一種非電傳爆系統(tǒng)的全局靈敏度分析研究

程 蕾，王曉鵬，夏 艷，王宇銳，范新中

（中國(guó)運(yùn)載火箭技術(shù)研究院，北京，100076）

0 引 言

當(dāng)前航天技術(shù)發(fā)展形勢(shì)下，對(duì)非電傳爆系統(tǒng)的可靠性要求越來(lái)越高，非電傳爆系統(tǒng)的設(shè)計(jì)[1]、可靠性評(píng)估[2]研究工作也顯得尤為重要。根據(jù)非電傳爆系統(tǒng)傳爆序列特點(diǎn)，利用全概率統(tǒng)計(jì)的思想，對(duì)這種復(fù)雜系統(tǒng)的可靠性進(jìn)行評(píng)估，通過(guò)這種方法往往可以得到較為合理的評(píng)估結(jié)果。然而，使用全概率方法評(píng)估非電傳爆系統(tǒng)可靠性時(shí)，是將各個(gè)傳爆環(huán)節(jié)的可靠度作為輸入，最后通過(guò)全概率公式得到系統(tǒng)可靠度。因此，要進(jìn)一步提高系統(tǒng)可靠性，就需要對(duì)各個(gè)傳爆環(huán)節(jié)可靠度的靈敏度進(jìn)行分析，重點(diǎn)關(guān)注靈敏度高的傳爆環(huán)節(jié)的可靠度，并在工程實(shí)際中落實(shí)提高重要傳爆環(huán)節(jié)的可靠度，以提高系統(tǒng)的可靠性。

不確定性的傳遞過(guò)程分為2 種，正向傳遞和逆向傳遞。正向傳遞指輸入不確定性向輸出不確定性的傳播問(wèn)題，而逆向傳遞則指追溯輸出不確定性向輸入不確定性的分配問(wèn)題。靈敏度分析即探索輸入變量不確定性對(duì)輸出不確定性的貢獻(xiàn)大小，并給出輸入變量的重要性排序。一旦得到重要性排序，就可以在模型分析中起到非常有效的指導(dǎo)作用[3,4]，協(xié)助模型分析人員以最小經(jīng)濟(jì)、時(shí)間代價(jià)的約束最有效地減小模型輸出的不確定性。當(dāng)前應(yīng)用較為廣泛的是Sobol 提出的全局靈敏度指標(biāo)[5,6]，旨在衡量輸入變量不確定性對(duì)輸出模型的影響程度。眾所周知的數(shù)值模擬法（Monte Carlo，MC）可以用來(lái)求解Sobol 指標(biāo)[7]，單層數(shù)值模擬法（Single Monte Carlo，SMC）[8,9]則在此基礎(chǔ)上大大節(jié)約了計(jì)算成本，本文將這2 種方法均引入到非電傳爆系統(tǒng)的全局靈敏度指標(biāo)求解中。

一旦得到非電傳爆系統(tǒng)的全局靈敏度指標(biāo)，即得到各傳爆環(huán)節(jié)可靠度的重要性排序，就可以有目的地按順序依次提高特定傳爆環(huán)節(jié)的可靠度，以最小的成本、最優(yōu)化的思想使得系統(tǒng)可靠性達(dá)標(biāo)，滿足航天產(chǎn)品的驗(yàn)收需求。本文給出的非電傳爆系統(tǒng)算例給出了Sobol 全局靈敏度指標(biāo)使用的流程，適用于航天工程系統(tǒng)內(nèi)的各類(lèi)非電傳爆系統(tǒng)。

1 某非電傳爆系統(tǒng)描述

某非電傳爆系統(tǒng)由2 發(fā)電爆管、1 套傳爆組件，4發(fā)爆炸螺栓、2 件鎖緊螺母、2 件安裝螺母和2 件鎖緊螺母組成，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)示意見(jiàn)圖1。

圖1 某非電傳爆系統(tǒng)結(jié)構(gòu)示意Fig.1 Sketch of the Non-electric Detonation Transfer System

其工作原理如下：任一發(fā)電爆管通入額定電流后，起爆器工作，起爆傳爆組件，導(dǎo)爆索傳爆并通過(guò)4 路輸出接頭同時(shí)起爆4 發(fā)爆炸螺栓，爆炸螺栓工作，從預(yù)定分離面分離，完成預(yù)定功能。只要一路導(dǎo)爆索組件可靠工作，就能夠保證4 發(fā)爆炸螺栓可靠分離。

系統(tǒng)接入一定電流后，2 發(fā)電爆管工作輸出能量，起爆傳爆組件歧管內(nèi)裝的受主裝藥，受主裝藥工作，起爆4 路集束的導(dǎo)爆索，導(dǎo)爆索傳爆并起爆輸出接頭內(nèi)裝的小火帽，小火帽工作，起爆爆炸螺栓，爆炸螺栓完成分離功能。產(chǎn)品功能框圖見(jiàn)圖2。其中，D1～D7表示非電傳爆系統(tǒng)各傳爆單元，各單元的可靠度可用R1～R7表示，非電傳爆系統(tǒng)的系統(tǒng)可靠度可用RS表示。由圖2 可以看出：

a）D1～D3為冗余結(jié)構(gòu)，設(shè)計(jì)為2 路并聯(lián)的串聯(lián)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)；

b）D4～D6為冗余結(jié)構(gòu)，相應(yīng)于每個(gè)爆炸螺栓設(shè)計(jì)為2 路并聯(lián)的串聯(lián)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)；

c）4 路爆炸螺栓為串聯(lián)結(jié)構(gòu)，共同完成系統(tǒng)的分離功能。

圖2 某非電傳爆系統(tǒng)功能框圖Fig.2 Diagram of the Non-electric Detonation Transfer System

2 非電傳爆系統(tǒng)全概率可靠性評(píng)估方法

全概率公式通常將復(fù)雜事件分解為若干不相容的簡(jiǎn)單事件之和，通過(guò)得到簡(jiǎn)單事件的概率，利用其可加性，求得系統(tǒng)可靠性。以圖2 所示的2×4 路系統(tǒng)功能框圖為例，下面簡(jiǎn)單介紹全概率方法評(píng)估非電傳爆系統(tǒng)可靠性的過(guò)程。首先，對(duì)圖2 中的串聯(lián)過(guò)程進(jìn)行合并，將系統(tǒng)功能框圖簡(jiǎn)化后見(jiàn)圖3。

圖3 功能框圖簡(jiǎn)化圖Fig.3 Simplified Functional Diagram

下面采用全概率方法評(píng)估非電傳爆系統(tǒng)的可靠度。假設(shè)A1和A2工作的可靠度分別為 RA1和RA2，RS|A1表示A1正常工作下系統(tǒng)正常工作的概率，表示A1失效時(shí)系統(tǒng)正常工作的概率。那么，系統(tǒng)可靠度為

根據(jù)圖2 可知，要保證A1失效時(shí)系統(tǒng)正常工作，那么A2必須正常工作，即= 0，因此有：

繼續(xù)對(duì)RS|A1進(jìn)行全概率分解。假設(shè) RS|A1A2表示 A2正常工作時(shí)正常的概率，表示A2失效時(shí)RS|A1正常的概率，那么有：

將式（2）、式（3）代入式（1），得系統(tǒng)可靠度為

下面分別對(duì) RA1、 RS|A1A2、RS|A1A2建立可靠性框圖，給出可靠度計(jì)算公式。

表示“電爆管發(fā)火—起爆受主裝藥—受主裝藥起爆4 根集束導(dǎo)爆索”過(guò)程的可靠性，即D1～D3的串聯(lián)過(guò)程，那么有：

RS|A1A2表示A1、A2同時(shí)正常工作時(shí)系統(tǒng)工作的可靠度，對(duì)應(yīng)的可靠性框圖見(jiàn)圖4。

圖4 RS |A 1 A2對(duì)應(yīng)的可靠性框圖Fig.4 Reliability Diagram Corresponding to RS|A 1 A2

由于B 表示“導(dǎo)爆索傳爆-起爆小火帽-小火帽起爆爆炸螺栓”的過(guò)程，即D4～D6的串聯(lián)過(guò)程，C 表示爆炸螺栓分離，即D7。那么有：

圖5對(duì)應(yīng)的可靠性框圖Fig.5 Reliability Diagram Corresponding to

綜上，非電傳爆系統(tǒng)工作可靠度為

3 非電傳爆系統(tǒng)全局靈敏度分析模型

3.1 全局靈敏度指標(biāo)

不確定性分析領(lǐng)域中，結(jié)構(gòu)系統(tǒng)分析的基本問(wèn)題包括正向分析和逆向分析2 個(gè)方面。其中，正向分析研究輸入變量的不確定性向輸出性能的傳遞問(wèn)題，通過(guò)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中不確定性的正向傳遞分析，可以預(yù)測(cè)和評(píng)價(jià)輸入變量的不確定性在結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中的行為結(jié)果，而逆向分析則研究輸出性能的不確定性向輸入變量的分配問(wèn)題，也稱(chēng)為靈敏度分析，通過(guò)不確定性在結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中逆向的靈敏度分析，可以識(shí)別影響結(jié)構(gòu)系統(tǒng)輸出性能的輸入變量重要性排序，從而對(duì)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)分析、預(yù)測(cè)和優(yōu)化提供指導(dǎo)。

當(dāng)前應(yīng)用廣泛的一個(gè)全局靈敏度指標(biāo)為Sobol 基于方差的指標(biāo)，即[5,10]：

式中 V [ E (Y | Xi)]為固定某輸入變量Xi時(shí)的條件期望E (Y | Xi)的方差； V (Y )為無(wú)條件輸出Y 的方差。Sobol基于方差的指標(biāo) Si反映了輸入變量Xi對(duì)輸出響應(yīng)Y 方差的貢獻(xiàn)。

Janon[11]指出，Sobol 指標(biāo)可以表示成模型的無(wú)條件輸出與固定某一隨機(jī)輸入時(shí)的條件輸出之間的協(xié)方差。這個(gè)條件輸出一般可以通過(guò)固定某個(gè)特定輸入變量然后對(duì)其他變量隨機(jī)采樣得到，也就是：

式中 Y =f ( X , Z)；YX= f ( X , Z')。X 和Y 為相互獨(dú)立的隨機(jī)輸入變量。式（15）表明，Sobol 基于方差的指標(biāo)代表無(wú)條件輸出Y 與固定某一隨機(jī)輸入時(shí)的條件輸出YX之間的協(xié)方差Cov(Y , YX)除以一個(gè)系數(shù) V (Y )。

由于Pearson 系數(shù)定義為兩變量X1和X2之間的線性相關(guān)程度

則，Sobol 基于方差的指標(biāo)可以進(jìn)一步表達(dá)如下：

明顯地，Sobol 基于方差的指標(biāo)就是無(wú)條件輸入與固定某輸入時(shí)的條件輸出之間的Pearson 相關(guān)系數(shù)乘以一個(gè)系數(shù)。

3.2 非電傳爆系統(tǒng)全局靈敏度指標(biāo)

考慮圖1 中的非電傳爆系統(tǒng)，輸入變量可設(shè)為各傳爆環(huán)節(jié)可靠度 Ri( i = 1,2,..., n)，功能函數(shù)則為式中的系統(tǒng)工作可靠度。

因此，定義非電傳爆系統(tǒng)的功能函數(shù)為

式中 SRi為傳爆環(huán)節(jié)可靠度 Ri( i = 1,2,..., n)對(duì)系統(tǒng)輸出可靠度的影響程度，SRi越大代表 Ri的重要性越高，反之亦然。

類(lèi)似式（17），靈敏度指標(biāo)可以改寫(xiě)如下：

那么，非電傳爆系統(tǒng)的靈敏度指標(biāo)可以利用類(lèi)似Sobol 指標(biāo)的單層抽樣方法進(jìn)行求解。

3.3 非電傳爆系統(tǒng)全局靈敏度指標(biāo)求解

對(duì)于圖1 中所示的2×4 路的非電傳爆系統(tǒng)，要求在置信度0.95 下，非電傳爆系統(tǒng)的可靠度不低于0.99。根據(jù)全概率評(píng)估方法，需要對(duì)各個(gè)傳爆環(huán)節(jié)進(jìn)行可靠性評(píng)估，如表1 所示。

表1 傳爆系統(tǒng)各環(huán)節(jié)可靠度指標(biāo)Tab.1 Reliability of Each Intermediate Link

根據(jù)式（13）中的功能函數(shù)，給定一組傳爆系統(tǒng)各環(huán)節(jié)可靠度，得到對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)可靠度。下面使用SMC方法求解非電傳爆系統(tǒng)全局靈敏度指標(biāo)，步驟如下：

a）定義非電傳爆系統(tǒng)各環(huán)節(jié)可靠度指標(biāo)Ri( i= 1,2,.., n )隨機(jī)取{0.99,0.999,0.9999, 0.99999,0.999999}中的值，得到輸入變量矩陣 R(A)( N ×n)和( N ×n)；

b）根據(jù)輸入矩陣 R(A)( N ×n)按式得到一列對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)輸出可靠度×1)；

c）令輸入變量矩陣，且 R(C)(:, i) =R(A)(:, i)，那么可以得到此時(shí)的一列系統(tǒng)輸出可靠度；

e）將步驟c）和步驟d）重復(fù)n 次，即可得到各傳爆環(huán)節(jié)可靠度的全局靈敏度指標(biāo)排序。

3.4 非電傳爆系統(tǒng)全局靈敏度指標(biāo)結(jié)果

a）R1～R7隨機(jī)取自集合{0.99,0.999,0.9999,0.99999,0.999999}。

隨機(jī)樣本量105下系統(tǒng)可靠度的分布如圖6 所示。可以看到， 系統(tǒng)可靠度的變動(dòng)區(qū)間大致為[0.9,0.999999]，若能識(shí)別出對(duì)系統(tǒng)可靠度影響較大的傳爆單元并著重提高該單元可靠度，可有目的地實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)可靠度的大幅提升。

圖6 樣本量105 下的系統(tǒng)可靠度分布比例Fig.6 Distribution Ratio of the System Reliability with N=105

本文使用MC 和SMC 計(jì)算全局靈敏度指標(biāo)，得到各個(gè)傳爆環(huán)節(jié)可靠度的全局靈敏度指標(biāo)如圖7 所示。

圖7 各個(gè)傳爆環(huán)節(jié)可靠度對(duì)應(yīng)的全局靈敏度Fig.7 Sobol’s Global Sensitivity Index of Each Intermediate Link

由圖7 可知，SMC 得到的結(jié)果精度可信，且R7的重要性最高，其次為R4～R6，再次為R1～R3。若想提高系統(tǒng)可靠度，應(yīng)重點(diǎn)提高傳爆單元D7的可靠度R7。

b）R1～R6隨機(jī)取自集合{0.99,0.999,0.9999,0.99999,0.999999}，R7固定在集合中任一值。

使用MC 和SMC 分別計(jì)算全局靈敏度指標(biāo)，結(jié)果如圖8 所示。

圖8 R7 固定時(shí)各個(gè)傳爆環(huán)節(jié)可靠度對(duì)應(yīng)的全局靈敏度Fig.8 Sobol’s Global Sensitivity Index of Each Intermediate Link with Fixed R7

由圖8 可以看出，SMC 方法所得結(jié)果的精度可信，且各環(huán)節(jié)可靠度的重要性排序?yàn)镽4～R6>R1～R3。

當(dāng)固定 R7為集合{0.99,0.999,0.9999,0.99999,0.999999}中任一值時(shí)，通過(guò)MC 方法可以統(tǒng)計(jì)得到規(guī)律如下：

a）當(dāng)R7取0.99 時(shí)，由于圖7 中顯示R7的重要性遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于R1～R6，因此無(wú)論如何調(diào)節(jié)R1～R6，RS均不能達(dá)到0.99。

b）進(jìn)一步提高最重要環(huán)節(jié)可靠度，即R7取0.999時(shí)，由表2 可以看出RS可在一定條件下可以達(dá)到0.99。若R1～R6均為0.99，那么RS為0.9。由于圖7 中顯示R4～R6的重要度高于R1～R3，那么優(yōu)先提高R4～R6，可以得到表2 中的結(jié)果。

表2 R7 取0.999 時(shí)對(duì)應(yīng)的一系列RS 結(jié)果Tab.2 Results of RS with R7=0.999

依據(jù)表2 可以看出：

1）在第一行R1～R6均為0.99 的基礎(chǔ)上，改變輸入環(huán)節(jié)可靠性滿足如下任一條件，均可以將 RS提高到0.99。R4～R6中至少有2 個(gè)滿足0.999；R1～R3和R4～R6中各有一個(gè)滿足0.999； R1～R3均為0.999。

2）不論如何調(diào)節(jié)R1～R6，RS均不能達(dá)到0.999。

由以上分析可以得出，在 R7一定的條件下，在R1～R3保持不變的條件下將R4～R6其中兩個(gè)由0.99 提高到0.999，即可以將RS由0.9 提高到0.99；而在R4～R6保持不變的條件下需要將R1～R3均提高到0.999，才可以將RS由0.99 提高到0.999。此結(jié)果與圖8 中R4～R6重要性大于R1～R3的分析一致。

c）當(dāng)R7取0.9999 時(shí)，若R1～R6均為0.99，那么RS為0.9。由于R4～R6的重要度高于R1～R3，優(yōu)先提高R4～R6的可靠性，可以得到表3 中的結(jié)果。

表3 R7 取0.9999 時(shí)對(duì)應(yīng)的一系列RS 結(jié)果Tab.3 Results of RS with R7=0.9999

由表3 可以看出：在第1 行R1～R6均為0.99 的基礎(chǔ)上，提高任一輸入環(huán)節(jié)可靠性，均可以將RS提高到0.99；至少要滿足如下條件，才可以使RS達(dá)到0.999。R4～R6均為0.999，R1～R3中至少有2 個(gè)達(dá)到0.999。不論如何調(diào)節(jié)R1～R6，RS均不能達(dá)到0.9999。

由以上分析可以得出，在R7為0.9999 時(shí)，將R1～R6任一個(gè)提高到0.999，均可實(shí)現(xiàn)將RS由0.9 提高到0.99，這與表2 中3～4 行結(jié)果（R7為0.999 時(shí)需提高R1～R6中的兩個(gè)才可實(shí)現(xiàn)將RS由0.9 提高到0.99）形成對(duì)比，再次證明了R7的重要性最高。而表3 中第4 行也再次證明了R4～R6重要性大于R1～R3。

d）當(dāng)R7取0.99999 時(shí)，若R1～R6均為0.99，那么RS為0.9。由于R4～R6的重要度高于R1～R3，優(yōu)先提高R4～R6的可靠性，可以得到表4 中的結(jié)果。出：

表4 R7 取0.99999 時(shí)對(duì)應(yīng)的一系列RS 結(jié)果Tab.4 Results of RS with R7=0.99999

依據(jù)表4 可以看出：

1）在第1 行R1～R6均為0.99 的基礎(chǔ)上，提高任一輸入環(huán)節(jié)可靠性，均可以將RS提高到0.99；2）至少要滿足如下任一條件，才可以使RS達(dá)到0.999。

（a）R4～R6均為0.999，R1～R3中至少有一個(gè)達(dá)到0.999；（b）R1～R3均為0.999，R4～R6中至少有兩個(gè)達(dá)到0.999。

3）若R1～R6均為0.999，那么RS依然為0.999。在此基礎(chǔ)上，至少要滿足如下任一條件，才可以使RS達(dá)到0.9999。

（a）R1～R6中至少有2 個(gè)達(dá)到為0.9999；（b）R1～R3和R4～R6中各有一個(gè)滿足0.9999；（c）R1～R3均為0.9999。

4）無(wú)論如何調(diào)節(jié)R1～R6，RS均不能達(dá)到0.99999。

由以上分析可以得出，表4 中2～3 行與表3 中2～3行結(jié)果一致；表4 中4～6 行與表3 中4 行形成對(duì)比，在將R7由0.9999 提高到0.99999 時(shí)，有多種方案可使得RS由0.99 提高到0.999，再次證明了R7的重要性最高；而表4 中7～9 行的結(jié)果，再次證明了R4～R6重要性大于R1～R3。

e）當(dāng)R7取0.999999 時(shí)，若R1～R6均為0.99，那么RS為0.9。由于R4～R6的重要度高于R1～R3，優(yōu)先提高R4～R6的可靠性，可以得到表5 中的結(jié)果。依據(jù)表5 可以看

1）在第一行R1～R6均為0.99 的基礎(chǔ)上，提高任一輸入環(huán)節(jié)可靠性，均可以將RS提高到0.99；

2）至少要滿足如下任一條件，才可以使RS達(dá)到0.999。

（a）R4～R6均為0.999，R1～R3中至少有一個(gè)達(dá)到0.999；

（b）R1～R3均為0.999，R4～R6中至少有2 個(gè)達(dá)到0.999。

3）若R1～R6均為0.999，那么RS依然為0.999。在此基礎(chǔ)上，R1～R6中任一個(gè)滿足0.9999，那么RS就可以達(dá)到0.9999。

4）至少要滿足如下條件，RS可達(dá)到0.9999。R4～R6均為0.9999，R1～R3中任意2 個(gè)達(dá)到0.9999。

由以上分析可以得出，表5 中2～3 行與表3 中2～3行結(jié)果一致；表5 中4～6 行與表4 中4 行結(jié)果一致；表5 中7～8 行與表4 中7～9 行形成對(duì)比，在將R7由0.99999 提高到0.999999 時(shí)，將R1～R6任一個(gè)提高到0.9999，即可使得RS由0.999 提高到0.9999；而達(dá)到表5 中第9 行條件時(shí)，即可使得 RS由0.9999 提高到0.99999。

表5 R7 取0.999999 時(shí)對(duì)應(yīng)的一系列RS 結(jié)果Tab.5 Results of RS with R7=0.999999

4 結(jié) 論

本文根據(jù)非電傳爆系統(tǒng)的傳爆特點(diǎn)，利用當(dāng)前應(yīng)用廣泛的全概率分析方法對(duì)非電傳爆系統(tǒng)的可靠性進(jìn)行合理評(píng)估，將Sobol 全局靈敏度指標(biāo)推廣到非電傳爆系統(tǒng)，并應(yīng)用MC 和SMC 分別進(jìn)行求解，得到各傳爆環(huán)節(jié)可靠度對(duì)系統(tǒng)可靠度指標(biāo)的重要性排序。根據(jù)所得重要性排序，在非電傳爆系統(tǒng)可靠度評(píng)估中可以首先調(diào)整最重要環(huán)節(jié)的可靠度，然后依次調(diào)節(jié)次重要環(huán)節(jié)的可靠度，最終實(shí)現(xiàn)有目的地、最小成本地提高非電傳爆系統(tǒng)的可靠度，滿足火工品的驗(yàn)收要求。