高等數(shù)學一元函數(shù)不定積分求法的分析

摘 要：在社會不斷發(fā)展和進步的今天，各行各業(yè)都需要應用數(shù)學來幫助企業(yè)的管理發(fā)展。高數(shù)已經(jīng)與我們的生活緊密相關，高等數(shù)學作為理工科的基礎學科，具有高度抽象性和嚴謹邏輯性的特點。本文旨在討論一元函數(shù)不定積分求法的解析，縮短學生學習的時間，減輕學習不定積分法的負擔。

關鍵詞：高等數(shù)學;一元函數(shù);不定積分;湊積分法

在數(shù)學積分學當中，積分是微積分當中的一個核心的概念，在一個函數(shù)中可以存在定積分而不存在不定積分;抑或是只存在定積分，而不存在不定積分。定積分和不定積分作為積分學中的兩個重要組成部分。定積分是用來求某種極限，是一個具體的數(shù)值;不定積分則作為逆運算的求導方法，作為一種函數(shù)表達式而存在。

1 不定積分的概念

在1677年的牛頓-布萊尼茨公式中提出，一個連續(xù)函數(shù)在區(qū)間[a，b]上的定積分等于它的任意一個原函數(shù)在區(qū)間[a，b]上的增量。因此在函數(shù)定積分的計算就可以通過不定積分來簡便計算[1]。求解函數(shù)f（x）的不定積分，其含義就是求出f（x）所有的原函數(shù)。求出一個原函數(shù)，加上C（任意常數(shù)）就可以得到符合原函數(shù)性質(zhì)的不定積分。

2 探索不定積分多種解法的重要性

在解決一元函數(shù)不定積分計算中，通過其中的數(shù)學邏輯以及數(shù)學思想，鍛煉學生的數(shù)學思維。也因為不定積分的靈活性對于培養(yǎng)發(fā)散性思維具有重要的作用。

在一道題目中存在數(shù)種不同的解題方法，如何在多種解題方法中選擇到最優(yōu)解，在準確解題的同時又能提高效率，最快地解出自己想要的答案。在不定積分中，要注重這一部分內(nèi)容的學習，打好基礎。在解題的過程中首先要學會觀察，觀察被解題目的特征，迅速地找到解決的方式，篩選出最優(yōu)的解決方法，簡潔有效地解決題目。探索最優(yōu)解題方法的過程同時也鍛煉思維方式，在解題的過程中對于觀察角度的不同以及思考方式的差異，所應用的解題策略自然不同[2]。在不同方面思考的時候思維創(chuàng)造性也得到了鍛煉。掌握常規(guī)解題需要用到的基本公式，以及解題方法。不定積分解題主要有：換元積分法、分部積分法、有理函數(shù)的積分以及湊平方差法。熟練掌握函數(shù)與不定積分的定義和不定積分的線性性質(zhì)，以及之間存在的關系。微分與不定積分的求導過程是互逆的。

3 學習中存在的問題

不定積分作為高等數(shù)學當中的重點、難點之一，一個題目常常有多種解法。想要學好不定積分一定要打好數(shù)學基礎。在常規(guī)高等數(shù)學學習的過程中，由于時間和課時限制，為了提高效率往往先熟悉概念、公式，再去例題解析，再去做課后題以鞏固學習到的知識。這種學習模式帶來的弊端就是解題方法常常只是例題中學習到的普遍的解題方式。而在課后學習以及考試當中，對例題當中現(xiàn)成的解題方式死板地套用。導致不能對題目更好地理解，解題方法的僵化，無法做到舉一反三。

4 一元函數(shù)不定積分解題方法

4.1 基本步驟

高等數(shù)學一元函數(shù)不定積分的求解過程較為復雜，其中涉及很多有其本身固有的客觀規(guī)律，因此只要按照相應的規(guī)律完成求解，就可以降低計算難度。具體的解題步驟如下：

第一，觀察被積函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征。被積函數(shù)的特征決定了后續(xù)需要應用到的解題方法，只有確定了一元函數(shù)不定積分的本質(zhì)結(jié)構(gòu)特征后，才能夠找出與之對應的積分方法，求出積分。比如，被積函數(shù)結(jié)構(gòu)特征在形式上與基本積分公式一致就可以采用直接積分法，或者化簡、變形后就可以變成和基本積分公式相同的形式，也可以采用直接積分法。而被積函數(shù)結(jié)構(gòu)特征可以借助湊微分的方式變成和基本積分公式相同的形式，則采用一類換元積分方法，如果被積函數(shù)結(jié)構(gòu)特征含有根號且只能通過換元的方法脫除，則采用二類換元積分方法。如果，被積函數(shù)中是由兩類不同性質(zhì)的函數(shù)的乘積形式組成，那么這就可以采用分部積分法。

第二，按照相應的積分方法進行求解，并且檢驗結(jié)果的正確性，確保計算準確。

除以上形式外的有理函數(shù)，皆采用固定方式。部分分式項數(shù)為原有有理函數(shù)的分母整體的次數(shù)之和。將分式分母為1的式子拆開時，分母所設的x次數(shù)相應減一。當分式分母x的次數(shù)為1時，將分子設為A;當分式分母次數(shù)為2時，將分子設為Ax+B，在通過三種方法代換時可用待定系數(shù)法確定未知數(shù)。

5 正確掌握以及靈活運用

在通常的高等數(shù)學教育中一般會介紹幾種不定積分的解題方法，有基本的換元法、直接積分法、分部積分法、有理函數(shù)的積分、查積分表等。但對于剛剛接觸高等數(shù)學微積分的初學者來說，雖然解題方法多，解題思路靈活但常常不知道用那種方式進行不定積分的運算[3]。因為積分計算所特有的靈活性和復雜性，為了計算中的應用方便，將常用的公式匯集成積分表。積分表作為不定積分計算的基本，應當首先掌握，通過將式子進行簡單的變形就可在基本表內(nèi)查得所要的結(jié)果。

6 結(jié)語

不定積分作為高等數(shù)學微積分當中的基本概念，利用不定積分計算是學生需要掌握的必要能力。由于微積分計算的靈活性，可以通過不同的計算形式得到相同的結(jié)果，這種形式的計算對于培養(yǎng)開放的發(fā)散性思維具有很大的幫助，也增強了學生的科學探索能力與創(chuàng)新精神。

參考文獻：

[1]高昕.簡析一元函數(shù)積分的解題策略與技巧[J].高等數(shù)學研究，2019，22（06）：20-24.

[2]李聰，郭豆豆.一元函數(shù)的定積分計算[J].數(shù)學學習與研究，2018（01）：4.

作者簡介：周鐘抗（1997—），漢族，海南?？谌?，本科在讀，研究方向：數(shù)學與應用數(shù)學。