基于排隊(duì)論M/M/C模型的門診醫(yī)技排程與醫(yī)療設(shè)備配置的統(tǒng)籌優(yōu)化研究

劉偉軍，鄒澤，邱賓，王鳳，張恩科

陜西省人民醫(yī)院 a. 醫(yī)學(xué)裝備部；b. 核磁室；c. 信息處；d. 耗材試劑部，陜西 西安 710068

引言

隨著國家醫(yī)療改革的不斷深入以及進(jìn)一步改善醫(yī)療服務(wù)行動(dòng)計(jì)劃[1]的不斷落實(shí)，醫(yī)療機(jī)構(gòu)也不斷通過創(chuàng)新管理手段、加強(qiáng)精細(xì)化管理和提高內(nèi)涵建設(shè)等舉措，促進(jìn)醫(yī)療服務(wù)水平不斷提高[2]以及患者就醫(yī)體驗(yàn)不斷改善。門診醫(yī)技診療檢查作為醫(yī)療工作中的一個(gè)重要組成部分，其合理的醫(yī)技排程和科學(xué)的設(shè)備配置已是醫(yī)療機(jī)構(gòu)管理的重要內(nèi)容之一[3]，兩者科學(xué)精準(zhǔn)的統(tǒng)籌優(yōu)化研究對(duì)門診醫(yī)技診療服務(wù)管理和醫(yī)療設(shè)備配置管理具有非常重要的作用和意義[4]。本文以我院MR 診療服務(wù)為例，研究醫(yī)技排程與設(shè)備配置的統(tǒng)籌優(yōu)化方案。

1 數(shù)據(jù)來源與研究方法

1.1 數(shù)據(jù)來源

數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)資料為我院MR 在2019 年1 月至2019 年12 月期間患者診療檢查項(xiàng)目的例數(shù)（并非診療檢查人次的次數(shù)），均統(tǒng)計(jì)于我院HIS。

1.2 研究方法

基于數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)資料，應(yīng)用排隊(duì)論M/M/C 模型對(duì)MR 服務(wù)系統(tǒng)進(jìn)行分析，借助軟件工具計(jì)算相應(yīng)的參數(shù)數(shù)值，以此建立MR 醫(yī)技排程與設(shè)備配置的量化關(guān)系[5]，統(tǒng)籌研究兩者的優(yōu)化方案。

1.2.1 排隊(duì)論M/M/C模型

排隊(duì)論是解決排隊(duì)控制問題的數(shù)學(xué)理論和方法，對(duì)一個(gè)客觀復(fù)雜的排隊(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行科學(xué)準(zhǔn)確的分析，屬于運(yùn)籌學(xué)的一部分[6]。

排隊(duì)系統(tǒng)由三個(gè)基本部分組成，包括：輸入過程、排隊(duì)規(guī)則和服務(wù)單元[7]，見圖1。我院MR 檢查項(xiàng)目排隊(duì)模型的選擇依據(jù)三個(gè)基本部分的屬性而決定：① 輸入過程：由于患者的到來是無限性的、隨機(jī)性的并且獨(dú)立性的，因此檢查項(xiàng)目的輸入屬于最簡流（Poisson 流），服從負(fù)指數(shù)分布；② 排隊(duì)規(guī)則：患者檢查項(xiàng)目的排隊(duì)規(guī)則屬于等待制，服務(wù)順序?yàn)橄鹊较确?wù)；③ 服務(wù)單元：服務(wù)單元即MR，其設(shè)備數(shù)量C≥1 臺(tái)。由于核磁檢查項(xiàng)目固定，其服務(wù)時(shí)間相對(duì)穩(wěn)定，故服務(wù)時(shí)間分布近似服從負(fù)指數(shù)分布。由以上三個(gè)基本部分的屬性決定了模型選擇為：M/M/C 模型[8-10]。

圖1 MR服務(wù)排隊(duì)系統(tǒng)模型圖

1.2.2 數(shù)據(jù)處理

M/M/C 模型的參數(shù)數(shù)量較多且計(jì)算也較為復(fù)雜，一般有兩種簡便的計(jì)算方法：其一，運(yùn)用MATLAB（矩陣實(shí)驗(yàn)室）進(jìn)行編程仿真計(jì)算[11]；其二，運(yùn)用Microsoft Office Excel（個(gè)人計(jì)算機(jī)數(shù)據(jù)處理軟件）加載Queuing Toolpak（流程管理軟件工具包）進(jìn)行數(shù)據(jù)分析計(jì)算[12]。

Queuing Toolpak 由一個(gè)函數(shù)庫組成，可以作為Excel的插件執(zhí)行排隊(duì)模型的分析計(jì)算，并且將排隊(duì)性能度量集成到電子表格中[13]。相較于MATLAB 編程仿真計(jì)算，其計(jì)算過程更為簡化，結(jié)果更為直觀。本文借助Microsoft Office Excel（版本：Professional 2007）加載Queuing Toolpak（版本：4.0）作為排隊(duì)模型參數(shù)的計(jì)算工具。

2 模型應(yīng)用

2.1 模型構(gòu)建

M/M/C 模型由12 個(gè)參數(shù)構(gòu)成，其中C、λ和μ為模型的基本參數(shù)[14-16]，相關(guān)參數(shù)表達(dá)和含義如表1 所示。模型的數(shù)學(xué)算法如式(1)～(2)：

表1 M/M/C 模型參數(shù)的表達(dá)和含義

2.2 模型計(jì)算

（1）λ的計(jì)算。定義醫(yī)技排程載量定義為一年服務(wù)天數(shù)與一天服務(wù)時(shí)間的乘積，即P=D · T。λ是排隊(duì)系統(tǒng)服務(wù)規(guī)則的體現(xiàn)，與醫(yī)技排程載量有直接關(guān)系[17]，即：其中，Z表示系統(tǒng)服務(wù)載量，即年檢查項(xiàng)目數(shù)量，單位為個(gè)；P表示排程載量，是服務(wù)規(guī)則的數(shù)學(xué)語言描述，單位為h；D表示一年服務(wù)天數(shù)，單位為天；T表示一天服務(wù)時(shí)間，單位為h。

（2）μ的計(jì)算。μ是排隊(duì)系統(tǒng)服務(wù)能力的體現(xiàn)，與設(shè)備配置的數(shù)量有直接關(guān)系[18]。我院有4 臺(tái)MR，每臺(tái)MR 品牌和規(guī)格不同以致掃描性能存在差異，并且不同掃描項(xiàng)目用時(shí)不一，為了能精確計(jì)算該MR 服務(wù)系統(tǒng)的平均服務(wù)率，在已知每個(gè)項(xiàng)目的平均用時(shí)的條件下，借助HIS 統(tǒng)計(jì)了2019 年MR 全年的檢查項(xiàng)目及其年檢查數(shù)量，見表2，可以精確計(jì)算單個(gè)檢查項(xiàng)目的平均用時(shí)，可得μ=1/0.18=5.47 個(gè)/h。

（3）計(jì)算結(jié)果。我院目前共有4 臺(tái)MR，應(yīng)對(duì)服務(wù)載量為115293 個(gè)項(xiàng)目檢查，不得不超負(fù)荷運(yùn)作，為此MR 全年無休最大限度的服務(wù)，除去故障停機(jī)和運(yùn)維保養(yǎng)所用天數(shù)，每臺(tái)MR 平均每年服務(wù)357 天，并且每天服務(wù)時(shí)間超過8 h，即D≤357 天，T≥8 h。運(yùn)行Queuing Toolpak，將C、λ和μ三個(gè)基本參數(shù)數(shù)值導(dǎo)入，可得ρ、Lq、Ls、Wq、Ws和P各參數(shù)數(shù)值，其中P=D · T，D取最大數(shù)值357 天，T取對(duì)應(yīng)范圍內(nèi)最小整數(shù)的數(shù)值（8≤T≤15 h），計(jì)算結(jié)果如表3所示。

表2 2019 年MR 檢查項(xiàng)目的年檢查數(shù)量及其用時(shí)情況

表3 MR 排隊(duì)系統(tǒng)不同排程載量和設(shè)備配置下的各參數(shù)數(shù)值

2.3 結(jié)果分析

（1）相同排程載量下設(shè)備配置與各排隊(duì)參數(shù)的關(guān)系。從表4 將排程載量相同而配置數(shù)量不同的參數(shù)數(shù)值摘錄出來，可明顯看出配置數(shù)量的多少直接影響排隊(duì)參數(shù)的高低，設(shè)備數(shù)量C越大，則ρ的數(shù)值越小，說明了排隊(duì)系統(tǒng)的整體服務(wù)強(qiáng)度越高；當(dāng)設(shè)備數(shù)量C達(dá)到一定數(shù)量時(shí)，則會(huì)出現(xiàn)Lq≤C，可以理解為檢查項(xiàng)目數(shù)量少于排隊(duì)需求，該系統(tǒng)不需要排隊(duì)，符合該條件參數(shù)的排隊(duì)系統(tǒng)是理想型[19]。

（3）我院目前MR 服務(wù)排隊(duì)系統(tǒng)運(yùn)作情況。我院MR設(shè)備數(shù)量C=4 臺(tái)時(shí)，在一年服務(wù)天數(shù)D=357 天，并且一天服務(wù)時(shí)間T=15 時(shí)的條件成立下，排隊(duì)系統(tǒng)的服務(wù)強(qiáng)度ρ＜100%，即該系統(tǒng)可以完成服務(wù)載量為115293 個(gè)項(xiàng)目檢查，其中平均排隊(duì)檢查項(xiàng)目的數(shù)量Lq為45.79 個(gè)，系統(tǒng)中平均逗留的檢查項(xiàng)目的數(shù)量Ls為49.73 個(gè)，檢查項(xiàng)目從到達(dá)到接受服務(wù)的平均等待時(shí)間Wq為2.13 h，檢查項(xiàng)目從到達(dá)到完成服務(wù)的平均時(shí)間Ws為2.31 h。

總體來說，每個(gè)項(xiàng)目檢查等待時(shí)間可以接受，但排程載量較滿，醫(yī)護(hù)工作時(shí)間超出額定時(shí)間近一倍，五分之一的檢查項(xiàng)目要在晚上八點(diǎn)至十一點(diǎn)完成（早上八點(diǎn)準(zhǔn)時(shí)開始檢查服務(wù)），包括國家法定節(jié)假日和公休日，該時(shí)間段患者就醫(yī)體驗(yàn)不佳，醫(yī)護(hù)工作強(qiáng)度較大。

（4）理想狀態(tài)下我院門診醫(yī)技排程與醫(yī)療設(shè)備配置優(yōu)化方案。理想狀態(tài)是指一年服務(wù)天數(shù)為251 d，一天工作時(shí)間為8 h，排隊(duì)系統(tǒng)無需排隊(duì)，即Lq＜C[20]。通過模型計(jì)算可得設(shè)備數(shù)量C為12 臺(tái)，服務(wù)強(qiáng)度ρ為0.87%，平均排隊(duì)檢查項(xiàng)目的數(shù)量Lq為3.45 個(gè)。

達(dá)到理想狀態(tài)下的檢查排隊(duì)系統(tǒng)，需要添置8 臺(tái)MR。出于場地和資金的考慮，該理想型方案實(shí)現(xiàn)確實(shí)困難。

（5）條件限制下我院門診醫(yī)技排程與醫(yī)療設(shè)備配置優(yōu)化方案。評(píng)估了我院場地和資金情況，可增加2 臺(tái)MR，即C=6 臺(tái)。為了提升醫(yī)技診療服務(wù)水平，確保患者就醫(yī)的最佳體驗(yàn)，即Lq≤C=6 個(gè)。通過模型計(jì)算可得排程載量P=D·T=3 965.86 h，該等式可看作是兩個(gè)變量的反比例函數(shù)。通過綜合考慮，設(shè)定D=331 天，則T=11.98≈12 h。與增配優(yōu)化前相比，見表4，增配優(yōu)化后的一年服務(wù)天數(shù)降低26 天，即每周每臺(tái)MR 停機(jī)休息可多出了0.5 天，一天服務(wù)時(shí)間降低了3 h，晚上八點(diǎn)就可停機(jī)休息，檢查項(xiàng)目從到達(dá)到接受服務(wù)的平均等待時(shí)間縮減了1.93 h，由此患者就醫(yī)體驗(yàn)和醫(yī)護(hù)工作強(qiáng)度都得到了明顯的改善。

表4 條件限制下增配優(yōu)化前后的排隊(duì)系統(tǒng)參數(shù)數(shù)值

3 討論

本文依據(jù)排隊(duì)系統(tǒng)各參數(shù)的相關(guān)性,構(gòu)建M/M/C 模型統(tǒng)籌優(yōu)化門診醫(yī)技排程與醫(yī)療設(shè)備配置。相較傳統(tǒng)的經(jīng)驗(yàn)法和簡單的數(shù)學(xué)算法，該方法不僅能夠充分體現(xiàn)各參數(shù)數(shù)值的變化信息，而且能夠便捷的將數(shù)個(gè)因素做為變量納入模型轉(zhuǎn)換成簡單函數(shù)進(jìn)行分析[21]。該方法的運(yùn)用將醫(yī)技排程與設(shè)備配置優(yōu)化方案變得函數(shù)化和數(shù)量化，其方案更為精準(zhǔn)和直觀，有助于醫(yī)療機(jī)構(gòu)統(tǒng)籌醫(yī)技排程管理、優(yōu)化裝備配置決策，進(jìn)而提升醫(yī)療診療服務(wù)。該方法的應(yīng)用還需注意以下兩點(diǎn)：其一，一定要準(zhǔn)確計(jì)算平均到達(dá)率λ和平均服務(wù)率μ，其結(jié)果直接影響該系統(tǒng)的精確度；其二，本文是在應(yīng)對(duì)服務(wù)載量（即年項(xiàng)目檢查數(shù)量）不變以及服務(wù)規(guī)則為等待制的基礎(chǔ)上進(jìn)行的研究，如果將應(yīng)對(duì)服務(wù)載量的趨勢變動(dòng)和極小部分的患者流失這兩個(gè)因素納入考慮，服務(wù)流程更加符合實(shí)際、計(jì)算方法將更加完善、方案結(jié)果將更加科學(xué)。