考慮火箭約束的深空探測彈軌道拼接模型

張博戎，馬 英，何 巍，容 易，劉竹生

(1. 北京宇航系統工程研究所，北京 100076；2.中國運載火箭技術研究院，北京 100076)

0 引 言

目前，深空探測軌道優化研究大多基于天體引力影響球模型和軌道拼接方法進行，對于飛出地球引力影響球的深空任務，探測器出發條件在初步軌道設計環節一般簡化為從地心出發的速度矢量[1-2]。如果考慮地球引力影響球大小尺度，彈軌道拼接將具有更多的自由度和優化空間。

此外，部分研究將深空出發條件限定為“施加逃逸速度脈沖前，探測器位于指定高度近地軌道上的任意一點”[3-5]，并對出發點赤緯[6]或停泊軌道傾角進行約束[7]，這相當于限制了彈軌道拼接的自由度，但并未進一步解決近地停泊軌道與運載火箭主動段彈道的拼接問題，因此仍具有研究空間。

事實上，對運載火箭主動段彈道設計來講，受限于火箭發射場地理位置、射向、末級滑行時間等實際約束，探測器從地球引力影響球面或停泊軌道上的出發位置十分有限[8]，這些參數也直接影響到彈軌道是否可以成功拼接。目前深空探測軌跡優化理論研究和工程應用中均未詳細分析火箭約束對于彈軌道拼接問題的影響規律，并未分析不同火箭約束對于各類深空探測窗口的適應能力，但這些指標卻是實際工程任務開展所必須考慮的要素，也有可能影響全局任務規劃結果，因而對其進行詳細的定量研究十分必要。

實現彈軌道全局設計需要依據具體情況，在優化能力、復雜度、適用性之間加以權衡。運載火箭發射深空探測器不同于臨近空間飛行器，不需多次出入大氣層，因此有必要對此類情況單獨分析[9]。本文對彈軌道拼接過程進行了建模，分析了方程組自由度個數，并研究了彈軌道拼接存在解的變量區間及變化規律，最后提出了一種δ-C3圖方法，可以用于一般彈軌道拼接問題是否有解的判斷依據。

1 軌道拼接計算模型與自由度分析

一般來講，運載火箭發射深空探測器會先將有效載荷和火箭末級的組合體送至近地停泊軌道，軌道高度一般在180～400 km范圍，隨后末級等待合適時機二次點火，使有效載荷得到足夠飛出地球引力影響球的速度[10]。

建立彈軌道拼接問題簡化模型，本文基于以下3點假設：1)地球引力影響球假設；2)假設近地停泊軌道是半徑為6578 km圓軌道；3)逃逸速度脈沖切向假設。

依據以上模型，深空探測彈軌道拼接可以分為兩個步驟:第一步是已知深空出發速度，選擇合適的雙曲線逃逸軌道與近地停泊軌道拼接;第二步是根據停泊軌道選擇合適的參數與火箭發射彈道拼接。

1.1 逃逸軌道與停泊軌道拼接問題分析

在地球慣性系中考慮雙曲線逃逸軌道與近地停泊軌道(LEO)拼接問題，如圖1所示，Z軸為地球自轉軸，vdpt為地球慣性系下深空出發速度矢量，其大小方向已確定，但在地球引力影響球面上的拼接點位置可以自由選擇。通過平移vdpt矢量，其延伸出的可拼接雙曲線軌道有多種選擇，這些雙曲線軌道的集合是以圖中H軸呈中心對稱的一簇曲線，例如軌道①和軌道②，即為該簇曲線中的兩條。以軌道①為例，其與地球引力影響球(SOI)球面相交于Q點，與停泊軌道相切于P點，P點即是施加逃逸速度脈沖位置。與這一簇雙曲線逃逸軌道拼接的近地圓軌道集合關于出發速度地心矢量軸(即圖1中H軸)中心對稱，且均經過公共點M。

圖1 逃逸軌道與停泊軌道拼接示意圖Fig.1 Splicing diagram of escape orbit and parking orbit

在Q點建立描述拼接問題的方程組，與拼接方程相關的變量是速度v、位置r、時間t，共7個自由度。其中速度需要嚴格等于深空出發速度vdpt，占去3個自由度；位置要求大小等于地球引力影響球半徑RSOI，占去1個自由度，按文獻[11]計算方法，本文取92萬千米為地球引力影響球半徑；此外，停泊軌道高度為定值和切向加速假設同時也對Q點位置施加了一個額外的等式約束，占去1個自由度。需要注意到，盡管嚴格來講，Q點的時間也應當等于深空出發時刻，但是考慮到在地球自轉一周的時間范圍內尋找發射機會，拼接時刻變化給深空軌道帶來的改變十分微小，因此可以認為時間沒有約束。

為便于描述約束關系與自由度所代表的實際含義，建立原點在地心O的空間球坐標系，如圖2所示。以深空出發速度vdpt方向為z′軸，即天頂方向，以ψ表示仰角。在垂直于z′軸方向建立x′Oy′平面，其上用θ表示方位角，通過r,ψ,θ表征Q點幾何位置。

圖2 描述自由度的球坐標系定義Fig.2 Definition of spherical coordinate system describing DOF

根據以上判斷可知，指定高度停泊軌道約束和逃逸速度切向假設相當于限定了Q點的仰角ψ為定值，其大小可以根據∠MPO和∠POQ求解確定，∠MPO的大小φMP與停泊軌道高度和逃逸速度相關，在后文式(8)中有詳細計算過程。∠POQ大小φPQ與停泊軌道高度和引力影響球半徑有關，可參考文獻[12]由幾何關系求解確定。方位角θ可以在0°～360°范圍內任意取值。用數學關系描述Q點的約束關系，有方程組關系式(1)。

(1)

方程組(1)共具有2個自由度，其中一個是時間自由度，另一個是方位角的自由度，也可以理解為停泊軌道面繞H軸轉角的自由度。由幾何關系易知，一旦確定了停泊軌道面繞H軸的轉角，就可以直接求解得到P點的停泊軌道六根數，進而考慮停泊軌道與發射彈道的拼接問題。

1.2 停泊軌道與發射彈道拼接問題分析

在方程組(1)基礎上，進一步考慮發射場位置，分析發射彈道拼接問題。定義地球慣性系Z軸與停泊軌道對稱軸H形成的Z-H平面，設H軸上與M點相對地心O對稱的點為N，易知ON指向即為深空出發速度vdpt方向，按Z軸北極向上指向畫出Z-H平面示意圖。定義θ角為停泊軌道繞H軸所轉夾角，其取值范圍為[0，2π]，θ零點位置對應停泊軌道定義為在Z-H平面內，軌道運行方向從N點轉向Z軸南極方向，如圖3中N點沿軌道切向箭頭所示。

圖3 停泊軌道與運載火箭彈道拼接示意圖Fig.3 Splicing diagram of parking orbit and launching ballistic

假設發射場位于北半球所在緯度圈，則在地球自轉一周時間范圍內，針對每一個θ角的停泊軌道，其在天球上都可能存在兩個與發射場緯度圈交點，分別是L1-L1′、L2-L2′，其中L1、L2點位于發射場緯度圈上，L1′、L2′點位于停泊軌道上。這兩組交點分別代表一條從指定點出發的無偏航發射彈道，分別是：1)L1點發射，I1點入軌，經過降交點E2滑行至M點，隨后于P點加速逃逸；2)L2點發射，I2點入軌，經過降交點E2至M點后，于P點逃逸。這兩條彈道雖然達到同樣的停泊軌道，但是其發射時刻、射向、滑行時間、抵達M點時刻均不同。區別起見，本文以下部分將此同一停泊軌道下的兩種發射方案分別稱為“升軌發射”和“降軌發射”。

考慮方程組(1)中剩余的2個自由度，其中一個表征為θ角的自由度，在停泊軌道確定后，這一自由度就不復存在。另一個自由度需用于匹配發射場地理經度，因為無法保證L1、L2點的位置在發射時刻恰好與發射場重合，所以必須建立等式關系以滿足發射時刻約束式(2)。

αL=α0(L0,t*)

(2)

式中：α0是發射場在時刻t*時的赤經，其同時與發射場地理經度L0相關。αL是依據停泊軌道反算得到的發射點赤經。

求解式(2)，得到地理經度與赤經匹配的發射時刻t*后，停泊軌道與發射彈道拼接問題即可全部確定。將以上計算過程代入方程組(1)，得到完整描述整段彈軌道拼接問題的方程組(3)。

(3)

式中:t*代表根據式(2)求解得到的發射時刻，tL代表火箭主動段飛行時間，在初步分析中可以認為是定值，tc是火箭滑行段時間，其計算過程會在下文詳細分析，th代表火箭逃逸段飛行時間，在雙曲線軌道確定后可以直接根據幾何關系求解[12]，本文不再贅述。

方程組(3)中含有一個自由度，將這一個自由度理解為停泊軌道面繞H軸旋轉的角度θ，當θ確定后，停泊軌道的軌道傾角和升交點赤經即可直接由球面幾何關系求解式(4)～式(5)確定。

i=arccos(sinθcos|δM|>)

(4)

Ω=αM+arctan(tanθsin|δM|>)

(5)

式中：αM,δM分別為停泊軌道公共點M的赤經和赤緯，可以通過vdpt求得。

需要注意，式(4)求解涉及反三角函數值域和求解參數定義域的匹配，在部分區間需要視具體情況增補2π項以滿足參數定義域。

由幾何關系易知，當軌道傾角和升交點赤經確定后，拼接問題有可能存在0,1,2個解，解的存在性和數量取決于發射場緯度與M點赤緯的大小關系。當發射場緯度絕對值大于M點赤緯絕對值時，停泊軌道圈與發射場緯度圈不相交，因而無解；當發射場緯度絕對值等于M點赤緯絕對值時，停泊軌道圈與發射場緯度圈恰好有一個交點，因而解的數量是1；當發射場緯度絕對值小于M點赤緯絕對值時，停泊軌道圈與發射場緯度圈存在兩個交點，因此解的數量為2，分別對應升軌發射和降軌發射。本文第2節中將通過仿真詳細討論解的特點。

當θ角和解的存在性確定后，可以在停泊軌道平面內計算滑行時間，如圖4所示。假設運載火箭于L點起飛，飛行至I點進入停泊軌道，隨后滑行經過停泊軌道公共點M，最后至P點進入逃逸軌道。

圖4 停泊軌道面內彈軌道示意圖Fig.4 Schematic diagram of ballistic-orbit splicing in parking orbit plane

這一發射方案的滑行時間tc可通過IP弧段所對應的地心角計算，如式(6)所示。

(6)

式中：T為停泊軌道周期，LM段地心角φLM可由球面幾何關系算得，如式(7)所示。

(7)

式中：H0為發射場的地理緯度，i為停泊軌道傾角，正負號取值需分類討論，此外需判斷升降焦點與LM弧段位置關系增減π項以滿足反三角函數值域和參數定義域匹配，本文第2節對此有詳細說明。

注意到，由于arcsin函數有定義域限制，所以式(7)可能無解。從物理意義上講，式(7)無解說明選定的停泊軌道不經過發射場緯度圈上方，因而無法在不施加偏航的情況下完成彈道拼接。

式(6)中MP段地心角可通過雙曲線逃逸軌道幾何參數求得[12]，如式(8)所示。

(8)

式中：μ為地球引力常數，RE和hLEO分別為地球半徑和停泊軌道高度。

最后，還需根據彈道程序獲得LI段地心角，由于同一型火箭達到同一高度停泊軌道所飛行的路線長度近似，所以φLI在初步計算中可以認為是定值。設運載火箭進入停泊軌道的射程為Lr，如式(9)所示。

(9)

將式(7)～式(9)代入式(6)，可得到滑行時間的全部計算公式。

根據球面幾何關系推導射向A，如式(10)所示。

(10)

至此，與彈軌道拼接相關的全部參數均已求解確定，可以依此進一步計算不同出發條件和發射場約束下的射向與滑行時間。

2 運載火箭射向與滑行時間匹配規律分析

已知深空出發速度vdpt大小和其對應的停泊軌道公共點M赤緯δM，就能求解確定所有θ角停泊軌道對應的發射參數。需要注意到，根據δM與發射場地理緯度H0的大小關系不同，需要對該問題進行分類討論。如果δM高于發射場緯度，則在所有停泊軌道傾角取值時，拼接問題均存在兩個解，如果δM低于發射場緯度，則在停泊軌道傾角為部分取值時無解或只有一個解。此外，當M點與發射場分別位于南北同半球或異半球時，停泊軌道升降交點E1、E2與LM段位置關系不同，因而LM段地心角計算式(7)也須進行分類討論。以發射場位于北緯28.5°為例，針對不同δM取值可以按表1分類討論，第2.1～2.4節將分別計算這四類情況。

表1 不同M點赤緯取值范圍對應軌道形式Table 1 Orbital status correspond to different range of M declinations

2.1 停泊軌道公共點緯度高于發射場且位于異半球

假定深空出發速度vdpt大小為10 km/s，M點赤緯δM為-40°，與發射場異半球且高于發射場地理緯度。入軌位置關系見圖3。

在此類情況中，所有繞H軸旋轉的停泊軌道均在天球上與發射場緯度圈有兩個交點，由式(4)、式(5)可以計算θ角與停泊軌道傾角、升交點赤經的關系，如圖5所示。

圖5 停泊軌道軌道傾角、升交點赤經隨θ角變化曲線Fig.5 Correlation curve of RAAN and inclination of parking orbit expressed by θ

從圖5可以看出，升交點赤經與θ角一一對應，在θ繞H軸旋轉一周時，停泊軌道升交點也恰好旋轉一周。與此同時，軌道傾角可唯一確定，隨θ呈類正弦波動，最小值與出發速度方向赤緯相等，最大值對應軌道面與最小軌道傾角面重合，旋轉方向相反。此圖進一步說明了方程組(3)所包含的自由度關系，其既可以用θ角表示，也可以用停泊軌道的升交點赤經或軌道傾角來描述。本文采用θ角來表征這一自由度，原因是θ角既可以與每個停泊軌道一一對應，同時也能在0到2π的范圍內連續變化，其物理意義相比升交點赤經和軌道傾角更為明確。

根據式(6)～式(9)，可以計算不同停泊軌道對應的火箭末級滑行段地心角大小，如圖6所示。

圖6 運載火箭末級滑行段地心角隨θ角變化曲線Fig.6 Correlation curve between rocket’s coasting angle and θ

從圖6可以看出，滑行時間隨θ角呈現周期變化關系。無論是降軌發射還是升軌發射，其最短滑行時間均對應θ角取180°，最大值均對應θ角取0°或360°，且長短滑行時間增減趨勢基本保持同步。本類情況中，可達到的最短滑行地心角約為110°，約相當于27 min。另外注意到，升軌發射方案的滑行時間均會大于降軌發射，這是因為M點位于發射場緯度圈南方所致。

圖7 運載火箭射向隨θ角變化曲線Fig.7 Correlation curve between launching azimuth and θ

進一步根據式(10)計算不同發射彈道對應的射向，如圖7所示。從圖7可以看出，兩種發射方案射向均隨θ角表現出周期變化的關系，且當θ角小于180°時，兩種發射方案射向關于90°對稱，當θ角大于180°時，兩種發射方案射向關于270°對稱。在本算例中，由于發射場地處北半球，所以短滑行的降軌發射方案射向均為偏南方向，長滑行的升軌發射方案均為偏北射向，即火箭起飛后會經由北極上空再飛至M點。

一般情況下，希望運載火箭射向接近90°，這樣可以充分利用地球自轉能量，但是對比結果發現，滑行時間短的發射方案射向均為正南或正北，接近90°射向的滑行時間一般都大幅高于最短滑行時間，因此在實際任務中，需要根據火箭滑行時間和射向約束合理選擇發射方案，以求在滿足拼接條件的情況下實現最大運載能力。

2.2 停泊軌道公共點緯度低于發射場且位于異半球

假定深空出發速度vdpt大小為10 km/s，M點赤緯δM為-10°，與發射場異半球且低于發射場地理緯度。入軌位置關系見圖8。

圖8中，L1、L2、L1′、L2′、E1、E2等所有點的定義方式均同第2.1節，分別分析停泊軌道軌道傾角、升交點赤經隨θ角變化關系，以及升降軌滑行段地心角大小和射向隨θ角變化關系，如圖9所示。

圖9 公共點M赤緯為-10°時各參數隨θ角變化曲線Fig.9 Correlation curve between each parameter and θ when M declination is -10°

從圖9可以看出，升交點赤經與軌道傾角的變化規律與圖5基本類似，但是由于出發速度矢量的赤緯由-40°降低為-10°，所以也使得升交點赤經隨θ角的變化速率有所不同，在θ角處于90°和270°附近，停泊軌道升交點赤經會發生快速變化。另外，由于出發速度矢量的赤緯較低，所以停泊軌道軌道傾角取值范圍可以進一步擴大，能夠在低緯度地區出現更多的發射機會。

此外，由于出發速度矢量所指向的赤緯低于發射場，所以對于傾角小于28.5°的停泊軌道，不存在不施加火箭偏航的發射機會，該類情況下滑行時間無解。在有解的區域，升降軌飛行方案之間的差異也呈現出“從0增大再減小至0”的規律，在升降軌發射方案的交點處，表示停泊軌道與發射場運動軌跡在天球上相切，因而兩個解重合，退化為一個解。該例仿真結果與第1節中關于式(3)的理論分析相符。

另外注意到，在滑行段地心角隨θ角變化曲線中，由于升軌發射部分弧段的滑行地心角大小超過了360°，所以該情形實際相當于多滑行了一周，與之對應的實際發射方案可以晚一圈再入軌，因此就可能出現“0滑行時間”的解。由式(6)可知，滑行段是否出現零點解與火箭主動段射程和深空出發速度大小相關。

在射向變化方面，與滑行時間的計算結果類似，在停泊軌道傾角小于發射場地理緯度的情況下，射向無解。在有解的區域內，同樣與圖7呈現出類似的規律，這是由于發射點位于M點北方的假設條件所決定的。不同于第2.1節中情形的是，在升軌發射方案中，接近90°射向可以對應到短滑行時間的飛行方案。

2.3 停泊軌道公共點緯度低于發射場且位于同半球

假定深空出發速度vdpt大小為10 km/s，M點赤緯δM為10°，與發射場異半球且低于發射場地理緯度。本節分析方法同第2.1節、2.2節，但滑行時間計算公式需考慮到位置關系變化所帶來的正負變化和反三角函數值域對應關系，因此需對式(7)結果分類討論，限于篇幅此處不詳細說明。

此種情況中，升交點赤經、軌道傾角、升降軌發射射向變化規律完全等同于M點赤緯為-10°時的情形，因為二者的幾何關系是關于赤道面對稱的。

在滑行段地心角隨θ角變化規律中，除基本保持第2.2節中規律外，更可以發現平均值要普遍小于M點赤緯為-10°時的情形。這是因為此例中入軌點偏向發射場所在的北半球，因而其在大多數發射情況下可以實現比南半球入軌更短的滑行時間。

2.4 停泊軌道公共點緯度高于發射場且位于同半球

假定深空出發速度vdpt大小為10 km/s，M點赤緯δM為40°，與發射場異半球且低于發射場地理緯度。分析方法同第2.1～2.3節，滑行時間計算與第2.3節相同，但是升降軌發射對應的滑行段地心角求解的大小關系恰好相反，這是因為停泊軌道共同點M位于發射場北方的原因造成的。

此種情況中，升交點赤經、軌道傾角、升降軌發射射向變化規律完全等同于M點赤緯為-40°時的情形，因為二者的幾何關系關于赤道面對稱。在滑行段地心角隨θ角變化規律中，除保持與第2.1節中相同規律外，更出現了短滑行時間發射選擇，這是因為此例中入軌點偏向發射場所在的北半球。

3 考慮約束的彈軌道拼接問題解集范圍分析

進一步考慮指定型號運載火箭射向和滑行時間的約束范圍，分析固定地理位置發射場對不同出發條件的匹配能力，找出不同停泊軌道中滿足約束的解集范圍。

假設發射場位于北緯28.5°，第3.1節、3.2節將分別分析考慮具體射向和滑行時間約束下的彈軌道拼接解集范圍。

3.1 考慮射向約束的解集范圍

由式(10)可知，求解射向過程與vdpt大小無關，因此在分析射向約束下的解集變化時，vdpt大小任意取值即可，令vdpt大小為10 km/s，變換M點赤緯，以δM和θ角為橫縱坐標，畫出求解得到射向的曲面圖。由于射向解集在θ-δM平面內左右對稱，且在各自半區也分別關于90°和270°取值對稱，所以只考察90°～180°射向范圍內的解集變化情況即可知其趨勢。分別查看射向約束為90°～105°、105°～120°、120°～135°、135°～150°、150°～165°、165°～180°六種情況下的解集范圍，如圖10所示。

圖10 不同射向約束下解集變化示意圖Fig.10 Schematic diagram of solution set variation under different constraints

隨著射向約束范圍從90°逐步增加到180°，可行域的范圍也呈類同心圓狀逐步擴大，直至覆蓋θ-δM平面的邊緣地區。當射向約束涵蓋180°時，在任何深空出發速度方向下，均可以找到匹配拼接問題的解。

如果已知運載火箭射向的約束范圍，則可以通過射向約束反求可行域的邊界點M赤緯值，根據式(2)和式(10)，假設射向約束邊界值為Acr，則可以反推得到可行域邊界點M赤緯表達式，如式(11)所示

δcr=±arccos(sinAcrcosH0)

(11)

從式(11)可以看出，可行域邊界點M赤緯的值與深空出發速度大小并無關系，因此可以直接根據運載火箭的射向約束判斷其與深空出發速度方向的約束關系。

3.2 考慮滑行時間約束的解集范圍

由式(6)～式(9)可知，滑行時間的計算結果同時與vdpt大小、M赤緯、θ角相關，因此無法將其表示在同一幅三維曲面圖中。先假設深空出發速度大小為10 km/s，以停泊軌道轉角θ和公共點M赤緯為橫縱坐標，計算滑行時間曲面，可以分別得到升軌發射與降軌發射的滑行時間曲面圖。取滑行時間約束范圍為200～1500 s，在θ-δM平面上用黑色陰影區域表示滿足約束的解集范圍，如圖11所示。

從圖11可以看出，升軌發射與降軌發射的解集有所不同，升軌發射解集基本處于θ角在小于90°或大于270°的范圍，而降軌發射的解集大致處于θ角在90°～270°的范圍內，且兩者均偏向于M點偏北的部分，這是因為滑行時間的約束使得太靠南方的入軌點都超出了約束上限。

綜合考慮升降軌的發射方案，取兩者可行域的并集，即為此出發條件下的全部解集。因為一般的深空探測任務地球出發速度矢量不會超過10 km/s，因此分別考慮出發速度大小為2～9 km/s時的可行域變化情況，如圖12所示。

圖11 升、降軌發射滑行時間曲面及其解集示意圖Fig.11 Schematic diagram of coasting time surface and its solution set by ascending/descending launch

圖12 出發速度為2～9 km/s時解集變化情況Fig.12 Solution set change when departure speed is 2～9 km/s

當出發速度矢量較小時，在M赤緯方向存在較多解。隨著出發速度矢量大小逐漸增大，解集范圍向高緯方向移動，也就是說此時如果深空出發方向要求M點的赤緯過于偏南，則無論θ角取何值，均不會存在滿足滑行時間約束的發射機會。

4 利用“赤緯-能量”(δ-C3)圖描述運載火箭深空發射能力方法

將射向和滑行時間約束下的解集表示為深空出發赤緯和速度大小的函數，并在圖上表示存在拼接解的可行域。在某一出發條件下，只要存在可以拼接的停泊軌道，則認為該點處在可行域內。對于滑行時間約束為200 s～1000 s，射向約束為95°～105°的情況，其可行域如圖13所示。

圖13 滑行時間與射向可行域示意圖Fig.13 Feasible domain of coasting time and launching azimuth

從圖13可以看出，兩部分陰影區域分別對應射向約束和滑行時間約束，重疊區域即為同時滿足兩種約束的總可行域。可以看出射向約束的變化與vdpt大小無關，且關于δ=0°對稱，這與第3.1節中結論一致。

滑行時間約束隨著vdpt大小的增大而逐漸減小，并關于δ=H0對稱。進一步根據特殊點性質判斷可行域邊界隨速度大小的變化情況，可以推導得到，在vdpt處，臨界滑行時間約束對應的赤緯臨界值δcr計算如式(12)所示。

δcr|vdpt=H0±(φc+φLI-φMP|vdpt)

(12)

根據式(12)，可以省去數值計算判斷某點是否存在拼接解，而是直接畫出可行域邊界曲線，進而快速判斷結果。以射向約束為95°～105°，滑行時間約束下限為200 s、上限分別為1000 s～2200 s的情況為例，畫出δ-C3圖及可行域邊界如圖14所示。

圖14 不同滑行時間對應可行域變化圖Fig.14 Feasible domain change under different coasting time

隨著滑行時間上限的提升，可行域逐步擴大，當滑行時間上限超過1400 s時，δ-C3圖右上角已基本不存在無解區域，說明可以勝任所有北半球出發情況。計算發現，當滑行時間上限取至2300 s后，圖14范圍內所有區域均變為可行域。

針對不同型號的運載火箭和發射場位置，均可根據式(11)～式(12)快速畫出其δ-C3圖上的可行域范圍，進而能夠直接判斷某一出發條件是否能夠在限制條件內完成彈軌道拼接。

對于特定目標和轉移方式的深空探測軌道，其出發速度在δ-C3圖上也表現為特定區域形式。考慮從地球出發直接轉移至火星的探測軌道，在Pork-Chop圖上篩選總速度增量小于10 km/s區域，遍歷取點并將其表示在δ-C3圖中，如圖15所示。

圖15 在δ-C3圖中表示火星探測窗口Fig.15 Representing Mars detection window in δ-C3 diagram

圖15中，灰色矩形區域代表95°～105°的射向可行域，左右弧線間包圍的區域分別代表1000 s、1400 s、1800 s的滑行時間可行域，滑行時間的可行域關于28.5°呈對稱分布。從圖15可以看出，代表本窗口軌道方案的所有散點均處在1000 s滑行時間可行域內。若某個其他深空出發窗口在δ-C3圖中所代表的散點處在可行域范圍外，則說明該方案一定無法滿足火箭的發射約束。針對其他探測目標和其他軌道方案的深空探測彈軌道拼接問題，均可以使用此方法進行快速分析。

5 結論與展望

本文基于地球引力影響球模型，建立火箭無偏航情況下的彈軌道拼接模型，推導得到射向和滑行時間的數學表達式，計算并分析了不同出發情形下的彈軌道拼接規律，主要歸納得到以下3點結論：

1) 對于依靠脈沖機動飛出地球引力影響球的深空探測軌道與運載火箭彈道拼接問題，限定停泊軌道高度和發射場地理位置后，該問題具有1個自由度。這一自由度可以表征為停泊軌道繞出發速度過地心軸的轉角。停泊軌道升交點赤經和這一轉角一一對應，停泊軌道傾角會隨其在一定范圍內波動，出發點赤緯越低，停泊軌道傾角變化范圍越大。

2) 對于深空出發速度在天球上的赤緯不同，彈軌道拼接求解結果呈現不同規律。在停泊軌道公共點赤緯高于發射場地理緯度時，所有轉角的軌道面均可以求解得到升軌和降軌兩種發射模式；在停泊軌道公共點赤緯低于發射場地理緯度時，部分轉角取值時會存在無解情況。公共點赤緯越接近0°，無解區間越大，意味可選擇的停泊軌道區間更狹窄。

3) 針對指定型號運載火箭執行的深空發射任務，利用本文提出的δ-C3圖方法，可以將火箭在指定射向和滑行時間約束下的發射能力表示為δ-C3圖中的特定區域。如果深空出發點位于這一區域內，則意味著彈軌道拼接必然存在滿足發射約束的解，反之則必然無解。通過這一方法可以快速判斷任一深空出發速度條件是否具有工程上可行的發射機會。

本文研究并未考慮火箭射向、滑行時間等與運載能力的對應關系，可以在此模型基礎上進一步補充研究。