考慮傾斜地層地震偏移的空間采樣參數設計

蔡錫偉 何寶慶 張 陽 王 延 唐東磊

（中國石油集團東方地球物理公司采集技術中心，河北涿州072751）

1 研究背景

空間采樣間隔直接影響所采集原始地震數據的質量，進而影響地震數據處理及解釋效果［1-3］。Vermeer［1］在三維地震勘探設計中認為采樣間隔Δxs和Δxr不大于最小波長的半個周期時，就能精確地重建地下連續波場，即存在

式中：kmax為地震波傳播的最大波數；vmin為最小傳播速度；fmax為最高頻率。據此，他提出空間采樣間隔只有在對偏移孔徑內的繞射達到無假頻采樣時，才能不損害期望波場的高頻成分。

秦廣勝等［4］將偏移算子去假頻準則定義為地震數據中算子軌跡與地震道相交處不產生假頻的最大時間頻率，并且它是局部算子傾角和道間距的函數。為了不產生假頻，沿算子軌跡求和的地震道采樣序列必須滿足尼奎斯特采樣準則，即

式中：Δρ為對地下旅行時面的采樣間隔，也就是面元中心點間距；ts是炮點到成像點的旅行時；tr為檢波點到成像點的旅行時；ρs和ρr分別為炮點和檢波點與成像點在同一水平投影面上的距離。對于疊前偏移不滿足上式的空間采樣準則會導致嚴重的偏移噪聲。

王偉［5］通過對空間采樣影響因素進行分析，認為空間采樣間隔的減小對地震資料的分辨率、資料處理流程中靜校正、動校正與速度分析、疊加和偏移等方面都有正面影響。

馬在田［6］從算法理論的角度對偏移剖面中的假頻、頻散和橫向分辨力做了系統論述，闡述了偏移剖面上的假頻、橫向分辨力與地震采樣有關。夏洪瑞［7］指出道間距過大對偏移結果的影響主要是導致空間假頻現象的出現、偏移速度場難以準確建立、偏移橫向誤差大及偏移信息量少，與具體偏移算法無關；并應用理論模型及實際資料對上述結論進行了驗證。侯嵩等［8］研究了道間距的變化對地震數據偏移的影響，認為道間距的大小必須滿足空間采樣定理，否則會產生空間假頻，且這些假頻會帶到偏移過程中從而影響成像質量；其次，采用近似差分算子或條件穩定差分格式的有限差分偏移算法對道間距有一定要求；否則迭代計算過程將不收斂，且產生頻散，而對于其他格式的差分法偏移和積分法偏移，道間距越小，越有利于改善成像效果。

狄幫讓等［9］討論了面元尺寸對地震成像分辨率的影響并認為：對于平緩地層，面元尺寸不影響地震成像的縱向分辨率；對于傾斜地層，應做進一步的實驗研究；減小面元尺寸可有限地提高橫向分辨率；在不同前提條件下，應優化選擇不同大小的面元。張軍華等［10］也認為面元尺寸會影響地質體的橫向分辨率。熊金良等［11］指出小面元本身并未提高縱向分辨率，實質只是通過面元疊加提高高頻段信噪比，進而提高縱向分辨率。錢榮鈞［12］認為空間采樣密度和分布的均勻性與偏移剖面的縱、橫向分辨率有關，并且直接影響去噪效果和偏移噪聲大小，進一步提出了要提高勘探精度，不僅需要增加空間采樣的密度，而且需要空間采樣均勻。

郭愷等［13］在地震采集面元尺度一般性設計的基礎上，通過正演模擬成像，證明不同采集道距的成像解釋結果差異較大。道距越大，解釋難度越大，誤差也越大；道距越小，成像解釋結果與實際地質構造越接近。張媛等［14］結合哈山東的實際資料，分析不同面元的疊前時間偏移成像效果，證明小面元數據能夠改善偏移成像的效果。劉軍等［15］根據南海珠江口盆地實際資料，應用彈性波動方程實現縱波道集正演，模擬不同面元采集數據的成像，結果表明小面元采集能避免空間假頻干擾，保護繞射弧的陡傾高頻信息，降低反假頻算子對砂體邊界、陡傾地層能量歸位的影響。

上述文章論述的空間采樣都是基于以下兩種地震成像理論：一是基于反射波同向疊加理論，要求空間采樣滿足無混疊假頻；二是基于繞射點的偏移理論，要求空間采樣滿足無偏移假頻，兩種地震成像理論導出的計算公式形式均可表示為［16］

式中：Δx 為采樣間隔（道間距或炮點距最小值）；vint為目的層的層速度；fmax為最高無混疊頻率；θ為地層傾角或偏移傾角。考慮空間采樣無混疊假頻時θ可理解為地層傾角，考慮空間采樣滿足無偏移假頻時θ可理解為偏移傾角。偏移傾角一般取30°，這樣能夠收斂95%的繞射能量。因此，在地層傾角較小時，繞射波控制采樣間隔，θ表示偏移傾角；在地層傾角大于30°時，傾角決定采樣間隔，θ 則表示地層傾角。

從以上公式可知，空間采樣的選擇只考慮對反射波的無假頻采樣，或只考慮對偏移孔徑內的繞射無假頻采樣，則對于水平地層和傾斜地層上繞射點的偏移成像而言，空間采樣間隔取決于繞射能量收斂；在地層傾角大于30°時，空間采樣只與地層傾角有關，與偏移成像要求無關。這就表明以往空間采樣間隔計算公式不適用于陡傾地層的地震偏移成像。因此，基于地傾斜地層繞射波場的分布特征，按照地震偏移成像對繞射波場保護的要求，選擇滿足地震偏移成像需要的空間采樣參數具有實際意義。

2 地震波空間采樣的理論推導

2.1 偏移的實質分析

目前業界最常用的偏移成像方法是Kirchhoff時間偏移。Kirchhoff時間偏移的實現過程：將繞射波軌跡拉平，沿拉平軌跡進行波場求和［17］；再將得到的值置于繞射點位置上，這就實現了繞射波場的偏移（圖1）［18］。為了簡單起見，以繞射積分疊后偏移為例，偏移前地震波場是疊加數據，沿著繞射波軌跡求和，實際上是三種波場的疊加，即反射波、繞射波和隨機噪聲。隨著繞射波軌跡的拉平，反射波變成與繞射波呈鏡像關系的曲線。因此，偏移的實質就是：①繞射同相疊加；②隨機干擾為滿足統計規律的疊加；③反射波非同相疊加。對于同相疊加來說，一道與多道的疊加結果是一樣的，即繞射波的偏移收斂與空間采樣無關系。對于隨機干擾而言，空間采樣的非規則分布增加了隨機干擾的隨機性，有利于實現統計壓噪［19］。但對于反射波來說，空間采樣的非均勻性直接影響波場的水平方向求和結果，即是直接影響偏移成像效果。

2.2 時距方程的建立

建立傾斜地層反射波場與繞射點波場的直角坐標系，簡述一個繞射點和單地層反射波的偏移成像（圖2）。設繞射點p 位于原點正下方；S、R 分別為地表的一個激發點和接收點；M 為S 與R 之間的中點；h 為半炮檢距；x 為炮檢距；θ 為偏移傾角，即為y 軸與和中點M 連線的夾角；z1為繞射點深度；z2為坐標原點處傾斜地層深度；Δz 為過M 點鉛垂線上傾斜地層深度與z2的差值；α 為地層傾角，等于地層與x 軸的夾角；v表示上覆地層的均方根速度；t1表示從炮點到繞射點、再從繞射點到接收點的傳播時間；t2表示炮檢距x 處傾斜地層的自激自收時間。根據疊加理論，繞射波軌跡的時間方程表示為地表M 點至p點的自激自收時間；從圖2坐標關系得到M 點至繞射點p的時間距離方程表示為

圖1 傾斜反射層與繞射點的時距曲線（a）及偏移過程（b）示意圖

同理，傾斜地層在M 點的時間距離方程也相當于M 點到傾斜地層的自激自收時間，從圖2得到時間距離方程為

圖2 傾斜地層反射波場與點繞射波場直角坐標示意圖

2.3 滿足傾斜地層成像的空間采樣計算公式推導

結合地震偏移成像理論，根據式（4）的繞射波時距方程，可得繞射波的動校正時差公式 同理，對式（5）的反射波時距方程進行動校正，動校正后的反射波時間等于反射波時間減去繞射波動校時差，即

對動校正后反射波時間做空間采樣微分，得到

根據同相疊加原理，動校正后的反射波時差應不大于反射波的最小半周期，即

由此得

當α與θ 方向一致時，式（10）中分母的括號內取“－”號；當α 與θ 反向時，式（10）中分母的括號內取“＋”號。

考慮空間采樣間隔計算公式的通用性，sinα 和sinθ都為正值，式（10）中分母的括號內取“＋”號具有普遍意義，因此傾斜地層反射波的空間采樣間隔計算公式表示為

當地層水平時，上式就變成了繞射波偏移歸位對空間采樣要求的計算公式。對于傾斜地層的反射波偏移來說，由于0°＜α＜90°，則sinα＞0，因此與原來計算空間采樣間隔的公式（式（10））相比，更能反映傾斜地層地震偏移成像對空間采樣的要求。

2.4 傾斜地層極限空間采樣參數分析

將式（11）按三角函數“和化積”的方式寫成

對該式求地層傾角α的導數，當導數為0時，空間采樣間隔取到最小值，即

可得cosα＝0，則α＝90°。

顯然，當地層傾角為90°，即地層直立時，空間采樣間隔有極小值。通過以上分析可得對繞射波和反射波的偏移歸位實現了理論的統一。地層傾角為零時，公式就退化為繞射波偏移歸位的計算公式，即地層傾角越大，空間采樣間隔越小；偏移傾角越大，要求的偏移孔徑越大，空間采樣間隔越小。

2.5 不同成像方式的空間采樣間隔計算公式對比

不同地震成像方式對地震采集的空間采樣間隔要求也不一樣：對于傾斜地層的疊加，空間采樣間隔的大小取決于地層傾角；對于繞射點偏移，空間采樣間隔取決于繞射收斂傾角（30°）；對于傾斜地層偏移，空間采樣間隔不僅取決于地層傾角，也取決于繞射收斂傾角（30°）。為了進一步說明面向傾斜地層疊加、繞射點偏移歸位、傾斜地層偏移成像的空間采樣間隔的區別，表1列舉了幾種成像方式下各

表1 不同成像理論的空間采樣間隔計算公式對比

自計算公式，以及地層傾角分別為90°、60°、30°、10°且繞射偏移傾角為30°時的計算公式。

3 合成記錄分析

假設地層傾角分別為0°、10°、30°的簡單兩層結構（上層速度為1000m／s，下層速度為2000m／s）地質模型，其上只有一個繞射點。繞射點速度為2000m／s，繞射點深度1000m，圍巖速度為1000m／s。要保護主頻50Hz（最高截止頻率為70Hz）的反射信號，按偏移傾角為30°的理論計算，從圖3及表2中可見：若要滿足疊加成像，對于地層傾角為10°的平緩地層，空間采樣間隔應不大于20.57m；對于傾角為30°的地層，空間采樣間隔應為7.14m。但若要滿足傾斜地層偏移成像，對于10°的平緩地層，空間采樣間隔應為5.30m；對于傾角30°的地層，空間采樣間隔最好不要大于3.57m。

圖3 不同成像方式的空間采樣參數分析

為了驗證理論計算結果，選擇地層傾角分別為0°、10°、30°，以主頻為50 Hz的雷克子波合成地震記錄，采用繞射波軌跡或偏移算子的參數，對傾斜地層的反射波進行偏移歸位，得到圖4所示的從上～下分別對應地層傾角為0°（水平地層）、10°、30°，從左～右空間采樣間隔依次為5、10、15m 的成像結果。可見當地層傾角為0°時，空間采樣間隔10m 的成像地震道基本沒有假頻噪聲，采用15m 在成像點上方有一些微弱噪聲，但不影響成像效果。當地層傾角為10°時，空間采樣間隔在10m 以下，成像的地震道基本沒有假頻噪聲，而采用15m 在成像點上方有一些抖動的噪聲，說明存在一定的假頻信號。當地層傾角為30°時，要使50 Hz的信號成像，空間采樣間隔應小于5m。通過上面的對比分析，正演模擬結果與理論計算的空間采樣結果吻合良好。

表2 不同傾角地層的偏移成像理論計算的空間采樣

圖4 不同傾角傾斜地層在不同空間采樣間距時的偏移成像結果

4 結論

（1）本文提出了滿足傾斜地層偏移成像的空間采樣間隔計算公式，完善了目前只適用于繞射波歸位或水平地層反射波偏移的空間采樣間隔計算公式，使基于繞射波和反射波的偏移歸位理論的空間采樣間隔公式實現了統一。

（2）根據本文推導的空間采樣間隔計算公式，當地層傾角為零時，即退化為繞射波偏移歸位計算公式；隨著地層傾角變大，所需空間采樣間隔越小；隨著偏移傾角變大，偏移孔徑越大，所需空間采樣間隔越小。

（3）對地層傾角分別為0°、10°、30°的情形做對比分析得知，正演模擬結果與推導的空間采樣間隔公式計算結果二者吻合良好。這樣就驗證了本文空間采樣間隔計算公式的正確性，并為地震勘探設計中空間采樣參數選擇提供了可靠的理論依據。