圓形薄膜太陽(yáng)翼展開動(dòng)力學(xué)分析與模態(tài)分析

榮吉利，宋逸博,2，劉志超，辛鵬飛

(1. 北京理工大學(xué)宇航學(xué)院，北京 100081；2.中國(guó)運(yùn)載火箭技術(shù)研究院, 北京 100076; 3. 空間物理重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100076；4. 北京空間飛行器總體設(shè)計(jì)部，北京 100094)

0 引 言

隨著航天器能源的供給要求以及航天器小型輕量化要求的提高，應(yīng)用于太空的空間可展開機(jī)構(gòu)得到了迅速發(fā)展[1-2]，出現(xiàn)了以日本IKAROS[3]為代表的薄膜太陽(yáng)帆[4]，大型可展開桁架索網(wǎng)天線[5]以及可展開薄膜天線[6]等。2006年，美國(guó)ABLE(現(xiàn)為ATK)公司研發(fā)出一種圓形的柔性毯式太陽(yáng)電池陣UltraFlex[7-9]如圖1所示，其具有結(jié)構(gòu)緊湊、質(zhì)量輕、功率質(zhì)量比高、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量低、展開剛度高和擴(kuò)展性好等特點(diǎn)，有非常廣泛的應(yīng)用前景。然而由于其展開面積大，且地面試驗(yàn)難以模擬太空環(huán)境，因此必須使用數(shù)值分析的方法對(duì)其進(jìn)行仿真計(jì)算，并指導(dǎo)設(shè)計(jì)工作。2013年，NASA針對(duì)超柔性UltraFlex-175太陽(yáng)翼[8-9]用有限元軟件ANSYS進(jìn)行模態(tài)分析，充分考慮到重力懸吊系統(tǒng)及空氣作用的影響，得到了超柔性太陽(yáng)翼的前三階全局模態(tài)，并進(jìn)行了地面模態(tài)試驗(yàn)進(jìn)行驗(yàn)證。但NASA的數(shù)值仿真缺少對(duì)展開過(guò)程的動(dòng)力學(xué)分析。文獻(xiàn)[10-12]基于連續(xù)介質(zhì)力學(xué)和有限元方法提出的絕對(duì)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)法(ANCF)是柔性多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)發(fā)展的一個(gè)里程碑，與傳統(tǒng)柔性多體系統(tǒng)建模方法相比，該方法在慣性坐標(biāo)系下采用統(tǒng)一的插值函數(shù)描述柔體的剛體運(yùn)動(dòng)與彈性變形，非常適用于描述同時(shí)具有大轉(zhuǎn)動(dòng)和大變形的柔體動(dòng)力學(xué)。劉鋮[13]利用絕對(duì)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)法對(duì)薄膜結(jié)構(gòu)進(jìn)行建模，研究了薄膜的褶皺、屈曲等動(dòng)力學(xué)特性，仿真結(jié)果與其他理論研究方法結(jié)果吻合得很好，并具有常數(shù)質(zhì)量矩陣、無(wú)科氏力和離心力等優(yōu)點(diǎn)。朱挺[14]利用絕對(duì)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)法對(duì)薄膜結(jié)構(gòu)將經(jīng)歷大范圍剛體轉(zhuǎn)動(dòng)與大彈性變形的剛?cè)狁詈线\(yùn)動(dòng)進(jìn)行數(shù)值分析，對(duì)展開過(guò)程涉及薄膜間復(fù)雜的接觸/碰撞問(wèn)題進(jìn)行了分析，著重考慮了展開過(guò)程的接觸碰撞問(wèn)題，但缺少對(duì)影響太陽(yáng)翼展開平穩(wěn)性的參數(shù)分析及優(yōu)化設(shè)計(jì)指導(dǎo)。

本文對(duì)UltraFlex太陽(yáng)翼建立了全尺寸模型，使用膜單元模擬柔性翼面，在充分考慮展開過(guò)程中剛?cè)狁詈弦蛩匾约氨∧ぷ越佑|碰撞問(wèn)題的情況下，利用有限元軟件SAMCEF的隱式非線性分析方法對(duì)圓形薄膜太陽(yáng)翼進(jìn)行展開動(dòng)力學(xué)分析。通過(guò)分析圓形薄膜太陽(yáng)翼展開過(guò)程中能量變化曲線，研究了不同轉(zhuǎn)角控制函數(shù)對(duì)其展開穩(wěn)定性的影響，并給出了指導(dǎo)意見(jiàn)。利用非線性靜力學(xué)分析獲得的剛度矩陣及質(zhì)量矩陣，對(duì)鎖定狀態(tài)下圓形薄膜太陽(yáng)翼進(jìn)行模態(tài)分析，并將分析得到的結(jié)果與NASA的仿真數(shù)據(jù)和試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行比對(duì)，驗(yàn)證了SAMCEF含重力卸載彈簧太陽(yáng)翼有限元數(shù)值模型的準(zhǔn)確性和有效性。

圖1 UltraFlex太陽(yáng)能電池陣列Fig.1 UltraFlex solar array configuration

1 動(dòng)力學(xué)仿真

1.1 動(dòng)力學(xué)建模

本文采用通用有限元軟件SAMCEF Field對(duì)圓形太陽(yáng)翼的折疊結(jié)構(gòu)進(jìn)行參數(shù)化建模。由于靜止導(dǎo)板和運(yùn)動(dòng)導(dǎo)板相對(duì)于支撐梁和薄膜結(jié)構(gòu)剛度較大，幾乎不發(fā)生變形，且其形狀對(duì)太陽(yáng)翼展開過(guò)程無(wú)影響，因此將兩個(gè)導(dǎo)板簡(jiǎn)化為兩個(gè)剛性梁。中心展開機(jī)構(gòu)的轉(zhuǎn)動(dòng)鉸鏈簡(jiǎn)化為相鄰支撐肋條之間的轉(zhuǎn)動(dòng)副。通過(guò)第一類拉格朗日方程可以得到用于描述多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的微分-代數(shù)方程組

(1)

式中：M為系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣，q為系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)，F(xiàn)int,Q,Fc分別為彈性力、廣義外力以及廣義接觸力矩陣，Φ,Φq分別為系統(tǒng)約束方程及其對(duì)廣義坐標(biāo)的Jacobi矩陣，λ為L(zhǎng)agrange乘子矩陣。

求解上述動(dòng)力學(xué)方程的方法可分為顯式和隱式兩類方法。對(duì)于多柔體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，特別是具有大變形的多柔體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，顯式算法的條件收斂特性會(huì)帶來(lái)對(duì)積分步長(zhǎng)的限制，故一般采用隱式算法求解。基于上述考慮，軟件分析類型選擇結(jié)構(gòu)分析(Structural Analysis)，求解器選擇SAMCEF求解器，求解方法為隱式非線性(Implicit Non Linear)。對(duì)于只有接觸力的線彈性系統(tǒng)，其動(dòng)力學(xué)方程為：

(2)

采用中點(diǎn)法則對(duì)方程進(jìn)行離散：

(3)

(4)

式中：B為線性應(yīng)變，τ為Kirchhoff應(yīng)力，Ω0為單元積分域，G為變形梯度，e為單元的廣義坐標(biāo)，E為Green-Lagrange應(yīng)變張量，C為彈性張量，Gn+1/2是指由中點(diǎn)構(gòu)型φn+1/2所確定的變形梯度。

此外，在建模時(shí)充分考慮了使用殼(shell)單元和膜(membrane)單元對(duì)翼面展開特性的影響。薄殼單元有5個(gè)自由度，包括三個(gè)平動(dòng)自由度和兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度，可以描述彎曲變形。而膜單元只有三個(gè)平動(dòng)自由度，只能傳遞面內(nèi)張力，不能承受彎曲及剪切，變形較大，可以更好地反映出真實(shí)翼面的柔性大變形特性。

圖2和圖3分別給出了殼單元與膜單元折疊結(jié)構(gòu)展開過(guò)程的模擬。從圖2～3可以看出，由于殼單元的面外剛度較大，在折痕處產(chǎn)生了非常大的應(yīng)力，難以完全展開。當(dāng)展開比例為99%時(shí)計(jì)算被終止，此時(shí)薄膜結(jié)構(gòu)折痕處應(yīng)力達(dá)到了19.94 MPa，而其他部分應(yīng)力較為均勻，約為0.25 MPa。采用膜單元時(shí)，由于沒(méi)有面外剛度，整個(gè)結(jié)構(gòu)自然展開，過(guò)程中出現(xiàn)了明顯的褶皺，與真實(shí)情況相一致。展開完成后，中間無(wú)折痕，整個(gè)薄膜結(jié)構(gòu)完全展開，薄膜表面的應(yīng)力比較均勻，約為8.8 MPa。由此可見(jiàn)，相比于殼單元，采用膜單元能夠更加真實(shí)地描述整個(gè)展開過(guò)程的翼面行為。

圖2 殼單元展開比例及應(yīng)力分布Fig.2 Expansion ratio and stress distribution of shell element

圖3 膜單元展開比例及應(yīng)力分布Fig.3 Expansion ratio and stress distribution of membrane element

根據(jù)圓形薄膜折疊結(jié)構(gòu)的幾何尺寸進(jìn)行幾何模型構(gòu)建，圓形薄膜太陽(yáng)翼結(jié)構(gòu)主要由12根支撐梁和10片折疊梯形膜片組成，支撐梁與膜片在共節(jié)點(diǎn)處綁定連接，折疊時(shí)支撐梁并排布置。薄膜厚度為0.5 mm，單根支撐梁長(zhǎng)3000 mm，相鄰梁間距為6 mm。10片折疊的梯形膜片首尾相連，形成一個(gè)扇形的折疊結(jié)構(gòu)，在中心電機(jī)的驅(qū)動(dòng)下展開后呈正十邊形。網(wǎng)格模型如圖4所示。

圖4 圓形薄膜太陽(yáng)翼折疊、展開有限元模型Fig.4 Finite element model for the folding and unfolding circular thin film solar wing

1.2 展開過(guò)程模擬

圓形薄膜太陽(yáng)翼展開過(guò)程中，薄膜與支撐梁之間存在接觸碰撞作用，且薄膜之間也會(huì)相互接觸碰撞。如果展開速度過(guò)快，薄膜運(yùn)動(dòng)幅度過(guò)大容易相互碰撞纏繞產(chǎn)生大量褶皺，加劇展開過(guò)程的振動(dòng)，若膜面褶皺處應(yīng)力過(guò)大，極易使膜面遭到破壞，導(dǎo)致展開失敗。因此對(duì)圓形薄膜太陽(yáng)翼展開過(guò)程中的位移變化和應(yīng)力變化進(jìn)行研究，具有重要的工程意義。仿真模型考慮了膜面自接觸碰撞，動(dòng)力學(xué)仿真從開始展開到完全展開共用時(shí)60 s，為了研究展開后的殘余振動(dòng)，在完全展開后保持鎖定狀態(tài)6 s。

圖5為展開過(guò)程的Z向位移云圖。

圖5 圓形太陽(yáng)翼展開過(guò)程Z向位移云圖Fig.5 Z-directional displacement of the circula solar wing

1.3 展開過(guò)程能量變化

圓形薄膜太陽(yáng)翼在無(wú)重力條件下展開過(guò)程中，會(huì)涉及外力做功、應(yīng)變能與動(dòng)能之間的相互轉(zhuǎn)化，本文進(jìn)行圓形太陽(yáng)翼展開動(dòng)力學(xué)分析過(guò)程中沒(méi)有考慮部件之間的摩擦，因此只有前三種能量相互轉(zhuǎn)化，圖6給出了動(dòng)能、外力做功、應(yīng)變能隨時(shí)間變化的曲線。由圖6可知，外部電機(jī)做功，將能量轉(zhuǎn)化為動(dòng)能和應(yīng)變能。t=30 s時(shí)角速度達(dá)到最大，但動(dòng)能未達(dá)到最大，這是由于電機(jī)驅(qū)動(dòng)使太陽(yáng)翼展開，到達(dá)最大速度后由于慣性太陽(yáng)翼的速度繼續(xù)增大；t=35 s時(shí)，太陽(yáng)翼的動(dòng)能達(dá)到了最大，之后逐漸減小；t=56 s之前，太陽(yáng)翼的應(yīng)變能幾乎為0，之后開始急劇變大，原因是薄膜急劇張緊，造成了膜結(jié)構(gòu)的變形；t=60 s至t=66 s之間，應(yīng)變能基本保持不變，太陽(yáng)翼的動(dòng)能逐漸減小。由圖6中總能量曲線可知，圓形薄膜太陽(yáng)翼展開過(guò)程中符合能量守恒定律。

圖6 太陽(yáng)翼展開過(guò)程中能量變化曲線Fig.6 Energy curve during the development of the solar wing

1.4 控制函數(shù)對(duì)穩(wěn)定性的影響

規(guī)劃完全展開的時(shí)間為60 s，展開角度為360°。為了滿足展開過(guò)程平穩(wěn)且展開后殘余振動(dòng)小的需求，研究了不同控制函數(shù)對(duì)展開穩(wěn)定性的影響。

1.4.1多項(xiàng)式控制函數(shù)

多項(xiàng)式是最常見(jiàn)的軌跡控制函數(shù)，三次多項(xiàng)式能保證轉(zhuǎn)角以及角速度的光滑連續(xù)，但不能滿足角加速度的邊界條件；五次多項(xiàng)式能滿足角度、角速度以及角加速度的邊界條件，但是包含高階函數(shù)，容易引起振動(dòng)。

1)低階轉(zhuǎn)角控制函數(shù)

低階轉(zhuǎn)角控制函數(shù)包括線性控制函數(shù)，二次多項(xiàng)式和三次多項(xiàng)式。低階控制函數(shù)需要參數(shù)少，控制方式簡(jiǎn)單，但展開過(guò)程平順性不如高階控制函數(shù)。

2)五次多項(xiàng)式轉(zhuǎn)角控制函數(shù)

若初始時(shí)刻t=0以及結(jié)束時(shí)刻t=tf轉(zhuǎn)角、角速度以及角加速度已知，那么可采用五次多項(xiàng)式對(duì)轉(zhuǎn)角函數(shù)進(jìn)行設(shè)定：

(5)

式中：a0,a1,a2,a3,a4,a5均為常系數(shù)。

1.4.2擺線運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)角控制方程

擺線運(yùn)動(dòng)也可用來(lái)規(guī)劃太陽(yáng)翼展開軌跡，這種規(guī)劃方法不僅計(jì)算簡(jiǎn)單，而且運(yùn)動(dòng)軌跡連續(xù)平滑，并能在有限區(qū)間的端點(diǎn)產(chǎn)生零速度和零加速度，有效地保證了系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的平穩(wěn)性。

采用擺線運(yùn)動(dòng)來(lái)規(guī)劃太陽(yáng)翼展開軌跡，展開軌跡如下：

(6)

式中：θ0為初始角度，θf(wàn)為完全展開角度。

1.4.3余弦函數(shù)轉(zhuǎn)角控制方程

余弦函數(shù)轉(zhuǎn)角控制方程的形式如下：

(7)

為了研究不同的控制函數(shù)對(duì)太陽(yáng)翼展開穩(wěn)定性的影響，圖7給出了幾種典型類型控制函數(shù)驅(qū)動(dòng)下太陽(yáng)翼展開過(guò)程中動(dòng)能變化曲線。

圖7 不同控制函數(shù)驅(qū)動(dòng)下動(dòng)能變化曲線Fig.7 Dynamic curve of kinetic energy driven by different control functions

由圖7可知，當(dāng)太陽(yáng)翼展開的時(shí)間相同時(shí)，余弦控制函數(shù)使太陽(yáng)翼獲得的最大動(dòng)能最大，線性控制函數(shù)使太陽(yáng)翼獲得的最大動(dòng)能最小；線性控制函數(shù)使太陽(yáng)翼展開過(guò)程中動(dòng)能保持平穩(wěn)變化，有利于太陽(yáng)翼的穩(wěn)定展開，但展開后期動(dòng)能增幅很大，展開鎖定狀態(tài)下殘余振動(dòng)非常劇烈，容易造成太陽(yáng)翼的結(jié)構(gòu)破壞，因此整體來(lái)看不利于太陽(yáng)翼的平穩(wěn)展開；二次控制函數(shù)與三次控制函數(shù)不滿足展開后角加速度為零的條件，但展開過(guò)程中動(dòng)能幅值較小，且動(dòng)能變化趨勢(shì)比較平滑，展開鎖定后殘余振動(dòng)較小，整體來(lái)看有利于太陽(yáng)翼的平穩(wěn)展開；五次控制函數(shù)與擺線控制函數(shù)使太陽(yáng)翼展開過(guò)程中動(dòng)能變化趨勢(shì)平滑，展開后期無(wú)動(dòng)能的大幅值波動(dòng)，展開鎖定狀態(tài)下對(duì)殘余振動(dòng)的抑制效果也比較明顯，但從整體看，展開過(guò)程中以及展開鎖定后，擺線控制函數(shù)的抑振效果更強(qiáng)；余弦控制函數(shù)使太陽(yáng)翼展開初始階段動(dòng)能增長(zhǎng)緩慢，后期快速增長(zhǎng)至最大動(dòng)能后又快速減小，但對(duì)殘余振動(dòng)的抑制效果最優(yōu)。

綜合考慮太陽(yáng)翼展開過(guò)程中和展開鎖定后動(dòng)能的趨勢(shì)發(fā)現(xiàn)，在不超出動(dòng)能限定范圍內(nèi)時(shí)，余弦控制函數(shù)能使太陽(yáng)翼平穩(wěn)展開，并且具有最優(yōu)的殘余振動(dòng)抑制效果。

2 懸吊狀態(tài)的太陽(yáng)翼模態(tài)分析

圓形薄膜太陽(yáng)翼在進(jìn)行地面模態(tài)試驗(yàn)時(shí)，為了模擬太空中的失重環(huán)境，需要對(duì)結(jié)構(gòu)的所受的重力進(jìn)行卸載，將重力卸載彈簧的一端固定在支撐梁上，固定位置為支撐梁與相鄰兩個(gè)半翼片的重心處，然后，對(duì)懸吊點(diǎn)進(jìn)行調(diào)平，當(dāng)所有的支撐梁處于同一水平面時(shí)，認(rèn)為恰好卸載了結(jié)構(gòu)所受的重力，此外，重力卸載彈簧還具有保護(hù)太陽(yáng)翼結(jié)構(gòu)的作用。

實(shí)際的試驗(yàn)過(guò)程中，重力卸載彈簧會(huì)對(duì)太陽(yáng)翼結(jié)構(gòu)產(chǎn)生附加約束作用以及隨動(dòng)質(zhì)量作用，因此對(duì)試驗(yàn)結(jié)果會(huì)造成一定的影響，為了探究重力卸載彈簧對(duì)太陽(yáng)翼模態(tài)的影響，本部分利用懸吊狀態(tài)的太陽(yáng)翼有限元模型進(jìn)行模態(tài)分析，由于有限元模型中的接地彈簧單元沒(méi)有質(zhì)量，因此分析過(guò)程中只考慮了卸載彈簧對(duì)太陽(yáng)翼的附加約束作用。分析得到的前三階模態(tài)振型如圖8所示。表1給出了利用SAMCEF Field和ANSYS對(duì)太陽(yáng)翼進(jìn)行模態(tài)分析得到的前三階模態(tài)的固有頻率以及誤差百分比。

由表1可知，利用SAMCEF對(duì)懸吊狀態(tài)的太陽(yáng)翼進(jìn)行模態(tài)分析得出的前三階模態(tài)振型，與NASA利用ANSYS分析的模態(tài)振型基本完全一致；利用SAMCEF分析得到的太陽(yáng)翼的前三階固有頻率與NASA仿真數(shù)據(jù)吻合極好，誤差控制在2%以內(nèi)；SAMCEF得到的前六階固有頻率值均低于ANSYS分析數(shù)據(jù)，原因是NASA對(duì)圓形薄膜太陽(yáng)翼進(jìn)行分析時(shí)，薄膜單元選的為殼單元(shell)，而利用SAMCEF Field進(jìn)行分析時(shí)，選用的是膜單元(membrane)，膜單元沒(méi)有面外剛度，因此SAMCEF有限元模型柔性更大，因此得到的固有頻率略低于ANSYS分析數(shù)據(jù)。

為了驗(yàn)證利用SAMCEF Field對(duì)懸吊狀態(tài)的圓形薄膜太陽(yáng)翼進(jìn)行模態(tài)分析的有效性，將SAMCEF模態(tài)分析得到的太陽(yáng)翼的面內(nèi)振動(dòng)頻率、“搖擺”模式諧振頻率以及“跳水板”模式諧振頻率與NASA在真空艙對(duì)UltraFlex-175太陽(yáng)翼進(jìn)行模態(tài)試驗(yàn)得到的數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如表2所示。

由表2可知，利用SAMCEF分析得到的頻率數(shù)據(jù)與NASA試驗(yàn)測(cè)試數(shù)據(jù)吻合較好，搖擺模式諧振的固有頻率誤差最大，達(dá)到了6.34%，原因可能是實(shí)際試驗(yàn)狀態(tài)下，激振器激振時(shí)的附加剛度、加速度傳感器和重力卸載系統(tǒng)的附加剛度以及隨動(dòng)質(zhì)量，對(duì)太陽(yáng)翼的模態(tài)造成了一定影響，而利用SAMCEF進(jìn)行有限元建模時(shí)，沒(méi)有考慮到激振器、加速度傳感器以及重力卸載裝置的附加剛度和隨動(dòng)質(zhì)量，因此產(chǎn)生了較大的誤差。

圖8 懸吊狀態(tài)的太陽(yáng)翼前三階模態(tài)振型Fig.8 The first three modes of vibration of suspended solar wing

表1 懸吊狀態(tài)的太陽(yáng)翼前六階模態(tài)固有頻率Table 1 The first six natural frequencies of suspended solar wing

表2 SAMCEF分析數(shù)據(jù)與NASA試驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)比Table 2 SAMCEF analysis data compared with NASA test data

3 結(jié) 論

本文采用有限元數(shù)值分析的方法，在NASA模態(tài)分析數(shù)值模型的基礎(chǔ)上，建立了圓形薄膜太陽(yáng)翼展開動(dòng)力學(xué)模型，以不同的展開控制函數(shù)為變量，研究了不同控制函數(shù)對(duì)展開平穩(wěn)性的影響，并對(duì)展開鎖定后的太陽(yáng)翼進(jìn)行了模態(tài)分析。該研究對(duì)于圓形薄膜太陽(yáng)翼進(jìn)行地面模態(tài)試驗(yàn)以及結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)具有一定的指導(dǎo)意義和科學(xué)價(jià)值。

經(jīng)過(guò)研究獲得主要結(jié)論如下：

1)膜單元比殼單元在模擬薄膜類展開機(jī)構(gòu)時(shí)有更好的效果，更能反映真實(shí)情況。

2)通過(guò)使用膜單元對(duì)圓形薄膜太陽(yáng)翼進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析可以發(fā)現(xiàn)，展開初期較為平穩(wěn)，但在展開后期由于翼面碰撞使得展開過(guò)程產(chǎn)生劇烈的振動(dòng)，容易導(dǎo)致展開失敗；薄膜張緊后翼面存在持續(xù)的顫動(dòng)。

3)通過(guò)對(duì)太陽(yáng)翼展開軌跡進(jìn)行規(guī)劃可以發(fā)現(xiàn)，高階控制函數(shù)、擺線控制函數(shù)以及余弦控制函數(shù)均有利于太陽(yáng)翼的平穩(wěn)展開，余弦控制函數(shù)使太陽(yáng)翼獲得的動(dòng)能最大，但具有最優(yōu)的殘余振動(dòng)抑制效果，因此推薦使用余弦控制函數(shù)進(jìn)行軌跡規(guī)劃。

4)在考慮重力、卸載彈簧因素的情況下，利用SAMCEF可以完成展開鎖定狀態(tài)下太陽(yáng)翼的非線性靜力學(xué)分析以及模態(tài)分析，得到圓形薄膜太陽(yáng)翼的固有頻率與NASA仿真結(jié)果相吻合。

5)有限元模型模態(tài)分析的結(jié)果與NASA的試驗(yàn)結(jié)果相吻合，前三階模態(tài)振型基本相同，模態(tài)頻率分別相差-2.58%,6.34%和1.40%，符合美國(guó)TRL6的技術(shù)標(biāo)準(zhǔn)，因此驗(yàn)證了SAMCEF懸吊狀態(tài)有限元數(shù)值模型準(zhǔn)確性和有效性。