聯想類比在近世代數定理證明中的運用

尹正

[摘 要] 聯想與類比既是一種普遍的科學思維方式，也是一種有效的教學手段，它是運用已經掌握的知識、方法及解決問題思路等來探索與之類似的問題。該文通過類比Lagrange定理和Sylow第三定理（計數定理）的證明思路，歸納總結其相同的思想方法并加以推廣，從而打開學生的解題思路、激發學生的創新思維，提高學生學習近世代數的興趣.

[關鍵詞] 近世代數;類比思維;Lagrange定理;Sylow定理

[作者簡介] 尹 正（1964—），男（白族），云南昆明人，碩士，云南師范大學數學學院講師，主要從事代數學教學與研究。

[中圖分類號] O153-4;G65? ? [文獻標識碼] A? ? [文章編號] 1674-9324（2020）38-0262-02? ? [收稿日期] 2020-02-14

一、前言

近世代數是把研究對象通過集合、運算等方式，組織抽象為一些代數系統.例如：群、環、域等，然后再進一步研究每種代數系統的結構、分類、性質、規律，用以指導和解決生產和實踐中的諸多問題.因此，學生在學習近世代數時，感受最深的就是概論多，內容抽象，難以理解和掌握其中的精髓.而且近世代數的課后習題多以證明方式出現，許多學生在遇到證明題時，感覺束手無策.解決問題的過程實質上就是一個思維的過程，如何教會學生科學的思維方式是每一位任課教師不得不面對的話題.

“數學的思維方法是一種科學的思維方式，通過觀察客觀現象，提出要研究的問題，抓住主要特征，抽象出概念，或者建立模型;運用自覺、歸納、類比、聯想、邏輯推理等進行探索，猜測可能有的規律”[1]。因此，要加強學生解題思路訓練，提高其解決問題的技巧和能力，就要求專業教師在教授本課程的知識系統時，需要注重數學的思維方式，尤其在講授定理證明時，通過類比、聯想等環節進行探索.即在研究或者解決問題時，通過類比、聯想與其相似并已經掌握的知識、方法，用推理、論證等的相似性，去探究解決問題的方法.

實踐證明，在近世代數定理證明的教學中，多采用類比、聯想思維方式，對證明思路進行剖析，發現證明思路的共同特點，就可以充分開拓學生的思路.聯系已有的知識，將要證明的結論與已經解決了的熟悉的證明方法進行類比，從而創造性地解決問題.

二、通過聯想、類比進行歸納和總結，剖析證明思路

定理無疑是有限群的基礎結論，也是最重要的結論之一，其證明思路和方法非常值得我們學習和借鑒.

（一）Lagrange定理的證明思路

Lagrange定理[2] 設G是有限群，H是G的子群，則|G|=|H|·（G：H）.

即Lagrange定理的結論.

從上面的證明思路可以看出其核心思想是：由元素之間的等價關系得到有限集合的一個分類，又由該分類得到有限集合的一個計數關系，再優化計數關系得到有限群的階與其任意子群的階之間的一個重要關系.而著名的Sylow第三定理[2]與Lagrange定理有相似之處，我們可以用類比思維的方式，用已經熟悉、掌握的Lagrange定理的證明思路來探究.

（二）Sylow第三定理（計數定理）的證明思路

p|（G：H）-（N（H）：H）.又因為，（G：H）=（G：N（H）·（N（H）：H）=k（N（H）：H），于是有：

素數p整除k（N（H）：H）-（N（H）：H）=（N（H）：H）（k-1）.又因為H是G的Sylow p-子群，

所以，p+（G：H），于是，p+（N（H）：H），故有：p|k-1，即，k≡1（mod p）.

近世代數不僅課程的內容抽象，性質、定理的證明也非常抽象，難以理解.但是，通過類比、聯想已學過的相關相似命題證明的思路，揭示出證明過程的本質，不僅有利于學生接受，也有利于培養學生從現象到本質、從特殊到一般、從具體到抽象的認識事物的能力，誘導它們由命題的相似性，去猜想推理論證的相似性，從而發展其解決問題的能力.

三、將類比結論進行推廣，培養學生的創新能力

通過類比上述定理的證明思路，我們聯想到：如果抽象群G在集合M上有一個群作用

a？紫x∈M，a∈G，x∈M，這里的x是集合M中任意一個元素，記在該群作用下元素x的軌道（即x所在的軌道）為：Mx={a？紫x|a∈G}，那么，我們在集合M上規定一個二元關系：

這個等式稱為群的類方程，是有限群研究中重要的結論之一.

四、結束語

實踐表明，在近世代數課堂教學中，不僅可采用類比、聯想思維方式來講授概念、性質等，對講授定理的證明思路和證明過程也可采用類比、聯想思維方式，這樣既可以有效地培養學生的數學思維和培養學生發現問題和分析解決問題的能力，也可以打開學生的解題思路，激發出學生的創新思維，提高學生學習近世代數的興趣，起到事半功倍的神奇效果.正如康德所說：“每當理智缺乏可靠的思路時，類比這個方法往往能指引我們前進。”

參考文獻

[1]丘維聲.數學的思維方式與創新[M].北京：北京大學出版社，2011.

[2]楊子胥.近世代數[M].北京：高等教育出版社，2000.

[3]徐明曜.有限群引導（上）[M].北京：科學出版社，1999，9-10.

[4]丘維聲.抽象代數基礎[M].北京：高等教育出版社，2008.

The Application of Association and Analogy in Proving Modern Algebra Theorems

YIN Zheng

（Yunnan Normal University，Kunming，Yunnan 650092，China）

Abstract：Association and analogy is a common way of scientific thinking.It is also a kind of effective teaching method.It uses acquired knowledge，methods and problem solving thinking to explore a similar problem.Through the analogy of the proofing ideas of the Lagrange theorem and the Third Sylow theorem （counting theorem） ，this paper summarizes the same thinking methods and promote them.This opens students' problem solving ideas，stimulates students' innovative thinking and improves the students' interest in learning modern algebra.

Key words：modern algebra;thinking by analogy;Lagrange theorem;Sylow theorem