多股簧非典型損傷建模研究

丁傳俊，尹 強，高 焓，吳永國

(長安工業(yè)集團公司， 重慶 400023)

多股簧是由多股鋼絲擰成鋼索繞制而成的圓柱螺旋彈簧。和普通單股彈簧相比，多股簧抗沖擊性能好、吸振能力強、具有較大的剛度和非線性阻尼、壽命長，常被用作小口徑自動武器的緩沖復(fù)進簧。由于多股簧主要承受沖擊載荷，多次循環(huán)使用后其性能將會發(fā)生變化，因此開展多股簧性能變化特性研究對自動武器的科學(xué)使用和故障預(yù)測具有重要意義。

在多次循環(huán)載荷作用下，多股簧的性能退化和損傷會引起彈簧靜、動態(tài)力學(xué)性能的改變，從而影響相關(guān)機構(gòu)的動力學(xué)特性[1-2]。雷松[3]研究了多股簧的扭動微動磨損機制，認(rèn)為隨著扭動循環(huán)次數(shù)的增加，鋼絲間的接觸應(yīng)力和剪切應(yīng)力均會增大，其中剪切應(yīng)力增大的更為明顯，從而導(dǎo)致更大的簧絲磨損量；張明明[4]使用氣錘對多股簧進行了連續(xù)沖擊試驗，發(fā)現(xiàn)連續(xù)沖擊400次后多股簧加載后半段和卸載前半段的靜態(tài)剛度分別增大了18%和28.2%；田志峰[5]對某35 mm高炮的復(fù)進簧進行了多輪射擊考核試驗，試驗結(jié)束后發(fā)現(xiàn)該多股簧自由長度的平均縮短量為37.5 mm (-6%)，靜壓至某高度時彈簧回彈力的平均衰退量為55.75 N (-8%)。雖然以上研究取得了較好的成果，但當(dāng)前并沒有適用于多股簧性能變化的模型可用，迫切需要一種基于試驗數(shù)據(jù)的性能計算模型或評估方法。

本研究基于某小口徑自動炮撥彈板簧的靜、動態(tài)測試數(shù)據(jù)，對比和分析了該多股簧使用4 000次前后的靜、動態(tài)響應(yīng)特性，并嘗試性地定義多股簧的性能退化和非典型損傷；其次，通過提出多股簧非典型損傷量的分離辦法，在使用Slip-Lock損傷單元的同時，提出非典型歸一化遲滯模型的一般性構(gòu)造方法并發(fā)展了兩種損傷單元模型；通過使用參數(shù)辨識方法對損傷模型進行參數(shù)求解，本研究發(fā)現(xiàn)基于BWBN模型的Slip-Lock損傷單元模型和本研究構(gòu)造的10參數(shù)損傷單元模型精度較高，而簡化的5參數(shù)損傷單元模型參數(shù)較少，比較適合于工程上的應(yīng)用。

1 靜、動態(tài)試驗結(jié)果分析

靜態(tài)和動態(tài)試驗分別使用萬能拉壓試驗機和動態(tài)疲勞試驗機進行測試。兩根性質(zhì)相同的多股簧被安裝在上、下夾持件(板)之間(含有預(yù)壓量)，并穿過各自的導(dǎo)桿以防止在加載過程中發(fā)生彎曲；下夾持件(板)在試驗過程中保持固定，上夾持件(板)通過試驗機夾頭(橫梁)施加位移；多股簧的變形量為上夾頭(板)的位移，恢復(fù)力通過試驗機上的傳感器測得；為了降低加載過程中摩擦力的影響，導(dǎo)桿在測試前清洗并涂上輕質(zhì)潤滑油。受實驗條件限制，本研究中靜態(tài)和動態(tài)試驗的最大加載速度分別為：0.8 mm/s和214.9 mm/s。

圖1即為測試結(jié)果，其中的n為循環(huán)加載次數(shù)。從靜態(tài)測試結(jié)果(圖1(a))中可以看出，4 000次使用前后彈簧的靜態(tài)剛度差別不大，但彈簧在加載換向的部分區(qū)域里出現(xiàn)了損傷點，在損傷點之后，彈簧的靜態(tài)剛度沒有變化，但恢復(fù)力有一定的下降；動態(tài)響應(yīng)曲線顯示，多次發(fā)射后不僅多股簧剛度、響應(yīng)曲線包絡(luò)面積(耗能)發(fā)生了變化，而且損傷點更加明顯。表1對發(fā)生變化的動態(tài)響應(yīng)特性進行了對比：多股簧加載時的線性剛度有所增加，卸載時的線性剛度增大一倍以上；多股簧回彈力明顯下降、響應(yīng)曲線包絡(luò)面積增大；加載減速和卸載減速時的損傷點比較明顯，損傷點A、B兩處恢復(fù)力的下降量分別為15.8 N和10.1 N，經(jīng)過損傷點后響應(yīng)曲線出現(xiàn)了恢復(fù)力的損傷區(qū)域。

圖1 多股簧試驗曲線

表1 發(fā)射4 000次前后的多股簧動態(tài)響應(yīng)特性

基于以上試驗結(jié)果的分析，本研究擬定義多股簧的“性能退化”為多股簧回彈力下降、遲滯耗能增大；由于多股簧多次加載后的表現(xiàn)有別于建筑結(jié)構(gòu)的損傷表現(xiàn)，因此本研究擬定義多股簧的“非典型損傷”為多股簧振動換向前后出現(xiàn)的恢復(fù)力突變(即出現(xiàn)損傷點)。

許多實驗和分析表明[2-4]，多股簧性能退化的主要原因是隨著循環(huán)使用次數(shù)的增加，鋼絲之間的間隙區(qū)域減少，實際摩擦接觸區(qū)域增大，因此導(dǎo)致彈簧響應(yīng)曲線包絡(luò)面積增大、回彈力下降；同時由于持續(xù)的加工硬化和塑性變形，多股簧的自由長度和彈簧螺距均會減小，而彈簧的非線性漸硬特性隨射彈數(shù)增加而增強。

2 非線性響應(yīng)模型

2.1 歸一化Bouc-Wen遲滯模型

Bouc-Wen模型及其修正模型作為一種光滑的現(xiàn)象模型可以很好地反映多股簧的動態(tài)非線性特性。精簡參數(shù)后的歸一化Bouc-Wen遲滯模型[6]為：

(1)

式中：F(t)為彈簧的恢復(fù)力；x、t分別為位移和時間；kx、kω分別為屈服后剛度系數(shù)和遲滯部分初始剛度；ω為純遲滯部分，對于任意的x和t，都有|ω(t)|≤1；ρ、σ、n為控制純遲滯部分ω(t)曲線形狀的遲滯三參數(shù)。

2.2 修正的歸一化Bouc-Wen遲滯模型

為了獲得多股簧系統(tǒng)的非對稱響應(yīng)曲線，Zhao等[7]提出使用非線性剛度系數(shù)和非線性放大因子來代替歸一化模型中的線性屈服后剛度系數(shù)和遲滯部分初始剛度，兩者均用多項式表示：

(2)

式中：FE和FA分別是恢復(fù)力的非線性彈性部分和非線性放大部分；kEi和kAi分別是非線性剛度系數(shù)和非線性放大因子，N是多項式的階數(shù)，一般取2階或3階。

從而得到可以描述多股簧動態(tài)響應(yīng)的修正歸一化Bouc-Wen遲滯模型(簡稱BW模型)：

(3)

對于歸一化Bouc-Wen模型，由內(nèi)部損耗引起的純遲滯部分ω(t)是有界的，且穩(wěn)定在[-1,1]范圍內(nèi)，同時Zhao等[7]已經(jīng)證明當(dāng)輸入量x關(guān)于0對稱時，純遲滯部分在ω-x平面內(nèi)關(guān)于原點對稱。圖2(a)即為本文基于式(3)所預(yù)測的多股簧恢復(fù)力，圖2(b)為與其對應(yīng)的遲滯環(huán)。

3 損傷量的提取和損傷模型的構(gòu)造

3.1 損傷量的提取過程

研究發(fā)現(xiàn)，多股簧性能退化后，其非線性彈性系數(shù)和非線性放大因子均會有較大改變，而純遲滯部分參數(shù)變化較小，因此在最初的計算中，可以用無損傷多股簧的遲滯三參數(shù)來研究多股簧的損傷，當(dāng)初步獲得損傷單元的基本參數(shù)后可以使用迭代算法再進行參數(shù)的總體優(yōu)化。損傷模型參數(shù)識別之前需要分離出損傷量，具體過程可以分為兩步：第一，基于試驗結(jié)果和識別算法，應(yīng)用無損傷多股簧BW模型計算純遲滯部分ω0(t)，其結(jié)果如圖2(b)所示；第二，基于損傷彈簧的試驗數(shù)據(jù)分離出受損的純遲滯部分ω(t)，然后和無損傷的遲滯量相減得到損傷單元Δω(t)。

圖2 多股簧的響應(yīng)曲線和預(yù)測的歸一化遲滯環(huán)

產(chǎn)生無損傷的遲滯環(huán)比較簡單，這里將著重敘述提取損傷單元的第二步。由第二節(jié)所述的BW模型特性可知，當(dāng)多股簧變形量足夠大時，遲滯環(huán)中遠(yuǎn)離兩端的部分將為±1，即為“有界區(qū)”，因此“有界區(qū)”內(nèi)遠(yuǎn)離損傷點的純遲滯部分可以寫為：

(4)

“有界區(qū)”內(nèi)遠(yuǎn)離損傷點的恢復(fù)力為：

(5)

由于實際測量數(shù)據(jù)為一組離散的測量值，因此將式(5)寫成離散形式：

(6)

式中，下標(biāo)k為一組測量數(shù)據(jù)中的第k個數(shù)據(jù)點。

遠(yuǎn)離損傷點且處于有界區(qū)域內(nèi)的Fu和Fl如圖3所示。

則遠(yuǎn)離損傷點的非線性彈性系數(shù)kE、非線性放大因子kA可以通過構(gòu)建以下線性最小二乘優(yōu)化問題求解：

(7)

圖3 多股簧響應(yīng)曲線

最終，基于受損多股簧的測試數(shù)據(jù)將純遲滯部分提取為：

(8)

為了方便編程求解，將式(8)改寫為離散形式：

(9)

圖4即為上述過程提取出來的純遲滯部分和損傷單元。從其中可以看出，和無損純遲環(huán)相比，受損后的遲滯環(huán)也存在著兩個明顯的損傷點，這和多股簧恢復(fù)力曲線的表現(xiàn)是一致的。

圖4 損傷前后遲滯量曲線

將無損傷的遲滯量和受損的遲滯量相減得到損傷單元：

Δω(t)=ω0(t)-ω(t)

(10)

如圖4所示，損傷單元在一定區(qū)域內(nèi)其值基本為0，而在加載和卸載的兩端其取值范圍是(-1,1)；在多股簧加載減速和卸載減速時，損傷量存在突變。基于以上分析，本文總結(jié)損傷單元的兩個特性：第一，當(dāng)輸入量x關(guān)于0對稱時，基于歸一化BW模型的損傷單元是關(guān)于原點對稱的；第二，損傷單元Δω(t)的取值范圍是(-1,1)，且損傷量的變化與多股簧加載位移、速度有關(guān)。

3.2 Slip-Lock損傷單元

當(dāng)建筑物受制于循環(huán)加載的非彈性變形時，結(jié)構(gòu)的剛度和強度將會發(fā)生退化。Baber和Noori基于BW模型提出了BWBN模型[8]，作為一種廣義遲滯模型，BWBN模型增加了滑移-鎖定單元(Slip-Lock element)用來模擬捏攏效應(yīng)，其中捏攏滯回系統(tǒng)的遲滯量可以分解為兩部分，一部分由光滑變形部分x1(t)控制，另一部分通過Slip-Lock單元的變形x2(t) 控制。

描述捏攏效應(yīng)遲滯部分的微分模型為：

(11)

式中：A、β、γ、n分別為控制遲滯形狀的基本參數(shù)；s、σ分別用來控制損傷滑移區(qū)間的長度和遲滯量的峰值。總體來說，Slip-Lock損傷單元的控制參數(shù)有6個，分別為：A、β、γ、n、s、σ，詳盡的控制參數(shù)意義和敏感性排序可以參考文獻(xiàn)[9]。

為了方便求解，可以將上面的耦合方程改寫：

(12)

3.3 光滑損傷單元模型及其簡化模型

常用的遲滯算子有雙曲正弦函數(shù)、雙曲正切函數(shù)和指數(shù)函數(shù)等，其表達(dá)式為：

(13)

式中：aj、bj、nj均為遲滯算子的系數(shù)。因此總體而言，對于任意非典型遲滯響應(yīng)的純遲滯部分,其微分模型可以表示為：

(14)

式中：cj和Nφ分別為所添加滯回算子的系數(shù)和個數(shù)。有必要說明的是，通過組合一定數(shù)量的滯回算子和確定相關(guān)的系數(shù)，這種方法所構(gòu)造的遲滯模型介于參數(shù)化模型和非參數(shù)化模型之間[13-14]，其原因在于這種方法所確定的模型參數(shù)沒有清晰的物理意義且參數(shù)數(shù)量取決于計算所要求的精度。例如，本研究在模擬多股簧損傷單元時組合了式(13)中的3個算子，一共10個參數(shù)(簡稱10P損傷單元模型)，其式如下：

(15)

根據(jù)文獻(xiàn)[13]中所述的關(guān)于欠參數(shù)模型和過參數(shù)模型評價標(biāo)準(zhǔn)，假如上述模型中的某個參數(shù)趨于零，則可以將該部分算子去掉并形成簡化模型。

4 損傷單元的參數(shù)識別過程與分析

4.1 參數(shù)識別過程

多股簧BW模型和損傷單元模型的參數(shù)識別問題可以歸結(jié)為非線性優(yōu)化問題，常見的求解方法有濾波算法、粒子云算法、差分演化算法、最小二乘法、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法等。反向差分演進算法(ODE)作為差分演進算法的改進算法，具有較強的尋優(yōu)能力和較高的求解效率，比較適合于當(dāng)前中等維度的多股簧參數(shù)識別問題。

當(dāng)多股簧系統(tǒng)采用三階剛度系數(shù)時，BW模型待求解參數(shù)向量p為：

p=[kE0,kE1,kE2,kE3,kA0,

kA1,kA2,kA3,ρ,σ,n]

(16)

(17)

損傷單元的參數(shù)求解過程和上面類似，使用Slip-Lock單元和10P損傷單元時的待求解參數(shù)向量分別為：

pSL=[A,B,γ,n,s,σ]

(18)

p10P=[A,B,γ,n,c1,n1,c2,a2,c3,a3]

(19)

設(shè)置種群大小為5倍的求解參數(shù)數(shù)量，交叉率Cr=0.5，最大允許迭代次數(shù)Gmax=5 000，迭代終止條件為成本函數(shù)的最大最小值之差小于1.0E-6，算法框架采用Rahnamayan等[14]所介紹的抗噪聲ODE框架，反向操作的跳轉(zhuǎn)率Jr=0.3。

4.2 參數(shù)辨識結(jié)果分析

迭代收斂之后，分別使用Slip-Lock單元和10P損傷單元參數(shù)來預(yù)測多股簧的損傷量和力/位移響應(yīng)，其結(jié)果如圖5和圖6所示。觀察二者的力/位移響應(yīng)曲線，可以看出，除了無法很好地捕捉恢復(fù)力突變外，以上兩個損傷單元模型均能很好地匹配試驗結(jié)果。雖然Slip-Lock模型參數(shù)生成的損傷單元可以捕捉到損傷量的突變，但在位移的加載和卸載換向處，Slip-Lock損傷單元曲線過渡不光滑、存在尖角(右下角)，而且所預(yù)測損傷量的中段直線部分稍稍有些傾斜，不為0，這和實際情況是不符的；構(gòu)造的10P損傷模型作為一個光滑的模型，能在各個區(qū)段內(nèi)很好地符合試驗結(jié)果，但10P損傷單元不對稱，這顯然是試驗數(shù)據(jù)本身的不對稱性造成的。

圖5 Slip-Lock單元的預(yù)測曲線

圖6 10P損傷模型的預(yù)測曲線

通過多次計算并查看10P損傷模型所辨識出來的多組參數(shù)，發(fā)現(xiàn)有些組參數(shù)中的部分參數(shù)差別較小、部分算子系數(shù)趨于0，這說明10P損傷單元是一個參數(shù)過定義模型。比如，當(dāng)A和γ的值相近時，n的值會趨于0；如果設(shè)定n1=2時，c3和a3的值將會趨于0。鑒于此，本研究基于10P損傷模型給出5P簡化損傷模型：

(21)

基于5P模型的參數(shù)辨識結(jié)果如圖7所示，可以看出簡化模型作為一個對稱模型，除了不能很好地捕捉損傷量的突變之外，在其他的各個區(qū)段都能很好地匹配試驗曲線，這一點也體現(xiàn)在所預(yù)測的力/位移曲線上。

圖7 5P簡化損傷模型的預(yù)測曲線

采用以上各種模型的參數(shù)辨識結(jié)果如表2所示。直接使用修正歸一化BW模型對受損多股簧的響應(yīng)曲線進行參數(shù)辨識并不能獲得理想的結(jié)果，這凸顯了構(gòu)造損傷單元模型的意義。

表2 4種模型的預(yù)測精度

5 結(jié)論

1) 多股簧在多次循環(huán)使用后，不僅其非線性剛度、響應(yīng)曲線包絡(luò)面積(耗能)發(fā)生變化，而且出現(xiàn)損傷點，損傷點前后多股簧恢復(fù)力存在突變。

2) 基于歸一化BW模型的多股簧損傷單元作為一種非典型遲滯響應(yīng)，其值在(-1,1)，可以通過本文提出的分離辦法將其分離，并構(gòu)造合適的遲滯模型求解。

3) 基于BWBN模型的Slip-Lock損傷單元和本文構(gòu)造的10P損傷模型都可以很好地預(yù)測多股簧非典型損傷后的響應(yīng)，而簡化的5參數(shù)損傷單元模型參數(shù)較少，比較適合工程應(yīng)用。