側重計算機仿真的數學物理方程教學探索

李永利 孫志濱

摘 要：數學物理方程主要研究以物理學和工程技術中提出的偏微分方程，作為我校數學與應用數學專業的本科專業選修課。以公式推導為主的傳統教學模式，使學生理解較困難。本文對數學物理方程教學方式進行探索，對波動方程進行分離變量得到方程解析解，并利用Matlab數學軟件作為輔助教學手段動態地顯示數值解的情況，增強學生的理論與應用能力，激發學生學習興趣，提高課程的教學效率。在本科教學實踐中切實加強計算機仿真的地位。

關鍵詞：數學物理方程;Matlab;分離變量;教學案例;偏微分方程工具箱

一、課程性質及地位

數學發展的兩條清晰軌跡;純理論性發展，以及與物理等實體科學和工程問題相結合的發展[1]。本課程既數學的純理論，又是研究物理等學科的工具。數學物理方程主要研究以物理學和工程技術中提出的偏微分方程[2]。其任務是建立數學偏微分方程模型，尋找偏微分方程模型的解，并進行理論分析，進而達到解釋與描述物理現象的目的[3]。

數學物理方程是為我校理學院為數學與應用數學專業本科生開設的數學選修課，也是數學與應用數學專業人才培養目標的核心課程。其先修課程是數學分析，高等代數，常微分方程、復變函數與積分變換。該課程也是高校教學中難度較大、學生學習興趣較低的課程之一。本課程旨在讓學生掌握數學物理方程的概念、求解方法、基本理論，學會運用所學知識，利用Matlab軟件對實際問題進行模擬仿真。

本文結合專業的教學特點，遴選重點內容，突出課程的應用性。數學物理方程的解析解求解過程較為煩瑣，甚至在實際應用中很難得到，且很難直觀地理解解的物理意義。本文嘗試將計算機仿真引入到課程教學中。應用Matlab軟件，編程或者利用PED工具箱，對解進行模擬仿真。教學過程加入計算機仿真的內容，能夠切實加強培養同學們的數學建模能力、編程實踐能力和創新思維能力。豐富教學內容，提高學生的積極性。

二、教學內容

分離變量法是求解數學物理方程定解問題的基本方法。其基本思想是將多變量的偏微分方程轉變成幾個單變量的常微分方程，逐一求解。利用線性偏微分方程的疊加原理，得到解析解的級數形式。主要討論有界區域上的波動方程、熱傳導方程、泊松方程。涉及簡單的常微分方程理論的預備知識。本文以波動方程為例設計教學。

三、教學過程

數學物理方程的三類典型的方程：波動方程、熱傳導方程、泊松方程可以總結成如下的表示形式：

波動方程屬于雙曲型偏微分方程，熱傳導方程屬于拋物型偏微分方程，泊松方程屬于橢圓型偏微分方程。

二維波動方程：

考慮膜振動問題：一個邊長為a和b的矩形膜置于x-y平面的第一象限，其中四周被固定，膜的初始位移與初始速度為任意函數，確定任意點（x，y）在任意時刻t的位移u（t，x，y），即求解下面的定解問題：

MATLAB模擬仿真：

研究矩形膜中心點的振動情況，取（x，y）=（12，12），取解析解的部分和，因為隨著k，l增大級數中的通項遞減，所以起主要作用的是解析解中的前若干項，根據精確度的需要，選擇合理的項數。k和l均的求和均選取前30項，MATLAB的模擬過程，如圖1：

又通過MATLAB的PDE工具箱，得到本定解問題的動態顯示，如圖2為一瞬間的波動分布情況。限于篇幅，未列出仿真程序。

四、結語

在數學理論上能夠得到數學物理方程的解析解，當解析解是初等函數時，是可以直接求解，并用計算機呈現出精確解。當解析解為非初等函數時，分離變量法得到的解析解是級數形式，通過選取有限項近似，讓學生體會解析解的內涵與應用。另一方面，實際計算模擬中，可能用不到解析解的形式，只用到數值解的形式，涉及數值計算方法，例如有限差分法，有限元法等，需要學生繼續學習與探索。數學物理方程的求解和數學建模以及對其進行計算機仿真具有重要意義。

本文主要講授對波動方程進行分離變量法求解方程解析解，給出仿真的結果并能動態地顯示數值解的情況。仿真模擬結果能更直觀地顯示解的意義，增強學生的感性認識。學生可以就本文學習波動方程的方式，學習雙曲型、拋物型、橢圓型方程。

在今后的教學中還需繼續進行新的探索，使計算機仿真在教學實踐中發揮更大的作用。還應意識到計算機仿真不僅存在《數學物理方程》教學中具有重要意義，而且在其他許多學科教學中也應該加強計算機仿真的重要作用和地位。

參考文獻：

[1]顧樵.數學物理方法[M].北京：科學出版社，2018.

[2]姜禮尚，陳亞浙，等.數學物理方程講義（第3版）[M].北京：高等教育出版社，2006.

[3]季孝達，薛興恒，等.數學物理方程（第2版）[M].北京：科學出版社，2009.

作者簡介：李永利（1990—），女，漢族，河北邯鄲人，碩士，助教，研究方向：偏微分方程數值解。