激光照明條件對超振蕩平面透鏡聚焦性能的影響*

劉康 何韜 劉濤 李國卿 田博 王佳怡 楊樹明

(西安交通大學, 機械制造系統工程國家重點實驗室, 西安 710049)

超振蕩平面透鏡(super-oscillatory lens, SOL)是近幾年出現的新型平面光學元件, 基于矢量角譜理論設計了振幅型和相位型SOL, 采用時域有限差分法對衍射聚焦光場進行嚴格電磁仿真計算, 研究發現: 當照明激光束腰半徑w0 小于SOL 半徑a 時, 超衍射極限聚焦能力明顯下降, 聚焦光斑強度衰減超過50%; 束腰半徑w0 對相位型SOL 影響更劇烈, 且會發生顯著正向焦移; 當w0 不小于2a 時可獲得接近理想的聚焦特性. 傾斜照明條件下, 大數值孔徑振幅型SOL 一般允許的傾斜角度小于10°, 而相位型SOL 具有寬廣的傾角適應性(可超過40°), 聚焦光斑會發生橫向展寬, 且強度急劇下降. 大數值孔徑SOL 對無限遠點物成像會產生顯著的負畸變和波動變化的場曲, 小數值孔徑SOL 在寬視場范圍內則無畸變. 本文研究結果為SOL 在超衍射極限聚焦、超分辨顯微成像、飛秒激光直寫微納加工等領域的實際應用提供重要理論支撐.

1 引 言

為了實現遠場亞波長聚焦和超分辨成像, 英國南安普頓大學于2012 年首次提出了超振蕩透鏡(super-oscillatory lens, SOL)[1], 作為一種新的平面光學元件, 其基本原理是利用微納環帶結構實現多光束衍射, 并由相干光場的精細干涉疊加在光學遠場區域獲得亞波長尺寸的聚焦光斑[1,2]. SOL 是一種微納同心圓環結構, 與常規的同心圓環光瞳濾波器(或稱Toraldo 光瞳濾波器)[3,4], 工作原理截然不同, 前者是利用光的衍射對光場直接聚焦, 后者必須工作于透鏡或物鏡系統中. SOL 是一種隨機優化產生的平面光學元件[1,2,5,6], 與熟知的菲涅耳波帶片[7,8]也存在明顯區別, 后者是利用波帶法直接構造的疏密有致的同心圓環結構. 根據光場調制參數的不同, SOL 可分為振幅型、相位型和復振幅型, 振幅和相位調制分別通過刻蝕金屬膜和透明介質材料實現. 由于SOL 具有結構輕薄、易于實現亞波長聚焦和衍射光場定制設計的突出優點, 近幾年受到廣泛的關注[5,6,9?12]. 主要包括廣泛深入的優化設計方法研究[1,5,9?11], 和基于SOL 的超分辨成像應用研究[1,13?15]. 對于引入加工誤差后SOL 聚焦性能變化的研究較少, 西安交通大學分析了金屬膜的材料和厚度以及照明激光波長對SOL 聚焦特性的影響[16,17]; 西北工業大學初步研究了SOL 環帶寬度誤差和環帶側壁傾斜度對聚焦性能的影響[18];東南大學基于激光直寫技術利用視場拼接的辦法加工了大口徑SOL 并分析了拼接誤差對聚焦性能的影響[19].

目前為止, 激光照明條件對SOL 聚焦性能的影響尚未見相關研究報道, 尚不清楚SOL 實際應用中照明光源振幅分布、傾斜、安裝偏差等客觀條件下SOL 聚焦性能如何變化, 這些情形都偏離了SOL 優化設計的基本假設條件[1,2,9,10], 目前研究也尚未揭示SOL 對無限遠物點成像的像差分布.本文結合矢量角譜(vectorial angular spectrum,VAS)理論和遺傳算法(genetic algorithm, GA),在激光均勻照明、垂直入射條件下優化設計典型SOL, 重點基于時域有限差分法(finite-difference time-domain, FDTD)對衍射光場進行嚴格電磁仿真計算, 通過大量的FDTD 定量計算研究揭示實際應用中激光照明條件對SOL 聚焦特性的影響規律, 并研究揭示離軸傾斜照明(或無限遠點物成像)條件下的畸變和場曲像差分布特性, 研究結果將為SOL 在當前超分辨聚焦、顯微成像、微納光刻等領域的廣泛工程應用奠定堅實的理論基礎.

2 SOL 設計

當矢量偏振光束垂直照射SOL 表面時, 其衍射聚焦過程如圖1 所示. 根據VAS 理論, 如果已知SOL 后表面處的橫向電場分布, 則SOL 之后空間中任意一點的電場分布均可由VAS 積分表達式計算得到[20], 而SOL 后表面的電場分布近似等于入射場與SOL 衍射孔徑標量透過率函數的乘積[1,2,5,6,9]. 根據VAS 理論對任意典型偏振態激光光束的衍射傳播過程進行積分描述, 再設定需求目標對衍射光場進行單目標或多目標約束, 建立數學優化模型, 進而通過優化算法(如GA 算法[2]或粒子群優化算法[1])反復迭代計算, 可以優化設計出性能滿足(或接近)設計需求的SOL 結構[1,2,5,6,9].

圖1 SOL 衍射聚焦示意圖Fig. 1. Schematic diagram of diffraction focusing of SOL.

針對最典型的線偏振光(偏振方向設為沿X方向), 基于VAS 理論導出的積分公式[2,9], 利用GA 算法和快速漢克爾變換算法[9,16], 分別優化設計出三組振幅型和相位型的SOL 結構, 參數見表1. 其中, 照明激光波長l= 632.8 nm, 光源垂直入射, 振幅設為均勻分布. SOL 工作介質為空氣,SOL 的最大外徑為D, 設計焦距為fsol, 環帶最小徑向寬為?r,NA是SOL 的數值孔徑(NA=sinα,α是最大會聚半角). SOL 的幾何結構用每個環帶的外環半徑值ri表示(i= 1, 2, ···,N,N是最大環帶數), 每個環帶的透過率用ti表示, 其中振幅型SOL 的透過率“1”和“0”分別表示該環帶是透光和不透光, 而相位型SOL 的相位調制量為y= 0,π/2 或π, 對應ti= exp(jy)等于“1”, “j”和“－1”(j 是虛數單位). 第3 節將基于典型SOL 結構(SOL1—6)采用嚴格電磁仿真方法——FDTD 進行計算分析.

3 激光照明條件對SOL 的影響

3.1 激光振幅分布的影響

針對振幅型SOL1和相位型SOL2(見表1),分別采用束腰半徑w0= 2a,a, 2a/3,a/2 的高斯光束進行照明, 其中a為SOL 的半徑(a=D/2),高斯光束振幅分布(設在SOL 衍射孔徑平面內)表示為

其中A0是光束中心處的幅度. 利用FDTD 三維嚴格電磁仿真, 振幅型SOL1采用100 nm 厚的鋁膜作為光的遮擋介質[1,16,21], 相位型SOL2的相位調制介質采用Si3N4材料, 在l= 632.8 nm 波長下Si3N4的折射率為1.91[22], 通過對Si3N4層的刻蝕產生深度為348 nm 的溝槽進行相位π 的調制.FDTD 采用完全匹配層(perfectly matched layer,PML)作為吸收邊界, 設置總場散射場(total-field scattered-field, TFSF)光源邊界, FDTD 仿真區域網格劃分為20 nm × 20 nm × 20 nm (x,y,z),更精細的網格劃分可提高計算精度, 但同時對計算機存儲空間的需求迅速增大.

振幅型SOL1仿真計算得到的衍射場沿軸光強分布和焦平面內垂直于偏振方向的光強分布如圖2 所示, 其中束腰半徑w0=∞對應均勻平面波. 從圖3(a)可見, 光源束腰半徑w0由∞減小至a/2時, 聚焦光斑的橫向半高全寬(full width at half maximum, FWHM)逐漸展寬. 當高斯光的束腰半徑w0大于SOL 的半徑a時, 聚焦光斑的FWHM僅展寬了1.4%, 光斑強度衰減為等幅度均勻平面波時的43.3%; 而當束腰半徑w0小于SOL 衍射孔半徑a時, 聚焦光斑由287 nm (0.42l/NA,w0=a)迅速展寬為341 nm (0.50l/NA,w0=a/2), 光斑尺寸增大了19%, SOL 的超衍射極限聚焦的能力逐漸下降(標量衍射理論框架下, 艾里斑的FWHM為0.51l/NA), 同時聚焦光斑的光場強度急劇下降, 僅為原來的18%, 如圖3(b)所示.

表1 優化設計的SOL 結構參數Table 1. Structural parameters of optimized SOL.

圖2 SOL1 的聚焦光場FDTD 計算結果 (a) 軸向光強分布; (b) 焦平面內橫向光強分布(Y 方向)Fig. 2. Focused light field of SOL1 by FDTD simulation:(a) On-axis intensity distribution; (b) transverse intensity distribution in the focal plane (Y-direction).

圖3 SOL聚焦性能變化(FDTD) (a) 光斑橫向尺寸;(b) 光斑中心強度Fig. 3. Focusing performance of SOL (FDTD): (a) Transverse size; (b) central intensity.

類似于振幅型SOL1, 相位型SOL2的聚焦光斑同樣隨著照明高斯光束的束腰半徑的減小而逐漸展寬, 光斑強度迅速減弱, 如圖3 和圖4 所示.相位型SOL2的光強分布變化更為劇烈, 照明光束的振幅分布對其影響更大, 特別是當束腰半徑w0由a減小到a/2 時, 軸向光斑的旁瓣顯著增強,并且伴隨著顯著的軸向正向焦移(160 nm), 橫向光斑的FWHM 由297 nm 展寬為365 nm, 尺寸增大了23%, 光斑強度也減弱為原來的25%. 而當高斯光束的束腰半徑w0=a時, 橫向光斑的FWHM 僅展寬了7.2%, 光斑強度衰減為均勻照明時的49%.

圖4 SOL2 的聚焦光場FDTD 計算結果 (a) 軸向光強分布; (b) 焦平面內橫向光強分布(Y 方向)Fig. 4. Focused light field of SOL2 by FDTD simulation:(a) On-axis intensity distribution; (b) transverse intensity distribution in the focal plane (Y-direction).

從SOL1和SOL2的FDTD 仿真計算結果不難發現, 對于均勻照明條件下優化設計的SOL, 若采用高斯光束進行照明使用(實際情形), 無論是振幅型還是相位型SOL, 聚焦光斑的分布總體仍然保持了一致的單焦點特性, 但激光的束腰半徑會對SOL 聚焦性能產生顯著影響, 強度和光斑尺寸在w0≥D(即w0≥2a)時接近理想設計情形. 當束腰半徑w0減小至SOL 半徑a時, 聚焦光斑尺寸明顯展寬, 而光斑強度衰減超過50%, SOL 聚焦光斑的分布影響相對較小. 當束腰半徑w0小于SOL 半徑a后, 不僅聚焦光斑尺寸會發生顯著擴展, 超衍射極限聚焦能力明顯下降, 特別對于相位型SOL還會出現顯著的正向焦移現象, 光斑的軸向旁瓣也會明顯退化.

當前大多數微納光學研究使用的SOL 半徑在幾十至百微米量級[1,5,9?11], 由于實際激光光束的束腰半徑都在亞毫米至毫米(準直擴束后可增大至數毫米至厘米量級), 遠大于SOL 的半徑, 因此實際照明情形可按均勻平面波對待. 但為了與常規的光學元件配合使用以及提高SOL 的光能利用率, 需要設計毫米級甚至厘米級的大口徑SOL[18,19], 此時SOL 的衍射半徑已經等于或大于照明激光束腰半徑, 激光光源的振幅分布特性對SOL 聚焦光斑的影響變得尤為顯著. 因此, 如果光源束腰半徑與SOL 半徑相近或更小時, 必須將高斯光束振幅分布代入優化設計過程, 對SOL 進行更加精準的優化設計.

進一步地對X方向線偏振光照明的SOL 聚焦光斑矢量特性進行研究, 以SOL1為例, 在均勻平面波和w0=a/2 高斯光照明條件下焦平面各電場分布如圖5 所示. 可以看到平面波入射條件下聚焦光斑中電場Ez和Ey分量在電場總場中的比重較大, 導致聚焦光斑呈扁橢圓形; 而高斯光照明條件下SOL 聚焦光斑的Ez和Ey分量卻相對較小, 對合成光斑的分布影響減弱, 光斑最終呈輕微橢圓狀. 通過分析不難發現, 由于采用高斯光束進行SOL照明時, 對聚焦光斑Ez和Ey分量貢獻最大的外環結構接收到的激光照明強度大大降低, 因此聚焦光斑中的電場Ez和Ey分量減小而Ex成為最主要的分量, 合成光斑將在Ex分布基礎上沿著照明光偏振方向輕微展寬.

除了最常見的高斯平面波, 進一步對空心高斯光束[23]和貝塞爾-高斯(Bessel-Gaussian, BG)光束[9]等不同振幅分布照明光源條件下的SOL 聚焦特性進行了分析.

首先基于VAS 理論對X方向線偏振空心高斯光束照明條件下的SOL 聚焦光場分布進行了計算, 發現隨著光束空心半徑的增大焦平面光斑的Ez和Ey分量占比急劇上升, 呈明顯的“啞鈴”形分布; 而光場軸向分布則逐漸展寬呈不均勻的“光針”狀, 這樣的變化與對SOL 進行中心遮擋空間濾波情形類似[24].

其次采用典型的BG 振幅分布的徑向偏振態光束, 針對SOL1和SOL2進行矢量衍射計算, 振幅服從[9]

圖5 SOL1 聚焦光斑電場分布的FDTD 結果 (a) 均勻平面波照明; (b) w0 = a/2 的高斯光束照明Fig. 5. Electric field distribution of SOL1 by FDTD simulation: (a) Uniform plane beam illumination; (b) w0 = a/2 Gaussian beam illumination.

圖6 BG 徑向偏振光束照明條件下SOL 聚焦光場的VAS 計算結果 (a), (b) SOL1; (c), (d) SOL2Fig. 6. Focused light intensity of SOL by VAS calculation under BG radially polarized illumination: (a), (b) SOL1; (c), (d) SOL2.

其中J1為第一類一階貝塞爾函數. 設高斯束腰半徑等于SOL1半徑(w0= 8 μm), 基于VAS 理論進行聚焦光場計算, 結果如圖6 所示. 可見, 采用徑向偏振BG 光束照明的SOL, 聚焦光斑橫向尺寸與X 線偏振均勻平面光照明條件下的Y向光斑尺寸大小接近且略微偏大, 而光斑軸向分布嚴重變形, 根本原因是這里使用的SOL 是采用線偏振光設計的, 如果改為徑向偏振光照明則其聚焦性能不能達到最優, 此時應該在徑向偏振光照明條件下重新優化設計[9].

3.2 激光傾斜照明的影響

SOL 對有一定傾斜角度(傾角)的單色相干平行光束直接聚焦(等價于對軸外無窮遠物點進行衍射聚焦成像), 或者可將SOL 用作管鏡進行無限遠物點的光學成像, 如圖7 所示. 此外, 由于裝調誤差等原因也可能導致入射光束方向與SOL 元件表面的法線方向存在一定的夾角, 如圖8 所示. 這些都偏離了目前SOL 的設計基本條件要求, 即均假設單色激光垂直照明, 此時SOL 是否依舊能有效聚焦, 或者對傾斜平行光有一定的視場角范圍, 以及聚焦光斑分布會如何變化, 將直接影響SOL 的實際應用.

圖7 SOL 對傾斜平行光的衍射聚焦成像示意圖Fig. 7. Schematic diagram of diffraction focused imaging by SOL under oblique illumination.

首先對振幅型SOL 在傾斜入射下的聚焦性能進行了初步研究, 發現振幅型SOL 對入射光束傾角(偏轉角度)十分敏感. 圖9 為振幅型SOL 的傾斜照明FDTD 聚焦計算結果, 其中大數值孔徑SOL5(NA= 0.93)的聚焦光斑在傾斜角度ω=12?時出現了明顯的彌散現象, 而在ω=15?時失去聚焦能力; 小數值孔徑SOL6(NA= 0.44)在ω=18?傾斜照明條件下光斑出現顯著變形, 在ω=21?時光斑嚴重退化, 此時SOL 失去對該傾角平行光束的良好聚焦. 總體而言, 振幅型SOL 聚焦性能嚴重依賴于照明光束傾角大小, 一般僅允許相對較小角度(ω?10?)的傾斜照明, 小數值孔徑SOL 具有相對較弱的傾角依賴性.

圖8 傾斜平行光照明的SOL 衍射聚焦示意圖Fig. 8. Schematic diagram of diffraction focusing by SOL under oblique illumination.

圖9 振幅型SOL 的傾斜照明FDTD 聚焦計算結果 (a), (c), (e) SOL5; (b), (d), (f) SOL6Fig. 9. Focusing results of amplitude-type SOL under oblique illumination: (a), (c), (e) SOL5; (b), (d), (f) SOL6.

圖10 傾斜照明SOL 的聚焦光斑尺寸 (a) FWHM x ; (b) FWHM zFig. 10. Focal spot size of SOL under oblique illumination: (a) FWHM x ; (b) FWHM z .

相比之下, 相位型SOL 則可以在較大角度的傾斜照明條件下進行光束聚焦, FDTD 仿真計算結果顯示, 在傾斜角度最大達到ω=42?時相位型SOL3和SOL4仍然能夠實現良好聚焦, 遠大于振幅型SOL 允許的入射傾角大小. 除了對入射光傾斜角度具有更高的適應性, 相位型SOL 的聚焦效率以及對入射光場調制的靈活性等也遠優于振幅型SOL, 有望在未來獲得更廣泛的使用, 因此, 下面針對相位型SOL 進行詳細比較分析, 包含大數值孔徑和小數值孔徑SOL 兩類.

對于NA= 0.93 的相位型SOL3和NA= 0.45的相位型SOL4, 將平行光束進行間隔為3°的等間距傾斜(ω=0?—42?), 對聚焦光場分別進行FDTD嚴格電磁仿真計算. FDTD仿真模型中SOL 的相位調制層采用SiO2材料, 在632.8 nm波長下折射率為1.457, 通過對SiO2層的刻蝕, 產生深度為346 nm 的溝槽進行相位π/2 的調制. 仿真采用PML 邊界條件、TFSF 光源, 仿真區域網格劃分為20 nm × 20 nm × 20 nm (x,y,z).

首先以聚焦光斑中強度最高的點作為焦點中心, 定量統計聚焦光斑的橫向和軸向尺寸(FWHMx和FWHMz), 如圖10 所示. 隨著入射激光傾斜角度的逐步增加, SOL3聚焦光斑的橫向和軸向尺寸波動較大, 光斑的橫向尺寸大致呈增大趨勢, 軸向尺寸則呈現先增大后減小的變化趨勢, 其中光斑橫向FWHM 最大展寬了52%, 而光斑軸向尺寸波動更為明顯, 最大展寬達到了94%. 對于小數值孔徑的SOL4, 光斑的橫向和軸向FWHM 變化則呈現出一定的規律: 當傾斜角度處于18°以內時, 光斑的FWHMx保持著較高的穩定性, 傾斜角度達到18°時聚焦光斑也僅有47 nm 的展寬, 光斑的FWHMz則隨著傾斜角度的增加逐步減小且整體呈現一定的線性關系; 當傾斜角度超過18°后,光斑的橫、軸向尺寸均開始出現明顯波動, 并且在42°的傾斜角度下光斑的橫向尺寸出現急劇變化,SOL 的聚焦能力退化嚴重.

其次, 聚焦光斑強度也隨著傾斜角度的增大而出現顯著下降, 如圖11 所示. 對于大數值孔徑的SOL3, 傾斜角度在0°—9°的變化過程中, 光斑強度急劇衰減了61%, 而在傾斜角度達到18°以后光斑的強度衰減逐漸趨于平緩, 總體處于較低水平. 對于小數值孔徑的SOL4, 與前述光斑尺寸一樣, 光斑強度在18°以內的傾斜入射角度下能夠保持較高穩定性, 最高僅衰減了11%, 而在18°以后光斑強度變化開始變得較為明顯, 到42°的傾斜角度時強度衰減已經達到了69%.

圖11 不同照明角度下SOL 的聚焦光斑強度Fig. 11. Focal intensity of SOL varying with oblique illumination angle.

3.3 無限遠物點成像的畸變和場曲

對聚焦光斑的位置進行了定量統計分析, 發現在傾斜角度ω小于18°范圍內SOL3的聚焦光斑傾斜角度位置ω′與入射激光傾斜角度ω存在較好的線性關系, 如圖12(a)所示, 經最小二乘擬合后該線性斜率為2.03, 擬合均方根誤差為1.077. 進一步對SOL3的出射、入射角度的正切之比進行計算, 發現該比值隨著傾斜角度的增加而逐漸減小, 如圖12(b)所示, 而Γ表示圖7 所示成像系統的垂軸放大率的調制系數, 該調制系數隨入射角度變化則意味著SOL3不同的垂軸位置具有不同的放大倍數β, 可利用下式表示:

因此像面會產生畸變. 對于SOL3, 當傾斜角 度ω小 于18°時,利用正切倍角公式,得到Γ ≈2/(1?tan2ω), 即可以通過入射角估算出垂軸放大倍數β. 對于小數值孔徑的SOL4, 聚焦光斑的角度位置ω′與入射角ω之間的線性關系更為明顯,傾斜角度ω在0°—27°的角度范圍內, 最小二乘擬合的線性斜率為1.15, 擬合均方根誤差為0.142(對應微小畸變), 比值Γ保持良好的一致性, 顯示出遠比SOL3好的規律性, 根據(2)式, 此時具有類似透鏡成像系統, 垂軸放大倍數為常數(無畸變).

利用(2)式, 結合折射透鏡光學系統中相對畸變的定義[25], 以小角度(本文可取3°)對應的實際垂軸放大倍率為基準, 則相對畸變

顯然由圖12(b)可知,q′ <0 (負畸變), 對應桶形畸變.

由聚焦光斑在橫向和軸向位置的變化可以得到SOL 聚焦產生的場曲和畸變(針對無限遠物體成像), 軸向和橫向位置分別用Xf和Zf表示, 類似于單色幾何像差折射透鏡系統的分析, 以激光垂直入射時焦點所在的平面為基準面, SOL3和SOL4在XZ平面(子午平面)的場曲曲線如圖13 所示,隨著入射激光傾斜角度的增大, 場曲逐漸增大, 在傾斜角度分別達到18°和27°過后, 兩者的場曲開始出現明顯波動, 場曲的存在意味著聚焦像點(或離軸焦點)的軸向位置會發生明顯的移動.

圖12 聚焦光斑角位置變化 (a) ω - ω′ 關系曲線; (b) ω - Γ 關系曲線Fig. 12. Angle position of focusing spot: (a) ω - ω′ ; (b) ω - Γ .

圖13 SOL 的場曲 (a) SOL3; (b) SOL4Fig. 13. Field curvature of SOL: (a) SOL3; (b) SOL4.

根據上述兩種數值孔徑SOL 的仿真結果和分析, 可以發現雖然在0°—42°的傾斜角度范圍內兩者均能保持聚焦功能, 但聚焦性能完全不同; 大數值孔徑的SOL3對照明光的傾斜角度比較敏感, 即便在較小的傾斜角度, 聚焦光斑的橫、縱向尺寸、光強等都會出現明顯的波動和降低, 小數值孔徑的SOL4則在一定的傾斜角度內表現出了良好的穩定性, 在18°的范圍內不論是光斑的橫縱向尺寸、強度、角度位置還是場曲和畸變等像差都表現出了良好的穩定性.

4 結 論

本文基于VAS 理論設計了多組典型的SOL,重點采用FDTD 嚴格電磁仿真計算分析激光照明條件(振幅分布、傾斜角度等)對SOL 聚焦的影響. 仿真和分析結果表明, 在照明高斯光束的束腰半徑大于SOL 半徑(w0≥D)時, 振幅型和相位型SOL 的聚焦性能均接近理想情形, 而當束腰半徑小于SOL 半徑(w0