基于“兩個過程”合理性思考下的復習課設計一例

王 凱 王紅權

(浙江省杭州市普通教育研究室 310003) (浙江省杭州市源清中學 310015)

我們都知道，數學學習不僅要“知其然”，更要“知其所以然”，我國著名數學教育家傅種孫先生還提出“知何由以知其所以然”.人民教育出版社中數社多位參與教材編寫的資深編輯在新教材使用培訓時反復提及在教學過程中數學核心素養的滲透可以借助“兩個過程”的合理性，即數學知識發生發展過程的合理性和學生思維過程的合理性[1].筆者覺得不僅新授課應該如此，復習課也需要有這樣的理念，學生的數學能力方能拾階而上，將數學核心素養落地生根.筆者以自己在農村中學的一節支教課為例，來談一下基于“兩個過程”合理性思考下的高考復習課設計.

1 教學目標及目標內容解析

目標問題(2015浙江理·18)已知函數f(x)=

x2+ax+b(a，b∈R)，記M(a,b)為|f(x)|在x∈[-1,1]時的最大值．(1)證明：當|a|≥2時，M(a,b)≥2；(2)當a，b滿足M(a,b)≤2，求 |a|+|b|的最大值．

該題是2015年浙江卷中難度最大的試題，全省17．7萬理科考生的平均成績為2．2分(滿分15分)．筆者將要去支教的是一所農村薄弱學校，如何讓學生通過一節課時間突破這個問題，任務頗為棘手．

目標解析該題考查函數的單調性與最值之間的關系，線性規劃和三角形不等式等知識；同時也考查數形結合、轉化化歸、分類討論等數學思想，綜合程度和抽象程度均較高，特別是對絕對值的處理學生較為陌生．為此筆者的設計按照以下兩條線索展開，其一為明線：通過分析一次函數的最值問題，數形結合，由淺入深，由表及里得到二次函數相關最值問題的解決方案(即數學知識發生發展過程的合理性)；其二為暗線：透過問題通過聯想學習解題，啟智并獲得理性提升，開啟學生學會思考的大門(即學生思維過程的合理性).

問題診斷由于題目中不僅出現含絕對值的二次函數，還出現了a，b兩個參數，后者在高三平時的訓練過程中很少出現，所以這個題目給考生的第一感覺就是抽象程度高，而且比較陌生，所以難度大．

2 教學設計

解題教學是高中數學課堂的一個重要主題，但高中三年學生都是在不停地做題，而到考試的時候經常還是不會．學生為什么不怕難題怕生題？筆者認為，教師在平時的課堂教學中缺少對數學本質的揭示，沒有遵循學生思維發展的過程，以致學生數學能力提升缺乏必要的平臺．

基于本節課的目的和學情，筆者將這節課定位于這道高考題第(1)問的解決，這個問題的解決要和學生講清楚以下三個問題：1)具體函數僅僅是問題的背景；2)把握問題中對量詞的要求；3)函數單調性決定最值．在這樣的理解下，最后筆者將課題定為：探秘一類函數的最值問題．

問題1設函數f(x)=x-2．(1)若存在x0∈[1,4]，使得f(x0)≥t成立，求實數t的取值范圍；(2)對任意x∈[1,4]，都有f(x)≥t成立，求實數t的取值范圍.

圖1

課堂生成片段

生1：根據圖1，知(1)t≤2；(2)t≤-1.

師：能歸納出一般的解題方法嗎？

生2：若存在x0∈D，使得f(x0)≥t成立，則t≤[f(x0)]max；若對任意x∈D，使得f(x)≥t恒成立，則t≤[f(x0)]min．

師：請用同樣的方法完成下面的練習：設函數f(x)=x2+2x-2．(1)若存在x0∈[-2,1]，使得f(x0)≥t成立，求實數t的取值范圍.(2)對任意x∈[-2,1]，都有f(x)≥t成立，求實數t的取值范圍.

設計意圖從最簡單的一次函數入手，通過數形結合，利用函數圖象的直觀讓基礎最為薄弱的學生能動手、用眼、用腦，讓他們能收獲成功，吸引他們愿意投入精力和興趣是開局設計的關鍵.這一開局雖看似簡單直觀，但已包含整節課的核心，且正好在學生的最近發展區內，符合薄弱學校的認知基礎(有了數學知識發生發展過程合理性的前提條件).讓學生感悟在不同量詞的表述下和函數最值的一些相關關系，進而得到一些普遍性的結論(為學生思維進階提供了基礎)．

教學實踐證明這樣做是合適的.學生通過動手和思考基本能解決問題1，并能歸納得到問題的更普適的結論.同時，將改變問題情境為二次函數后，學生能順利解決，收獲自信．

問題2設函數f(x)=x2+ax-2，a≥2,若存在x0∈[-1,1]，使得f(x0)≥t成立，求實數t的取值范圍.

課堂生成片段

圖2

師：這意味著什么？

生4：給定的二次函數在區間[-1,1]上單調遞增，這樣問題就轉化為問題1一樣的解決思路，即只需要t≤[f(x0)]max=f(1)=a-1．

設計意圖在學生的最近發展區建立支架(在二次函數中嵌入一個有范圍的參數)，借助學生之前的習得(前兩個問題的解決)，幫助學生沿概念框架逐步攀升，以達到學生對數學理解從一個水平提升到另一個新的更高水平的目的(讓學生的數學知識和思維都在原有的基礎上有了小步的提升).

問題3設函數f(x)=|x2+ax-2|． (1)對任意a≥2，記M(a)為f(x)在x∈[-1,1]時的最大值，求M(a)；(2)對任意|a|≥2，記M(a)為f(x)在x∈[-1,1]時的最大值，求M(a).

課堂生成片段

生5：把原來的函數加上絕對值后，圖象發生了變化，將x軸下方的圖象關于x軸做了對稱(圖3)．

圖3

師：你能說說與問題2的區別嗎？

生6：函數在給定區間里不單調了，先減后增．

師：如何解決？

生7：f(x)的最大值可能在區間的兩個端點取到，即M(a)=max{|f(-1)|，|f(1)|}=max{|-a-1|，|a-1|}.

師：能否進一步化簡結果？

生8：可以利用a≥2來去絕對值M(a)=max{|-a-1|， |a-1|} = max{a+1，a-1} =a+1．

生9：也可以在同一坐標系下作函數f(a)=|-a-1|和f(a)=|a-1|的圖象(圖4)，比較大小可知M(a)=a+1．

圖4

設計意圖由于之前引導幫助多一些，到 這時的逐漸減少，通過愈來愈多地放手讓學生自 己探索，使學生在宏觀的層面上形成了自己的解 題經驗(為學生思維提升提供了平臺)．在解決M(a)=max{|-a-1|,|a-1|}時用兩個不同的視角，也為進一步解決最終的問題做了方法上的儲備．

目標問題(2015浙江理·18(1))已知函數f(x)=x2+ax+b(a，b∈R)，記M(a,b)為 |f(x)|在x∈[-1,1]時的最大值．證明：當 |a|≥2時，M(a,b)≥2．

課堂生成片段

師：這個問題和問題3一樣嗎？

生10：除了多了個b沒有任何區別．

師：那么能解決嗎？

生11：由問題3的解法有M(a,b) = max{|f(-1)|,|f(1)|}=max{|1 -a+b|, |1 +a+b|}．

師：余下的問題是——

生12：說明max{|1-a+b|,|1+a+b|}在 |a|≥2時的最小值為2．

師：能解決嗎？問題3對我們有幫助嗎？

生13：好像用代數法去絕對值不行．

師：那么用函數圖象的方式呢？

生14：同一坐標系下作f(b)=|b-(a-1)|和f(b)=|b-(-a-1)|的圖象．

師：可以直接作圖嗎？

生15：需要知道a-1和-a-1的大小．

師：具體怎么做？

生16：分成a≥2和a≤-2討論.

討論后得到圖5(a≥2)和圖6(a≤-2).

圖5

生17：所以max{|1-a+b|,|1+a+b|}≥ |a|≥2，命題得證．

圖6

設計意圖通過由淺入深的過程，使原來復雜的問題逐漸變得明朗.在之前生成的思維成果基礎上達到對當前所學概念比較全面、正確的理解，讓學生理解問題本質，進而學會掌握問題的方法，即最終完成對所學知識的意義建構．

3 課后練習

設計意圖讓學生進一步消化和鞏固課堂所生成的成果．

4 教學反思

復習課的教學過程中會有兩種情況發生：一種是學生做對了，教師一帶而過，就此終了；還有一種就是在學生生成的解題過程上暴露其解題思路．若是后者，教學中教師要從學生的認知起點出發引導學生尋求思維的生長點與發展方向，教師應該從數學學科的整體結構、核心內容上整體把握和認知數學教學內容，設計和學生的認知水平與自主思維相符合的問題探究和解決策略，給學生充分的時間和空間來進行探究分析，讓其更好地理解數學.始終堅持把學生數學知識發生發展過程和思維進階的合理性放在首位，改變重結論輕過程的教學陋習.這也是培養學生數學核心素養的抓手，把完整的數學教給學生，全面發揮數學的育人功能.高中數學復習課對學生來說不應該是炒冷飯，而應該是提升綜合能力的一個載體，數學復習課的教學設計要堅持“兩個合理性”的理念，講好數學就是發展數學核心素養.