銳角三角函數易錯點解析

何星依

(江蘇省海門市中南東洲國際學校 226100)

根據新課標，對初中銳角三角函數的教學要求是掌握銳角范圍內三角函數的正弦、余弦及正切三類函數的定義及基本性質，并能夠熟練使用特殊角的三角函數值，能夠結合基礎知識解決一系列簡單的銳角三角函數實際問題.在實際教學過程中，初中數學教師普遍反映學生對銳角三角函數的理解存在很多問題，對其具體定義及性質的理解不夠深入.本文結合實際教學過程中常見易錯題型開展解析研判，深化學生對銳角三角函數的認知.

一、對銳角三角函數概念理解不透徹

中學函數的定義是：在變化過程中有兩個變量x和y，如果對于每一個x值均有唯一的y值與之對應，則可稱x是自變量，y是關于x的函數，銳角三角函數也是如此.但與一次函數、反比例函數等常規函數相比，銳角三角函數屬于特殊函數，它不是依賴于表達式來表示，而是依靠直角三角形兩邊比值所得.

例1在Rt△ABC中，如果各邊長度均擴大2倍，則銳角A的余弦值( ).

A.不變化 B.擴大2倍 C.縮小1/2

解析根據銳角三角函數的定義可知，任意銳角三角形的余弦值是指在直角三角形中，鄰邊與斜邊的長的比值.結合題意可知，各邊長度均擴大2倍，自然直角三角形鄰邊及斜邊均擴大兩倍，其比值不發生變化，故選項A正確.本題較多學生錯選B選項，知道銳角三角函數的定義，也明確了余弦的概念，但卻忽略了邊長比值的不變性，從而發生錯選.

點評銳角三角函數屬于抽象類函數問題，不同于常規函數，在實際求解過程中，建議學生腳踏實地，列出余弦值表達式，代入邊長變化關系，從而準確得出正確選項.

二、遺漏銳角三角函數隱含條件

銳角三角函數不僅與常規函數(一次函數、反比例函數等)存在差異性，其于鈍角三角函數在求解時也存在差異性.鈍角三角形只要保證有一個角為鈍角即可，而銳角三角形則需要保證三個角均為銳角.對此，很多學生在求解銳角三角函數類問題時，常常會忽略三個角均為銳角的隱含條件，從而造成多解或取值范圍判斷過大.

例2在銳角三角形ABC中，已知角A、B、C的對邊分別為a、b、c，其中b=1、c=2，求a的取值范圍.

點評判定直角(鈍角)三角形時，只要保證其中一個角為直角(鈍角)即可，即可判斷其中一角的余弦值等于(小于)零.而在銳角三角形求解時，務必保證該三角形三個角均為銳角，即需要展開三次判斷，方可得到最終結論.

三、忽略銳角三角函數分類求解思想

銳角三角函數在實際求解過程中往往存在多解情況，需要采取分類討論的措施，以保證求解的準確性.尤其是將銳角三角函數與方程等知識點進行綜合求解時，更需要注意求解邊界的問題，避免漏解情況的發生.

例3如果方程x2-4x+3=0的兩個根分別是Rt△ABC兩條邊的長度，假設△ABC的最小角為∠A，那么tanA的值為____.

解析由Rt△ABC兩條邊長分別為方程x2-4x+3=0的兩個根，求解可知：原方程的兩個根分別是1和3.由于未明確△ABC的直角邊，故進行分類討論.

點評值得注意的是，在銳角三角函數與方程等知識點相融合時，切記求解分析全面，開展分類討論.由于該題在已知條件中，并未明確方程兩根是否為兩直角邊，故需要分類進行討論分析.在實際求解過程中，學生往往容易忽略上述第二種情況，造成漏解.

總之，銳角三角函數是中學數學的重要知識點，存在眾多易錯誤區.教師在實際教學過程中，應盡可能圍繞銳角三角函數概念，結合函數圖象形象化展示銳角三角函數所存在的對應關系，幫助學生分清銳角三角函數的自變量與因變量關系，強化學生對于函數思想的應用.