的二次項系數等于原拋物線解析式中的二次項系數的2倍。拋物線C1的解析式為y=[14]x2+x=[14]（x+2）2-1，點O1的軌跡為拋物線C2：y=[12]（x+2）2-1，如果拋物線C與C2是“互為關聯”的拋物線，拋物線C與C2組成的圖形的對稱中心為O2，由前面的分析易知，點O2運動的軌跡是拋物線C3：y=（x+2）2-1。以此類推，很容易求出對稱中心On的軌跡，但這樣還是沒有涉及二次函數的主要性質，也沒用到分類討論思想。由于拋物線C3：y=（x+2）2-1與坐標軸的交點的坐標比較好算，于是筆者決定以此展開。