《高等數學》中不定積分易錯題分類剖析

左曉虹

(三門峽職業(yè)技術學院 公共教學部，河南 三門峽 472000)

1 將四則運算法則中的乘除運算法則用于不定積分

受中學數學代數運算的影響，部分學生忽視積分與代數運算的不同方式，將加減乘除四則運算直接套用到積分運算中。

剖析：初學定積分的學生容易受極限四則運算法則及導數四則運算法則的影響，在解題過程中認為不定積分也具有加減乘除四則運算法則。錯誤的理解成如下計算公式：

結論：不定積分有加減運算法則，但沒有乘法運算法則，也沒有除法運算法則。例1的正確解答是：

例2的正確解答是：

2 兩類基本函數積分公式被混淆

冪函數和指數函數有相似的“外形”，部分學生在學習中混淆了二者的形式，也混淆了二者的原函數。

剖析：對于不定積分的基本公式，許多學生雖然能夠熟記，但在運用過程中常常混淆兩類公式。本題中出現的錯誤在于解題者混淆了冪函數和指數函數的積分公式，將指數函數的不定積分套用了冪函數的原函數。

結論：指數函數不定積分公式是：

冪函數不定積分公式是：

3 混淆積分變量

在積分的學習過程中，學生容易混淆積分變量和被積函數，尤其是當被積函數為兩個及以上三角函數的乘積時，計算過程中學生稍一疏忽便可出錯。

剖析：該題是一個復合函數的積分，積分的中間變量是sinx，發(fā)生的錯誤原因在于解題者盲目套用基本初等函數的不定積分公式，忽略了sinx其實質為中間變量，直接套用了正弦函數的不定積分公式進行解答。本題的正確解法為：

4 復合函數被錯誤地看成基本初等函數

湊微分法是積分的基本方法之一，在第一章節(jié)復合函數的教學中，教師要注意引導學生體會、感受符合函數的復合過程，即外函數、中間變量、自變量的“層層”包裹關系，通過對復合函數復合過程的練習，使學生明確復合函數是由六類基本初等函數經過有限次的復合運算而得到的函數，為導數和積分的學習打下基礎。

5 忽略了求出的不定積分成立區(qū)間

學生們在記憶或求解的過程中往往會錯誤地求解為：

剖析：沒有注意被積函數中x與a的大小關系，如果分段討論可有如下結果

如果不分段則可以通過如下式子表示

(1)

類似題的運算還有如下公式，注意公式(1)與公式(2)的區(qū)別

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

不定積分常見錯誤的求法還有很多，這里就不一一列舉了。初學者要對比練習、勤于思考、善于總結、舉一反三、學以致用，對所學知識做到融會貫通。