讓天下沒有難學的數學

華應龍

有很多人認為，數學之所以難學，既有數學學科的特點，也有學生的原因，更有老師的原因。但筆者認為，身為教師更應從自身找原因。教師們面對經過多位專家編寫、多輪審查的國家教材，就更應該有信心把課本上的“一切知識有趣、有效地教給一切人”。這是教師的責任和使命。

一、數學是否真的難學

很多人都說數學難學，它到底難在哪？真的難學嗎？筆者認為，要回答這一問題教師是關鍵。作為一名數學老師要“手下留情”，有時教師不經意的一句話、一個舉動也許會斬斷學生的奇思妙想。當教師讓學生覺得數學難學了，那數學就不是數學了。這樣，教師就會“了斷學生的一門心思”。其實，數學并不難學。

接下來，筆者和大家分享三個案例，看看數學是否真的難學。這三個案例分別是數與代數領域的“找次品”、圖形與幾何領域的“角的度量”、統計與概率領域的“游戲公平”。

1.找次品

通過實踐教學，這節課的確有一定的難度。那么，它到底難在哪？這節課最重要的目標是什么？為了達成目標，教師必須“舍”去什么？經過閱讀、思考、推敲，筆者通過以下方式來組織這節課。

筆者首先出示一組玩蹺蹺板的圖片，然后問學生：“什么時候把你翹到天上去？”學生就此開始暢所欲言。接著，筆者和學生們聊比爾·蓋茨，當學生說“比爾·蓋茨開了一家公司叫微軟”后，筆者追問：“為什么叫微軟？”因為比爾·蓋茨特別喜歡一個中國人叫老子，老子說“上善若水”。最高的善像水一樣，所以硬不好、軟不好，微軟才好。

微軟公司招聘員工時，出過這樣一道題：“假定你有81個乒乓球，其中只有1個球比其他球稍重。如果只能利用沒有砝碼的天平，請問你最少要稱幾次才能保證找到稍重的球？”如果是你去應聘，你將如何作答？學生大概的回答是：80、1、40。筆者讓學生說說理由，他們說出了各自的道理。學生們圍繞三個錯誤答案進行交流，讓他們更好地理解了題意。此時，筆者特意幫學生概括：天平可能平衡，也可能不平衡；重球有可能在左邊、右邊或下邊，這三種情況都有。

對這個問題的研究看似有點難，但其實不難。老子說：“天下難事，必作于易?！惫P者問學生：“你覺得這個問題從幾個球開始思考比較合適？”筆者引導學生從最簡單的2個球開始研究，只需稱一次就能找到。那3個球最少需要稱幾次才能找到？有學生說3次，筆者請他進一步說明。后來他說著說著，發現不對了，原來只需1次。很多的時候，學生錯著錯著就對了。

筆者指著2個球和3個球的板書說：“同學們，能提出什么問題嗎？”有學生說：“怎么球的個數多了，最少還是一次呀？”經過討論，學生們明白了：原來3個球中，只稱了2個，第3個球是推斷出來的。那么，4個球呢？通過對不同的稱法進行比較，學生們明白：既然要保證找到，就要從最壞的角度去考慮，最少需要稱2次。有了4個球做鋪墊，那8個球呢？學生會很自然地得到3次。若是9個球呢？學生通過分析得知：4、4、1，答案是3次。此時，筆者便問：“還有不同的想法嗎？”有學生提出3、3、3，稱2次就能保證找到。筆者再請學生確認：最少2次，怎么保證？然后，我指著8個球和9個球的板書說：“同學們，能提出什么問題嗎？”一石激起千層浪：“9個球2次，8個球怎么3次了？” “球的個數多了，怎么稱的次數還少了？”隨之學生便發現問題了：8個球，2次就能保證找到。比較不同之后，學生們發現：分成3份比分成2份好。于是，筆者提出了這樣一個問題：“天平幾個盤子？”當有學生狐疑地說“3個”時，筆者接過話頭說：看到天平有三個盤子，高明；用上第三個盤子，就是高手。

再回到81個球，學生基本都能將其分成“27、27、27”，最少4次就能找到重球。最后揭題“找次品”，即找幾個有意思的次數，慢慢來品一品。當學生們品出方法、品出道理時，難題就變簡單了。

此時，筆者再請學生們誦讀完老子的“道生一，一生二，二生三，三生萬物”后，便說：“同學們，世上的事物往往都是一分為三的：上、中、下，左、中、右，好、中、差，正數、負數……”學生齊答：“零?！惫P者說：“質數、合數”學生齊答：“1”筆者說：“過去、現在”學生齊答：“未來。”……大家都開心地笑了。

2.角的度量

這節課是劉堅教授2005年布置給筆者的任務，上課地點在河南鄭州。

拿到課題時，筆者就思考：①我們讓學生量了各種各樣的角，學生感受到了量角的用處了嗎？量角的大小是屠龍之技，還是生活中必不可少的技能？②“角的度量”一課教學的難點是什么？為什么會有這樣的難點？量角器的結構很復雜，量角之前先要認識量角器，那要認識量角器的什么呢？原來只是認識中心點、0刻度線、內圈外圈刻度，就認識這些嗎？還有嗎？怎么認識量角器？關于量角的技能，以往教學中簡要概括出了“二合一看” “0度刻度線在左邊看外圈，0度刻度線在右邊看內圈”等。教師一步一步地教，可到量角時，學生拿著量角器，轉來轉去，都不知道把量角器怎么放到角上，遑論讀出度數了。為什么學生還是不會量角？③教師的教學有三個層次：教知識、教方法、教思想。以前我們只是教了量角的知識和技能，那這節課可教給學生什么方法？讓其思想有所提升呢？

筆者回憶以前的教學：沒教之前，學生怎么量？您看過學生這么量的嗎？（見1圖），為什么這么量？這使學生知道量角是要用角對著角來量。問題只是在于學生不知道量角器上的角在哪，如果能幫學生認識到量角器上的角在哪里，那量角就水到渠成了。原來，我們之前的教學犯了“只見樹木不見森林”的錯，對“點、線”等局部都有了認知，但對組合起來的整個“角”沒有認識。

接著，就可以簡單的分享一下這節課：先后出示三個滑梯（見圖2），教師問學生：“玩過嗎？想玩哪個？現在呢？”學生們笑了，笑后是醒悟：第三個滑梯不能玩，第一個滑梯不好玩。再問：“這三個滑梯的不同之處在哪里？”學生們不約而同地說：“角度不同。”

圖1 角的度量

圖2 觀察三個滑梯的不同之處

教師接著問學生：“滑梯的角多大才合適呢？這時就需要量角了。怎么量角？”學生們興奮地說：“用量角器。” 教師：“會量嗎？” 學生信心滿滿：“會！”“那就自己量吧！”每次量的時候，都有學生像圖1那樣量。 于是，筆者便請學生上臺展示，此時就有學生質疑。筆者先肯定展示的學生勇于嘗試，再肯定他對準了零度刻度線，然后肯定他知道量角就是用角對著角，最后還要感謝他帶給大家的思考和啟發。

現在的問題是量角器上有角嗎？它的角在哪？我讓學生在量角器上畫90°的角、60°的角、1°的角和156°的角，分別是直角、銳角、單位角、鈍角。學生們在量角器上看到了若干個大小不同的角，接著筆者便呈現了開口朝向不同的角，這是教材中沒有的，學生們量得不亦樂乎。

“兒童散學歸來早，忙趁東風放紙鳶。”筆者組織學生思考：怎么放風箏才是比他人放得高？只要量出風箏線和地面所呈的角度即可。筆者再呈現學生們熟悉的椅子，餐桌邊配的椅子其后背向后傾斜9°，學習的椅子其后背向后傾斜8°，沙發的靠背一般向后傾斜11°。然后，回到開始的問題：滑梯的角多大才合適呢？筆者告訴學生們：“我請教了三位工程師，滑梯的角在40°到56°之間。”最后，筆者帶著學生回憶測量長度、面積、角度的方法，還用了華羅庚的一句話“數起源于數，量起源于量”作為總結。

這樣去教“角的度量”，才能讓學習像呼吸一樣自然。

3.游戲公平

下面是2008年在上海，劉堅教授安排筆者在全國教學研討會上上的一節課。這節課的關鍵是要不要做實驗？有時不做實驗學生很清晰，做了實驗，學生反而糊涂了。鑒于此，筆者就思考：這節課做什么實驗呢？到底怎么做實驗？

關于這節課，大家一定會回想到尷尬的場面：課上讓學生拋10次硬幣，學生拋出了2次正面、8次反面；或9次正面、1次反面。這樣的事件經常發生。小概率事件怎么變成大概率事件了？這是為什么？鑒于此，教師請大家思考：一個硬幣拋1米高和1厘米高，可以同日而語嗎？原來我們只規定了實驗的次數，沒有規定實驗的高度、力度和角度。

結合剛剛閉幕的北京奧運會，筆者上出了一節被張奠宙先生高度稱贊的課。只有一張奧運會籃球決賽的門票，筆者和兒子誰去現場看呢？兒子提議拋啤酒瓶蓋來決定：正面朝上，兒子去；反面朝上，爸爸去。筆者問學生們：“這個方法好不好？”然后，組織學生把啤酒瓶蓋裝在水杯里拋10次，最大限度地上下甩三次，再記錄。這就是規定實驗的方法。

學生的匯報是：5∶5；6∶4；2∶8。試了之后，問題就來了，還有三種不同的答案，怎么辦？有的學生建議多做幾次，有的學生建議把組內的結果綜合起來。六大組合計的結果，都是反面朝上比正面朝上多很多。接著，筆者讓學生觀察與思考：為什么反面朝上的可能性大？

學生們的說法各異，筆者笑而不語。其實，筆者笑的目的就是讓學生思考，到底哪個對？老子說：“不自是，故彰?！惫P者受益于李烈校長的指導，課堂上要教師畫龍，學生點睛。當學生捅破窗戶紙的那一刻，筆者便不說話，給學生一個原型啟發就夠了。課件上出示踢毽子的圖片，踢的毽子為什么總是立著？學生通過觀察與思考之后，馬上明白了：為什么拋啤酒瓶蓋不公平？因為啤酒瓶蓋兩面不均勻，一面重一面輕。那拋什么公平呢？拋硬幣，為什么？因為硬幣兩面均勻。老子說：“反者道之動?！辈痪鶆虻?，才需要用頻率來表達概率。拋完不均勻的，結論不公平。反過來呢？均勻的，自然就公平。

在實際教學中，總是有學生問筆者：“老師，最后籃球誰去看的啊？”他們還在故事里呢！于是，筆者接著講故事，告訴學生們：“我兒子已經上大學了，他的數學學得特別好，高考150分的數學，他考了147分。是復查時，他把對的，改錯了，否則，滿分150分。我想他一定知道啤酒瓶蓋正面朝上的可能性小，但他自己選擇了正面，有這樣的兒子真好！成人之美，成全別人就是一種美。我遵從兒子定的規則，請夫人來拋。我夫人一拋，結果居然是正面朝上。”學生們驚叫起來：“啊，怎么會啊？”然后，我讓學生猜測分析。有學生說：“您夫人喜歡您兒子?！?有學生說：“您夫人想讓您兒子去看?！?有學生若有所思地說：“您夫人把反面加重了?！边€有的學生說：“正面朝上的可能性小，但也是有可能的?！?我笑而不語。當學生們都說了后，筆者問：“想知道為什么嗎？請看屏幕——”

課的最后，回到奧運會上來。筆者說：“拋啤酒瓶蓋，不公平，因為啤酒瓶蓋兩面不均勻；拋硬幣，才公平，所以奧運會上很多比賽都是用硬幣來決定的?！睂W生們驚訝了：“奧運會怎么可能拋硬幣決定？”錄像呈現奧運會中乒乓球、羽毛球、足球、網球等比賽中，拋硬幣來選擇場地的片段。學生們信服了，滿足了。

二、數學應如何教才不難學

分享完這三節課，大家是否覺得數學真的難學？那么，怎么教數學就不難學了呢？

1.從教學內容上來說，先深入、再淺出

這三節課都是先深入，然后再淺出的。

深入，就是明晰這一教學內容的本質。在設計“角的度量”一課時，筆者追問出了量角的本質，即量角就是用量角器上的角對著要量的角。在思考“找次品”一課時，筆者意識到要從“一分為二”發展到“一分為三”，天平實際上是有三個盤子的。“游戲公平”的背后是硬幣問題，是一種古典概率，是不需要做實驗的；只有不均勻的，才需要做實驗，去找頻率來近似地表達概率。

淺出，就是要從學生的生活，從玩耍和游戲展開，就是在講一個故事。“角的度量”是滑滑梯引入的；“找次品”是蹺蹺板引入的，講的是比爾·蓋茨的故事和老子的故事；“游戲公平”講的是觀看奧運會的故事。

認識數學的本質，先深入、再淺出，數學就不難了。

一位特級教師說：“數學的本質在于自由，而我們的老師卻常常按照現有規范的知識或規定去約束兒童思考，并以此為標準去評判對錯。所以，兒童的心思就被套牢在迎合成人們的期待上。”“實際上，解決一個問題有很多途徑，只要邏輯上沒問題，在形式上就沒有對錯之分的，但很多教師卻不這樣認為。即使錯，有時候也有錯得有道理之說……教師們哪來這樣的視野和胸襟??？”

另一位特級教師說：“數學難在光記住結果是無法靈活運用的，所以從學習方法上而言，不能僅采取記憶的方法。需要從已有知識經驗出發，經歷知識生長的過程?！?/p>

由上面兩位特級教師的看法，筆者認為：深入，還有一層意思，即需要深入認識數學教學的本質——思維的體操，要借著數學知識，來教會學生去如何數學地思維。

通過筆者近40年的小學數學教學經歷，發現了一個規律：數學學得不好的學生，都喜歡“死記硬背”，不會動腦筋，因此“積懶成笨”。只去記憶，不去思考，是學不好數學的。

針對思維的體操，怎么淺出呢？那就是“想錯了，更好玩?！?/p>

2.從教學過程來看，想錯了，更好玩

筆者的教育理念是“化錯教育”。“化錯”是指把課堂教學中的差錯融化為一種教學資源，相機融入后續的教學過程中，化腐朽為神奇，變“事故”為“故事”。這與我國古代“相生相克、相反相成”等哲學思想相契合。

化錯的要義是在教學過程中隨機融入，自然生成，而不是事先刻意安排；敏銳發現差錯背后的意義，揭示其內在的矛盾、張力，巧妙地彰顯其積極意義，而不是簡單地否定學生的錯誤；充分挖掘并利用差錯資源的多方面價值，培養學生直面錯誤、超越錯誤的求真人格，讓其學做真人，將教學活動引向深入，引向心靈深處，而不僅僅是促進學生認知的發展。

對學生有價值的差錯，筆者會引導學生鼓起三四次感謝的掌聲。首先，為勇于嘗試，不盲從的堅持；其次，為其有根有據的說理；再次，為其接納他人觀點后的修正；最后，為其帶給大家思考的貢獻。

從這三節課例中，大家可以看到，錯誤是學生自然生成的，有差錯，才有真正的學習，才有實質性的學習活動發生。有化錯，才有教師期待已久的主動學習、獨立思考和創新活動發生。讓學生們在錯誤中多飛一會兒，錯著錯著就對了，這會使學生感受到“化錯就像是在做思想的魔術”，使他們不再怕錯，進而開啟他們的思維。所以，有化錯的課堂，才有學生快樂健康地成長。

3.從學生的角度來講，喜歡了，就不難

筆者一直在教數學，也一直在做教學管理工作，從中筆者深感：不喜歡孩子的人，請不要做老師；不喜歡數學的老師，請不要教數學；如果任何人都能教的，那一定不是數學。古人說：親其師信其道。學生喜歡某一學科的老師，那門學科就一定能學好，而且會樂此不疲。作為數學教師，筆者奉行如下“三段論”。

周國平先生說：“我不想知道你有什么，只想知道你在尋找什么，你就是你所尋找的東西?！惫P者在尋找數學，所以筆者就是數學。因此，筆者的第一本書取名《我就是數學》?！拔揖褪菙祵W”的含義是：你若問我喜歡什么？其回答是：“我就是數學。” 你若問我能干什么？其回答是：“我就是數學?！?你若問我在學校里是什么？其回答是：“我就是數學?！?其實，教師就是他所教學科的形象大使。你若問我一個人一輩子、一件事，我做的一件事是什么？其回答是：“我就是數學。”“我就是數學”乃是自我安頓、自我鞭策，也是自我期許，既用數學修身，也用數學育人，還用數學立命。

數學不只是公式、符號、規律，還有故事、想象、畫面和無限的可能，一樣地擁有詩和遠方。和學生一起玩數學，讓學生打開思維的翅膀，遨游于數學的海洋，感受到“數學好玩”了，學習自然就不會感到困難。