運用相似法破解一類勾股題

朱小扣

(安徽省無為第三中學城北校區 238300)

本文將從勾股定理的相似證法得到啟發，通過相似的性質可以解決勾股定理這一章節的很多題目.希望本文能對同學們有所啟發.

例1 如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，a,b,c分別是∠A,∠B,∠C所對的邊.

求證：a2+b2=c2.

例1是勾股定理的證明,事實上，勾股定理是一個基本的幾何定理，指直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.其證明方法有很多，在人教版八年級教材下冊第23頁(文[1])，是用趙爽的勾股弦圖證明的.后來,教材又在第30頁的閱讀材料中，又提供了畢達哥拉斯證法與美國總統加菲爾德的證法.考慮到這個等式左右都是二次的，故不能用線段長度(一次的)來證明之，首選應該采用面積(二次的)來證明.根據數學證明的原則，可以采用相似法、托勒密定理等來證明，但不能用正弦定理、余弦地理來證明，因為這犯了循環論證的錯誤，即不能用相互聯系的后來高級的知識證明開始初級的知識.

筆者查閱很多資料發現文[2]中的證法很實用：

證明如圖2.作CD⊥AB于點D,易證△CBD∽△ACD∽△ABC.

由面積比等于相似比的平方可得：S△CBD∶S△ACD∶S△ABC=a2∶b2∶c2

可設：S△CBD=ka2,S△ACD=kb2,S△ABC=kc2(k>0),結合S△CBD+S△ACD=S△ABC得：

ka2+kb2=kc2，故a2+b2=c2，即證.

上述解法利用相似的性質，簡單而直觀的證明出勾股定理，這種新的思想應該推廣.又如：

例2如圖3，過直角三角形的三邊向外作等邊三角形，求證：S1+S2=S3

證明易證3個等邊三角形相似，由面積比等于相似比的平方可得：S1:S2:S3=a2:b2:c2可設：S1=ka2,S2=kb2,S3=kc2(k>0),結合勾股定理a2+b2=c2得：S1+S2=k(a2+b2)=kc2=S3，即證.

同樣的(如圖4，圖5)：

同理可證：過直角三角形的三邊向外作等邊正多邊形，都有：S1+S2=S3

同樣的如果不用相似法，很難用計算面積來解決下面的題目.

例4如圖6，在四邊形ABCD中，AB∥CD,∠ADC+∠BCD=90°,以AD,AB,BC為邊向外分別作等邊三角形，其面積分別是S1,S2,S3,且CD=3AB,S1+S3=kS2,求k的值.

進而AD=2OA=2b,BC=2OB=2a，由三個等邊三角形相似可得：

S1∶S2∶S3=(2b)2∶c2∶(2a)2.

由a2+b2=c2.

得：S1+S3=4S2,

故k=4.

用相似法還可以解決如下類似的題目：

例4如圖7，四邊形ABCD中，AD∥BC,∠ABC+∠BCD=90°,以AB,BC,CD為邊向外分別作正方形，其面積分別是S1,S2,S3,且BC=2AD,S1=3,S3=9求S2的值.

解過A作AE∥CD交BC于點E,則∠BAE=90°，易證AECD是平行四邊形,則BC=2AD=2BE,AB2+AE2=BE2,如圖8.

由三個正方形相似，得：

S1∶S2∶S3

=(AB)2∶(2BE)2∶(AE)2.

?S2=4×(3+9)=48.

[追蹤訓練]

例5如圖9，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，分別以AC，BC為直徑作半圓，面積分別記為S1，S2，則S1+S2=____.

答案:2π(過程略).

上面涉及到勾股數的題目，都可以用相似來解決.然而在很多版本的八年級數學教材都將相似放在了勾股定理之后，這很容易讓學生忽視相似這種巧妙方法在勾股定理這一章節的應用，在此也希望專家在編寫教材時，能把用相似證明勾股定理的這種方法寫進教材.