用溫度計測量酒精的體膨脹系數

羅 倩，張皓晶

(云南師范大學 物理與電子信息學院，云南 昆明 650500)

熱膨脹系數決定了給定物質隨溫度增加或減少擴張的能力,可以分為線性膨脹系數、面積膨脹系數和體積膨脹系數. 傳統上，液體的體積膨脹系數由膨脹儀測量，例如，實驗中可直接由膨脹計得到水的體積膨脹系數[1]. 由于酒精的熱敏性，在討論熱膨脹現象時，酒精已成為傳統教科書和章末習題中涉及最多的物質之一. 本文旨在用簡單的方法和實驗裝置獲得酒精的體積膨脹系數.

1 實驗原理

1.1 已知球莖截面和球泡體積的溫度計

溫度計毛細管1中的酒精體積隨溫度的變化而膨脹或者收縮，溫度改變量ΔT1與體積的變化量ΔV1之間成正比例關系[2]，即

ΔV1=γ1V1ΔT1,

(1)

式中，γ1和V1分別為酒精的體積膨脹系數和初始體積(在一定的初始溫度下，玻璃溫度計球泡和毛細管中酒精的總體積). 式(1)可以寫為

(2)

式中，A1為溫度計毛細管的橫截面積. 式(2)中ΔL1與ΔT1線性相關，設其斜率為S1，即

(3)

通過擬合ΔL1-ΔT1獲得斜率S1，根據已知數據點長度的變化ΔL1和溫度的變化ΔT1，代入最佳擬合直線的斜率S1,從而獲得酒精的體積膨脹系數γ1.

1.2 球莖截面和體積未知的溫度計

毛細管2的橫截面積為A2，初始體積為V2(在一定的初始溫度下，球泡和毛細管中酒精的總體積). 由1.1可知以下關系成立：

ΔV2=γ2V2ΔT2.

(4)

(5)

(6)

式中,ΔT2為溫度改變量，ΔV2是酒精相應體積變化量，γ2和V2分別為酒精的體積膨脹系數和初始體積.

將γ1的表達式(3)和γ2的表達式(6)等效,得到：

(7)

由式(7)可得：

(8)

因為

(9)

(10)

對于任意初始體積(V1和V2)、截面面積(A1和A2)以及最小的溫度間隔都不同的溫度計，在實驗中可以使溫度的變化ΔT1和ΔT2相等. 因此，由式(9)和式(10)可得:

S1ΔL2=S2ΔL1,

(11)

代入式(8)時，得到：

(12)

將式(12)代入式(6)得到

(13)

由式(13)可知ΔL1和ΔL2線性相關，斜率S3為

(14)

在已知S3，S2，V1和A1情況下，可以通過式(14)得到酒精的體積膨脹系數.

2 實 驗

2.1 已知球莖截面和球泡體積的溫度計

實驗裝置如圖1所示，ΔL為長度的變化,Lf是升溫到最高溫度后的長度. 酒精溫度計1的量程為100 ℃，精度1 ℃，酒精柱的高度從溫度計的下端到35 ℃的標高為L0=18.10 cm，A1=1.2×10-3cm2. 燒杯內裝熱水，并用卷尺測量一定溫度下酒精柱的高度. 設球泡中酒精的體積為V1′，已知等于0.12 cm3. 固定初始溫度為35 ℃，將溫度計浸入盛熱水的燒杯中，使溫度穩定在35 ℃. 測出35 ℃相對于球泡頂端對應的酒精柱高度為16.5 cm，毛細管中酒精的體積為0.019 8 cm3，酒精的初始體積V1為0.139 8 cm3.

圖1 實驗裝置

采集ΔT1和ΔL1的數據時，將溫度計浸入盛熱水燒杯中，改變熱水的溫度，從而將酒精的溫度從35 ℃升高到穩定的最終溫度Tf1. 在特定的最后溫度下，用單獨的溫度計讀數，測量相對應溫度下的高度，再將得到的變化長度減去18.10cm，得到酒精在特定溫度下伸長的長度ΔL1. 同樣，Lf是相對于溫度計球的下端測量的. 類似地，溫度ΔT1也要減去初始溫度35 ℃. 測量8個數據，每次酒精的初始溫度都為35 ℃. 實驗數據見表1.

表1 實驗數據1(T0=35.0 ℃，L0=18.10 cm)

ΔL1-ΔT1圖像如圖2所示，使用Excel擬合數據,得到長度變化與溫度變化的線性關系. 解得體積膨脹系數γ1=1.08 8×10-3℃-1. 通過查閱文獻[3]得酒精體積膨脹系數的值為1.1×10-3℃-1,相對偏差為1.1%.

圖2 ΔL1-ΔT1圖像

2.2 球莖截面和體積未知的溫度計

溫度計2的量程為200 ℃，精度為2 ℃，酒精柱從溫度計的下端到35 ℃的標高為13.70 cm，球泡的體積和莖的橫截面積未知. 采集數據點ΔL2和ΔT2. 按照2.1步驟完成實驗，但有約束條件，即所有的溫度變化ΔT2應等于2.1實驗得到的溫度變化ΔT1[與式(10)一致]. 此外，將初始溫度固定在35 ℃，同時將初始溫度提高到與2.1相同的最終溫度Tf2. 對應溫度變化ΔT2，取對應的高度變化ΔL2，其值應與ΔL1不同. 實驗數據見表2. ΔL2-ΔT2圖像如圖3所示，使用Excel擬合數據,得到長度變化與溫度變化的線性關系,其斜率為S2=0.064.

表2 實驗數據2(T0=35.0 ℃，L0=13.7 cm)

圖3 ΔL2-ΔT2圖像

繪制ΔL1-ΔL2,如圖4所示,并進行線性回歸得S3=1.978. 將S3代入式(14),由已知A1,V1和S2,得到酒精的體積膨脹系數γ=1.086×10-3℃-1，與標準值1.1×10-3℃-1[3]的相對偏差為1.3%.

圖4 ΔL1-ΔL2圖像

4 結束語

利用生活中常見的材料，設計了簡便易行的測量或演示酒精體積膨脹系數實驗裝置. 學生參與實驗，體驗學習物理的樂趣. 教師可選擇2.1實驗(V1和A1已知)，通過酒精柱長度變化提供多對數據點來計算酒精的體膨脹系數. 2.2實驗(V1和A1未知)需要理論推導和一定時間的實驗室活動，因此2.2實驗可作為學生課外興趣實驗，加深學生對膨脹系數的理解及應用.