地鐵線路區間縱斷面節能設計優化模型

柏 赟，白 驍，孫元廣，李佳杰，周雨鶴

(1.北京交通大學 綜合交通運輸大數據應用技術交通運輸行業重點實驗室，北京 100044；2.北京市基礎設施投資有限公司，北京 100101；3. 廣州地鐵設計研究院股份有限公司，廣東 廣州 510176)

隨著運營里程的日益增長，地鐵系統能源消耗也逐漸攀升，其節能降耗引起了行業管理部門和運營單位的重視。列車牽引能耗一般占地鐵系統能源消耗總量的一半以上，列車牽引節能是目前的研究熱點之一。地鐵牽引能耗不僅受運營方案和列車操縱的影響[1-2]，也在很大程度上取決于系統的規劃設計方案如列車選型和線路設計等[3-4]。

20世紀70年代以來，國內外學者對線路縱斷面的節能優化設計展開了研究。Hoang等[5]基于最優控制理論構建了列車節能操縱優化模型，并結合列車運行特點提出了啟發式算法求解區間節能坡設計方案。Kim等[6]和何永春[7]研究發現出站下坡和進站上坡的縱斷面布置形式有助于降低列車牽引能耗。劉海東等[8]從列車屬性、線路條件等角度分析了影響列車牽引能耗的因素，并指出節能坡設計尤其適合于站間距較短的城市軌道交通線路。梁廣深[9]和樂建迪[10]分別基于列車速度位移曲線和牽引計算仿真結果分析了給定設計速度下節能坡的坡長和坡度取值范圍。上述研究雖給出了地鐵線路縱斷面節能設計的方法和原則，但尚未構建優化模型直接求解最優的區間縱斷面設計方案。

近年來，陳進杰等[11]構建了高速鐵路區間節能坡優化模型，并設計了遺傳算法求解最優的變坡點及其高程，使單方向運行的列車牽引能耗和運行時分的加權和最小，但未考慮縱斷面設計方案對同一區間的對向列車運行時分和能耗也有影響。Lai等[12]在考慮列車運行行為的基礎上構建了城市軌道交通線路平縱斷面的優化模型，采用遺傳算法求解三維空間中的線路最優設計方案，使系統全生命周期成本最小。需要指出的是上述模型并未充分考慮地鐵設計規范的要求，忽視了縱斷面設計方案因受地下建筑、樁基、排水管線和土質等因素影響需避讓不良地質區域。因此，既有模型所得方案并不能保證可實施性，亟需研究考慮實際約束與設計要求的地鐵線路縱斷面設計模型。

本文綜合考慮高程控制約束和坡度、坡長及變坡點位置要求等，以上、下行列車牽引能耗之和最小為目標，建立地鐵站間縱斷面優化模型并求解。最后，以國內某城市地鐵線路為例，比較實際方案和本文優化方案下的能耗與時分等技術經濟指標，驗證模型與算法的有效性。

1 問題描述

地鐵線路設計是在已知線網規劃的基礎上確定某一條或某一段線路在城市三維空間中的具體位置，主要包括車站位置選擇、平面設計和縱斷面設計。一般來說，縱斷面設計在確定車站位置并完成平面設計之后進行，需考慮線路地理條件以及列車安全平穩運行的要求，明確任意兩個車站之間的坡段設計以及坡段間的過渡連接。

線路縱斷面設計主要包括各坡段坡度和坡長的設置以及坡段毗連處的豎曲線設計。坡段的坡度和坡長決定了列車運行附加阻力，進而影響列車牽引能耗和運行時分。通過優化站間區間的坡段組合方式以及相關參數，能夠顯著節約列車牽引能耗[8]。同時，當兩個相鄰坡段的坡度差大于等于2‰時，變坡點處須設豎曲線以保證行車安全平順。豎曲線設計在確定區間坡段設計方案后完成，需從地鐵設計規范中選取合適的曲線半徑[13]。由于豎曲線對列車運行時分和牽引能耗的影響極小，本文主要研究區間的坡段設計方案，不對豎曲線做詳細分析。

地鐵線路設計的目標主要是在保證列車安全平穩運行的前提下實現工程造價和運營費用的節約。地鐵新建線路目前一般采用安全性高、效率快的盾構法施工。采用盾構法施工時，線路縱斷面設計方案一般不影響土石方成本，對工程造價的影響很小，但對后期運營成本如列車牽引能耗的影響非常顯著。地鐵線路服役年限一般長達數十年甚至上百年，運營階段的列車牽引能耗成本總量相當巨大。因此，地鐵線路縱斷面設計應盡可能有利于減少運營階段的列車牽引能耗。

為保證列車安全平穩運行、避免坡停現象發生，地鐵設計規范規定了坡度、坡長的取值范圍和變坡點位置的要求[13]。此外，為保證設計方案的可行性，地鐵線路縱斷面設計還需考慮地理條件的限制，如地下結構頂板的覆土厚度要求、避開地下樁基、管線以及不良地質條件(如淤泥質黏土及流沙地層)等。

如圖1所示，本文在考慮地鐵設計規范要求和施工限制條件的基礎上，構建地鐵區間縱斷面節能設計優化模型，求解給定車站位置和平面設計方案下的區間最優坡度和坡長的組合方案為

Ω=[(L1,i1), (L2,i2),…, (Lk,ik),…, (LK,iK)]

式中：Ω為組合方案；ik為第k坡道的最優坡度，‰；Lk為第k坡道的最優坡長，m；K為坡道數量，K小于等于區間長度與最小坡長之間的除數。

圖1 地鐵區間縱斷面設計方案示意圖

2 模型構建

2.1 模型假設

模型基于以下假設：

(1) 線路的平面設計方案和車站位置(包括里程和高程)已知且固定不變。

(2) 列車采用站站停模式，在任一區間運行的初速度和末速度均為0 km/h。

(3) 列車的運行策略[12]為：出站之后以最大牽引力加速，提高至設計速度v后采用巡航工況，即勻速運行，當到達巡航-制動的工況轉換點后，列車以最大制動力減速進站。圖2中，巡航-制動工況轉換點由目標車站反推的制動曲線與前推的巡航曲線相交得到。當站間距較短時，列車無法加速到設計速度，則從牽引工況直接轉換到制動工況，轉換點由反推的制動曲線與牽引曲線相交得到。區間以Δs為單位劃分為若干個等距離的步長，x1、x2分別為巡航和制動起始位置所在步長，X為列車區間運行終點所在的步長。

圖2 列車操縱策略示意圖

2.2 目標函數

模型的優化目標是列車在區間雙方向運行的總牽引能耗最小。圖2中列車在區間的運行過程包括牽引、巡航(站間距較短時不存在)和制動3個階段。列車區間運行的牽引能耗主要來源于牽引和巡航階段，因為制動過程中幾乎不需要牽引能耗。

2.2.1 牽引階段能耗

在列車牽引加速階段，可以根據列車運動方程和功能轉換關系計算每個步長的牽引能耗[14]，然后對該階段所有步長的牽引能耗進行累加。牽引能耗Emotoring為

(1)

式中：F(vx)為第x個步長的牽引力，N，可根據該步長的列車運行速度vx在牽引特性曲線上查找具體數值得到；η為列車牽引電機傳動效率常數。

根據牛頓第二定律，各步長速度vx為

(2)

ax=F(vx)/m-[w0(vx)+wx(Ω)]g

(3)

(4)

式中：ax為第x個步長的列車加速度，m/s2；m為列車質量，kg；w0(vx)為該步長列車所受到的單位基本阻力，N/kN；wx(Ω)為該步長列車所受到的線路單位附加阻力，N/kN，取決于該區間的坡段設計方案Ω；g為重力加速度，m/s2；a、b、c為基本阻力方程參數。

2.2.2 巡航階段能耗

列車運行速度達到設定速度后將轉入巡航階段。在巡航階段，當列車基本阻力和線路附加阻力之和為正時(如上坡道)，需要一定的牽引力才能維持勻速運行。此時，列車牽引力在數值上等于列車受到的總阻力fx。總阻力fx為

fx=w0(vx)×m×g+wx(Ω)×m×g

(5)

若阻力之和為負數(如陡下坡)，列車需制動才能維持勻速運行，此時牽引力為零。因此，巡航階段的列車牽引力在數值為

(6)

根據功能轉換關系，巡航階段的牽引能耗Ecruising為

(7)

由于地鐵線路上下行列車一般共用一個隧道，區間縱斷面設計方案同時影響上下行列車的牽引能耗。因此，模型的優化目標為

(8)

2.3 約束條件

地鐵區間縱斷面設計的約束主要包括設計規范約束、地理條件對高程控制的約束和邊界條件約束。

2.3.1 設計規范約束

(1) 區間正線坡段的坡度和坡長約束

受列車牽引能力限制，區間正線坡段的坡道不宜過大。地鐵設計規范規定正線的最大坡度不宜超過30‰。此外，為方便區間排水，線路最小坡度不宜小于3‰，困難條件不小于2‰。imax、imin分別為區間正線坡度的上、下界限值，則

imin≤|ik|≤imaxk=2,3，…,K-1

(9)

為保證列車運行平穩性，地鐵設計規范要求各坡段長度不小于遠期列車長度[13]。另一方面，由于地鐵線路站間距較短且在區間應設置排水溝，單個坡段的長度也不宜過長。因此，區間正線坡段的坡長范圍約束為

Lmin≤Lk≤Lmaxk=2,3,…,K-1

(10)

式中：Lmax、Lmin分別為正線坡段坡長的上、下界，m；Lstation為站間距，m。

在實際設計中，區間正線坡段的數量不是固定值，但不會超過K。為方便模型求解，本文設定區間任意設計方案均有K個坡段，允許相鄰坡段的坡度值相等。對模型求解后，可對具有相同坡度值的相鄰坡段進行合并得到最終的線路縱斷面設計方案。

(2) 車站坡長和坡度約束

根據地鐵設計規范的要求，車站站臺范圍內的線路應設在一個坡道上。區間的第一個坡段i1和最后一個坡段iK屬于車站坡。為保證不發生停站列車溜車和站臺行李滑落等現象，地鐵車站坡段的坡度不宜太大。因此，車站坡段的坡度值不超過車站最大允許坡度imax-z，即

|ik|≤imax-zk=1,K

(11)

由于坡度值較小，車站坡段不宜太長以便于列車出站加速和進站減速。因此車站坡段的坡長L1和LK不能超過Lmax-z。為保證列車運行平穩性，車站坡段的長度也不宜太小。車站坡段的坡長約束為

Lmin-z≤Lk≤Lmax-zk=1,K

(12)

式中：Lmax-z、Lmin-z分別為車站坡段的最大、最小長度，m。

2.3.2 高程約束

(13)

式中：in-1為第n-1條豎線所在坡段的坡度值，‰。

根據前述網格線系統，設計高程點約束條件具體如下：

(1) 線路埋深約束

線路埋深約束指地下隧道的軌頂設計高程應小于地面高程減去隧道高度Hg以及最小覆土厚度Ta(軌頂到隧道外徑距離)之和，即

(14)

(2) 避讓高程點約束

地鐵線路縱斷面設計方案需考慮地下土質、建筑物樁基、管線等因素，避開無法施工或難度較大的區域。為保證所得方案可實施，設置避讓高程點約束為

Bn=[H1n,…，Hqn,…，HQn]Q

n=1,2,…,N

(15)

式中：Bn為第n條垂直線上需避讓的高程點總集合；Hqn則為第n條垂直線上第q個需避讓高程點;Q為需避讓高程點的數量。

2.3.3 邊界條件約束

列車在車站起點和終點處的速度應為零，即

V0=VX=0

(16)

列車運行計算步長之和、網格系統的長度均應等于設計區間的站間距，即

(17)

由于車站高程不可改變，相鄰車站的高程值、坡段的坡長與坡度應滿足

(18)

3 求解算法

上述優化模型具有非凸、非線性特征，決策變量較多且約束條件復雜，難以采用解析法求解。遺傳算法是一種從生物進化機理中發展出來的模擬進化算法，是求解這類大規模非線性問題的有效方法，在高速公路縱斷面優化設計上已有較多應用，取得了良好效果[15]。本文采用遺傳算法求解上述模型。遺傳算法從代表問題潛在解集的初始種群開始，按照優勝劣汰的原理，逐漸演化出適應度值更高的種群，最終逼近問題的最優解。算法流程見圖3。主要步驟如下：

(1) 種群初始化

將可能的縱斷面設計方案視為獨立個體，隨機產生包含P個獨立個體的初始種群。每個個體由若干基因表示，每個基因表示一個坡段的坡長或坡度，基因個數取決于坡段的數量。由于實數編碼方式具有運算簡單、大空間搜索能力強等優點，本文在此選用實數編碼方式。

(2) 適應度計算

圖3 算法求解流程圖

適應度是個體適應能力的評判標準。由于本文優化模型是求最小值，選取優化模型目標函數即列車在該區間雙向運行能耗的倒數作為適應度。當個體不滿足約束條件時，適應度取極大正數M之和的倒數，使不可行的個體在后續進化過程中被淘汰，提高算法的求解效率。

(3) 遺傳算子

遺傳算子分為選擇、交叉和變異算子，在求解過程中三者依次執行。本文采用輪盤賭選擇法作為選擇算子，適應度越好的個體有更高概率被選中去衍生下一代種群個體。對于交叉算子，采用常規的兩點交叉法對兩個已選擇的染色體進行基因交換。為此，需先從父代種群中采用前述選擇算子確定兩個個體，然后隨機確定一個交叉位置，最后以交叉概率Pc交換父代個體在該交叉位置上的基因進而產生兩個新的個體。對于交叉算子得到的每個個體，隨機確定擬變異的基因位，并以概率Pm執行變異算子，變異后新基因的值在該基因的合理取值范圍內隨機均勻選取。

如果交叉變異之后產生的新個體不符合約束條件，則在計算適應度前重新進行交叉變異操作，直至新個體滿足約束條件。具體來說，在選取兩個父代個體后對其進行交叉和變異操作，然后判斷新個體是否滿足約束條件，如果不滿足則拋棄新個體并對原始的兩個父代個體重新進行交叉變異，直至新個體滿足約束條件為止。需要指出的是，如果這兩個原始的父代個體交叉變異一定次數(本文取100)后仍不能產生滿足約束條件的子代個體，則說明這兩個父代個體不適合配對，此時重新從父代中選擇兩個個體進行交叉變異，以避免無效的交叉變異反復循環。

(4) 終止進化準則

當進化代數達到提前設定的代數G后，若最后兩代種群的最優適應度值不變，說明算法已收斂，則輸出末代種群的最優適應度值所對應的染色體并解碼得到最終的縱斷面設計方案。若算法尚未收斂，則最大進化代數在原數值基礎上增加5代直至結果收斂為止。

4 案例分析

本文選取某實際地鐵線路的兩個典型區間作為研究對象，對其縱斷面設計方案進行節能優化。該線路設計速度為80 km/h，配屬的列車為6節B型車，其牽引特性曲線見圖4。為了更直觀地表示出各坡段的坡長，將區間起始里程值都設為0。模型與算法的參數設置見表1。

圖4 列車的牽引特性曲線圖

表1 參數取值列表

4.1 車站高程相差較大的區間

第一個案例區間銜接的兩車站高程相差8.88 m，站間距914 m，避讓高程區域為橫坐標500～700 m、縱坐標4.8～12.8 m的矩形區域。優化前后的縱斷面方案及列車運行指標見表2，兩種方案下的列車速度位移曲線和能耗增加趨勢見圖5。

可以看出，在兩車站高程差較大時，采用先緩上坡后陡上坡 (另一方向為先陡下坡后緩下坡) 的單面坡設計形式是最為節能的設計方案。與出站就采用陡上坡相比，緩上坡有利于縮短列車加速時間進而減少牽引階段的時間和能耗。進站前采用較陡的上坡則有利于將列車動能轉換為勢能存儲。從另一方向來看，出站陡下坡更有利于列車加速，進站前采用緩下坡也比陡下坡有利于減少制動過程中的能量損失。盡管該區間的實際設計方案也采用了這種縱斷面形式，但由于坡度和坡長的選擇是基于仿真試湊的，其牽引能耗和運行時分指標均劣于本文優化方案。實際方案與優化方案的上下行總牽引能耗分別為48.5、46.9 kW·h，雙向總運行時分分別為138.1、132.65 s,比實際方案降低了3.2%，運行時分略有縮短。

表2 案例區間一的優化前后縱斷面方案及運行效果

圖5 案例一縱斷面優化前后的列車運行速度和能耗曲線

4.2 車站高程相近的區間

第二個案例區間銜接高程僅相差2.17 m的兩車站，站間距1 438.5 m，避讓高程區域為橫坐標200～ 400 m、縱坐標17～ 27 m的矩形區域。優化前后的縱斷面方案和列車牽引能耗及時分見表3，實際方案與優化方案上下行總牽引能耗分別為45.2、43.3 kW·h，雙向總運行時分分別為180.6、179.6 s。兩種縱斷面方案下的列車雙方向速度位移和能耗曲線見圖6。

表3 案例區間二的優化前后縱斷面方案及運行效果

圖6 案例二縱斷面優化前后的列車運行速度和能耗曲線

當區間銜接的兩個車站高程相近時，采用先下坡后上坡的V型縱斷面設計有利于節約列車牽引能耗。在本案例中，實際縱斷面方案已采用了V型坡設計，但未能得到最優的坡度和坡長組合方案。本文模型在綜合考慮區間設計速度、列車牽引特性以及縱斷面設計約束的基礎，求解得到了更為滿意的坡段組合方案。由圖6可知，優化方案設置的出站加速坡更接近車站且坡度更大，使列車更快地完成加速過程，從而節約了列車運行時分并使得牽引能耗降低了4.2%。此外，本文模型求解速度較快，只需幾分鐘就可以求解得到上述2個區間節能設計方案，與實際設計工作采用的仿真試湊方法相比可大幅度地提高設計效率。

4.3 車站高程差值的靈敏度分析

由上述分析可知，區間縱斷面設計方案很大程度上決定于相鄰兩個車站高程差。為此，以上述第二個案例區間為研究對象，僅更改第二個車站的高程值，并采用本文方法確定不同車站高程差下的最優縱斷面設計方案，見圖7。可以發現，當相鄰兩車站的高程差大于10 m時，采用單面坡的設計方案更為節能；當車站高程差小于10 m時，V型縱斷面設計方案更有利于牽引節能。造成上述現象的主要原因是，當車站高程差大于10 m時，即便設置單面坡，其坡度值已超過20‰，這已經為列車出站加速提供了便利的線路條件，此時無需設置為V型縱斷面。

圖7 不同高程差值的最優縱斷面布設方案

5 結論

本文結合地鐵設計規范，綜合考慮了區間的坡度坡長取值范圍、避讓高程點和線路埋深約束等實際工程設計中需考慮的因素，建立了給定車站高程下的地鐵區間縱斷面節能設計優化模型，并以某城市地鐵線路的典型區間為例證明了本文方法的適用性和效果。研究結果表明：當站間距比較短且兩站高程差較大時，采用先緩上坡后陡上坡(反方向為先陡下坡后緩下坡)的設計形式較為節能；當兩車站高程差相近時，采用高站位、低區間的V型縱斷面設計形式更為節能。

本文研究對象僅為給定車站高程下的區間縱斷面設計方案，未考慮車站高程設置對列車運行能耗和時分的影響，在下一步研究中將進一步考慮車站位置和區間縱斷面設計方案的協同優化，實現地鐵線路全線的縱斷面自動設計優化。此外，本文僅以盾構法施工的地鐵區間為研究對象構建了以列車牽引能耗最小為優化目標的縱斷面優化設計模型。目前仍有少數地鐵線路采用明挖法施工，在評價這類地鐵線路縱斷面設計方案時還應考慮土石方量等影響建設成本的指標，下一步研究中將繼續探索以全生命周期成本最小為目標的地鐵線路縱斷面優化設計問題。