激活思維，提升能力
——一節(jié)數(shù)學(xué)課的教學(xué)改進(jìn)與思考

（桐鄉(xiāng)市洲泉中學(xué)，浙江 嘉興 315000）

學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)各種思維障礙，其原因是多方面的，但主要的原因是數(shù)學(xué)課堂中大量存在著缺少學(xué)生參與數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的現(xiàn)象，往往略去了知識(shí)的探究過(guò)程，取而代之的是教師一言堂和機(jī)械的訓(xùn)練。尤其是優(yōu)等生缺乏對(duì)知識(shí)的“火熱”思考和主動(dòng)建構(gòu)，因而思維能力的提升就無(wú)從談起。《新課標(biāo)》指出，數(shù)學(xué)教育既要使學(xué)生掌握現(xiàn)代生活和學(xué)習(xí)中所需要的數(shù)學(xué)知識(shí)和技能，更要發(fā)揮數(shù)學(xué)在培養(yǎng)人的思維能力和創(chuàng)新能力方面的不可替代的作用。數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)，特別是課堂教學(xué)應(yīng)激發(fā)學(xué)生興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生積極性，引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，要注重培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣，使學(xué)生掌握恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法。為此，我校對(duì)九年級(jí)學(xué)生實(shí)施分層教學(xué)，給優(yōu)等生創(chuàng)造了一個(gè)良好的課堂學(xué)習(xí)氛圍，同時(shí)也為數(shù)學(xué)教師們提供了分層教學(xué)的環(huán)境。

一、留足時(shí)間，打開思維通道

陶行知認(rèn)為，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要留給學(xué)生動(dòng)腦的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生有較充分的思考時(shí)間和空間，發(fā)表自己的見解，這樣才有助于培養(yǎng)學(xué)生的探究精神，訓(xùn)練學(xué)生的創(chuàng)新思維能力。優(yōu)等生除了掌握基本的知識(shí)和概念以外，更應(yīng)該注重能力的培養(yǎng)，課堂是培養(yǎng)優(yōu)等生思維能力的最佳基地。

下面以《浙教版九下數(shù)學(xué)§2.1 直線與圓的位置關(guān)系（1）》中的例5、例6 為例，通過(guò)兩種教學(xué)方式的比較，來(lái)驗(yàn)證：在數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)中，把時(shí)間還給學(xué)生，更有助于激發(fā)學(xué)生的思維，打開學(xué)生的思維通道。

例5 木工師傅可以用角尺測(cè)量并計(jì)算圓的半徑.如圖1，用角尺的較短邊緊靠⊙O于點(diǎn)A，并使較長(zhǎng)邊與⊙O相切于點(diǎn)C.記角尺的直角頂點(diǎn)為B，量得AB=8cm，BC=16cm。求⊙O 的半徑.

（一）克扣時(shí)間，效果不佳

在之前的教學(xué)中，筆者總是為了能夠順利地完成教學(xué)任務(wù)，

克扣學(xué)生的思考時(shí)間，便迫不及待地在課件中呈現(xiàn)早已設(shè)置好的幾個(gè)小問(wèn)題。如例題5 會(huì)設(shè)置以下幾個(gè)問(wèn)題：

（1）遇到切點(diǎn)，我們往往會(huì)將切點(diǎn)與誰(shuí)連結(jié)？（連結(jié)圓心和切點(diǎn)）；

（2）求半徑長(zhǎng)度，可構(gòu)造哪一種圖形？

（3）當(dāng)圖形中出現(xiàn)多個(gè)直角時(shí)，可構(gòu)造哪一種特殊四邊形？

通過(guò)這種逐步引導(dǎo)的方式來(lái)幫助學(xué)生形成解題思路，最終通過(guò)師生的短暫互動(dòng)得到下面“方法二”的解題過(guò)程，以致優(yōu)等生朝著教師課前設(shè)置好的思路走下去。這樣雖能完成教學(xué)進(jìn)度，但學(xué)生沒有了自己的思考時(shí)間和空間，久而久之會(huì)對(duì)老師產(chǎn)生依賴心理，導(dǎo)致學(xué)生在做作業(yè)時(shí)，一旦沒有教師在旁指點(diǎn)一二，便不能夠很好地完成有難度的習(xí)題。

（二）放手一搏，喜出望外

暫停講解，先給學(xué)生足夠時(shí)間思考，接著傾聽他們的思考過(guò)程和結(jié)果，再進(jìn)行點(diǎn)評(píng)和引導(dǎo)。

經(jīng)過(guò)5 分鐘的思考，學(xué)生首先提供的是下面的方法一

（我很茫然，輔助線添加得也太多了一點(diǎn)，但我還是打算耐心地聽一聽）

師：生3很棒，大家的想法也很默契！那么同學(xué)們還有其他的解決方法嗎？

（停頓了一會(huì)兒后，見學(xué)生們沒有思緒，稍作提示。）

師：同學(xué)們的剛才的解決方法使通過(guò)相似三角形的性質(zhì)求出半徑的，那求線段的長(zhǎng)度除了這個(gè)方法外，還有哪一種更常用的方法呢？……

生4：勾股定理

師：很好，那如何來(lái)構(gòu)造這個(gè)直角三角形呢？請(qǐng)同學(xué)們結(jié)合題中的條件再次思考。最后在大家的相互協(xié)作下，完成了下面的“方法二”。

通過(guò)課后反饋，學(xué)生首先想到的是用勾股定理求出線段AC 的長(zhǎng)；接著根據(jù)AC 在圓中扮演“弦”的角色，又因?yàn)樗蟮氖菆A的“半徑”，自然而然想到了垂徑定理，還有部分學(xué)生運(yùn)用的是等腰三角形三線合一性質(zhì)，故而如此添加輔助線；再根據(jù)多個(gè)直角（∠B，∠OCB），并結(jié)合圖形，又進(jìn)一步聯(lián)想到了K 字形相似，從而解決了問(wèn)題（即方法一）。可見學(xué)生的想法自然，清晰到位，并且計(jì)算簡(jiǎn)單，并不遜色于書本提供的方法。若教師一味地牽著學(xué)生的鼻子走，不但不利于學(xué)生智力的開發(fā)，還會(huì)大大打擊學(xué)生們的學(xué)習(xí)自主性。接著以相同的課堂教學(xué)方式，分析并完成了例6 的教學(xué)。

例6 已知如圖,4，直線AB 與⊙O 相切于點(diǎn)C，AO 交⊙O 于點(diǎn)D，連結(jié)OC，CD.求證：（注：幾何知識(shí)中倍角關(guān)系的證明是一個(gè)重要的知識(shí)點(diǎn)，學(xué)生急需掌握相應(yīng)的解題思路和方法。）

課堂上給優(yōu)等生充足的時(shí)間和空間，有利于激發(fā)他們?nèi)グl(fā)現(xiàn)和去創(chuàng)造的強(qiáng)烈欲望，加深他們對(duì)所學(xué)知識(shí)的深刻理解，訓(xùn)練他們對(duì)數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法的嫻熟運(yùn)用，鍛煉他們思維的廣闊性和深刻性、靈活性和獨(dú)創(chuàng)性，從而培養(yǎng)他們的思維品質(zhì)。

二、及時(shí)總結(jié)，把握思維方向

及時(shí)總結(jié)可以幫助優(yōu)等生理清所學(xué)知識(shí)的層次結(jié)構(gòu)，掌握其外在的形式和內(nèi)在聯(lián)系，形成知識(shí)系列及一定的結(jié)構(gòu)框架。通過(guò)對(duì)所解問(wèn)題的及時(shí)總結(jié)，可以幫助優(yōu)等生掌握解題的方法和經(jīng)驗(yàn)，從而提高他們的思維能力。

課堂教學(xué)中，當(dāng)學(xué)生被激發(fā)出多種思維解決同一問(wèn)題以后，一定要采取及時(shí)總結(jié)的措施，幫助學(xué)生一起整理解決問(wèn)題的思路和方法，讓他們的能力更加精進(jìn)。經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期的訓(xùn)練，會(huì)讓優(yōu)等生養(yǎng)成及時(shí)總結(jié)的良好習(xí)慣，有助于他們?cè)谧隽?xí)題的過(guò)程中把握思維的方向，有效地解決問(wèn)題。

對(duì)于方法的總結(jié)要簡(jiǎn)潔、準(zhǔn)確，把握解題的中心，因此我采用“希沃爾技術(shù)”呈現(xiàn)解題方法的詳細(xì)過(guò)程，便于優(yōu)等生回憶解題過(guò)程；再借助“學(xué)科思維導(dǎo)圖”整理各種方法的解題思路，便于學(xué)生進(jìn)行比較和總結(jié)，讓學(xué)生能夠根據(jù)所求問(wèn)題，掌握解題的技巧，積累解題的經(jīng)驗(yàn)。

（一）總結(jié)例5，把握求線段長(zhǎng)度的思維方向

師：請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)上述兩個(gè)方法的解題思路，請(qǐng)思考一個(gè)問(wèn)題：當(dāng)我們?cè)俅斡龅接嘘P(guān)求線段長(zhǎng)度的問(wèn)題時(shí)，可從哪些方向入手去尋找問(wèn)題所需的條件，然后根據(jù)題中各個(gè)已知條件展開合情推理，找到問(wèn)題解決的思路和方法呢？

結(jié)合剛剛的思路整理，采用“逆推”的方式，借助思維導(dǎo)圖，便能簡(jiǎn)潔、清晰地展示求線段長(zhǎng)度的基本思路和方向。通過(guò)這樣的方式進(jìn)行整理和總結(jié)，讓學(xué)生掌握及時(shí)總結(jié)的方法。

任務(wù)：請(qǐng)同學(xué)們?cè)谡n后翻閱做過(guò)的類似習(xí)題，找找還有沒有其他方法可用來(lái)求線段的長(zhǎng)度，并進(jìn)一步完善“求線段長(zhǎng)度”的思維導(dǎo)圖。通過(guò)對(duì)方法的整理和歸類，有助于優(yōu)等生今后更加有效地落實(shí)課堂和課后作業(yè)，幫助他們減輕學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)，從而能騰出更多的時(shí)間去思考、去鉆研，讓他們的能力得到進(jìn)一步的提升。

（二）總結(jié)例6，把握證倍角關(guān)系的思維方向

證明倍角關(guān)系是初中數(shù)學(xué)幾何中的一塊重要內(nèi)容，因此把握思維方向，掌握方法很重要，那么證明倍角關(guān)系又有哪些思維方向呢？先結(jié)合例6 的兩種方法，進(jìn)行思路整理。再讓學(xué)生根據(jù)上述兩幅思維導(dǎo)讀，并結(jié)合例5 思維導(dǎo)圖的方法，完成右圖這一幅有關(guān)倍角關(guān)系證明的導(dǎo)圖。

通過(guò)對(duì)證倍角關(guān)系思維和方法的總結(jié)，有助于優(yōu)等生加強(qiáng)幾何問(wèn)題的證明和邏輯思維的培養(yǎng)。

首先根據(jù)解題方法縷清思路，再用逆向思維總結(jié)方法，是初中數(shù)學(xué)常用的學(xué)習(xí)方法。要讓學(xué)生具備這樣的能力，及時(shí)總結(jié)必不可少。一旦養(yǎng)成良好的總結(jié)習(xí)慣，可為優(yōu)等生今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究、能力的鍛煉打下堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。

三、延伸拓展，提升思維能力

知識(shí)的延伸拓展和方法的應(yīng)用，可以有效地促進(jìn)知識(shí)的遷移，同時(shí)能提高優(yōu)等生的學(xué)習(xí)積極性，培養(yǎng)參與意識(shí)；促進(jìn)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的形成，架構(gòu)思維的橋梁，提升優(yōu)等生的思維能力。

為了讓學(xué)生感受到總結(jié)的作用，同時(shí)檢測(cè)剛才的教學(xué)是否有效，“延伸拓展”這一環(huán)節(jié)便可起到一舉兩得之功效。

（一）精選習(xí)題

（2）如圖8，當(dāng)當(dāng)∠A ＜90°時(shí)，請(qǐng)判斷第（1）小題的結(jié)論是否仍成立，并說(shuō)明理由。

讓學(xué)生通過(guò)對(duì)這個(gè)習(xí)題的練習(xí)，了解在初中數(shù)學(xué)幾何問(wèn)題的學(xué)習(xí)中，可通過(guò)倍角關(guān)系去證明線段之間的關(guān)系，從而掌握知識(shí)點(diǎn)之間是相互聯(lián)系，不可分割的，它們能組成一個(gè)強(qiáng)大的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。同時(shí)讓優(yōu)等生了解到證線段的關(guān)系不光可以從線段本身入手，還可以從角之間的關(guān)系、邊角的關(guān)系去落實(shí)，達(dá)到升華思維之目的。

（二）解決問(wèn)題

優(yōu)等生有了思考的方向，更應(yīng)該放手，將課堂再次還給他們，由他們?nèi)?chuàng)造和發(fā)揮。先單獨(dú)思考，再合作討論，最后由他們通過(guò)自己的智慧，去收獲喜悅。

（三）課后作業(yè)

請(qǐng)同學(xué)們于課后完成下面習(xí)題：

（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）連結(jié)OB，點(diǎn)P 為x軸下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P 作OB 的平行線交直線AB 于點(diǎn)Q，當(dāng)S△POQ：S△BOQ=1：2 時(shí)，求出點(diǎn)P 的坐標(biāo).（坐標(biāo)平面內(nèi)兩點(diǎn)M之間的距離

布置這個(gè)問(wèn)題的目的是讓學(xué)生通過(guò)對(duì)第三小題的解答，總結(jié)出：我們可以通過(guò)作角平分線證倍角關(guān)系，那么證倍長(zhǎng)關(guān)系，可以通過(guò)取線段中點(diǎn)，通過(guò)類比的方式，找到思維的突破口，把握思維的方向，促成思維能力的提高。

總之，對(duì)于初中數(shù)學(xué)優(yōu)等生的教學(xué)，除了教會(huì)他們掌握基本的知識(shí)和概念以外，更應(yīng)注重他們能力的培養(yǎng)。因?yàn)橹挥刑岣邇?yōu)等生的思維能力，讓他們學(xué)會(huì)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題、總結(jié)方法、積累經(jīng)驗(yàn)并學(xué)會(huì)運(yùn)用，才能從根本上解決他們的學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)，減輕他們的心理壓力，真正達(dá)到“學(xué)為中心”、“輕負(fù)高效”之目的。