回文數與無厘頭的冰雹

蔡天新

風靡美國校園的數字游戲：對于任意一個自然數n，如果是個奇數，則下一步變成3n+1；如果是個偶數，則下一步變成n/2。無論n是什么數，最終都要跌落到谷底1。

視數學和科學為游戲的約翰·康威。

《一千零一夜》中會講故事的謝赫拉莎德。

★數論看起來包含了數學的大部分羅曼史。

——路易斯·莫德爾（英國）

游戲天才康威

2020年4月12日，普林斯頓大學約翰尼·馮·諾伊曼講座教授約翰·康威（John Horton Con-way）教授因新冠肺炎去世，享年83歲。康威是當代最活躍的全能型數學家，在數論、群倫、博弈論等領域均有卓越貢獻，同時兼攻量子力學和生物學。在學術研究之余，康威還出版了大量膾炙人口的科普著作。不僅如此，康威視數學和科學為游戲，他的傳記書名就叫《游戲天才》。

1937年，康威出生于英國利物浦。他的父親是利物浦一所中學的實驗室助理，著名的披頭士樂隊成員中有兩位曾在那所中學上學。康威的父親在科學方面非常博學，而且酷愛詩歌。他常在家里來回踱步，一邊刮臉一邊吟誦詩歌，有時甚至赤身裸體。在康威心目中，父親是一個特別有趣的人。

11歲那年，康威進入了一所新學校，校長與他有過一次面談。校長問康威以后打算做什么，他回答說想去劍橋念數學。七年以后他果真做到了，并在劍橋一路攀升，成為英國皇家學會的會員（院士）。之后，普林斯頓大學為康威提供了一份工作，從此他一直在美國生活。

在科學界，康威最著名的發明是生命游戲，它開創了細胞自動機的新領域。在數學領域，他發現了幾個很大的對稱群，這是很難做到的事情。最讓康威引以為傲的是，他發現了全新的數的世界，被同行命名為“超實數”。兩千多年前，阿基米德創建了我們常用的實數理論；一百多年前，德國數學家康托爾發現了無窮數的理論；超實數將二者同時包括在內。

因為康威的學術成就和影響力，當5月24日美國的新冠死亡人數逼近10萬之際，《紐約時報》在頭版和內頁用4個整版刊登了1000名死者名單，以及他們的年齡、職業和成就，康威的名字自然出現在頭版。在康威的諸多數學科普著作里，他曾提到花環數和角谷猜想，下面我想對這兩個概念進行闡釋。其中花環數與我國古代的回文詩有相似之處，而角谷猜想既吸引了康威這樣的大數學家的關注，也引發了許多業余愛好者的興趣。

回文詩與花環數

賞花歸去馬如飛，去馬如飛酒力微；酒力微醒時已暮，醒時已暮賞花歸。

12世紀的一個夏日，大詩人蘇東坡陪妹妹游杭州西湖時寫下了這首回文詩。“回文”是指正讀反讀都能讀通的句子，它是古今中外都有的一種修辭方式和文字游戲，例如，“我為人人，人人為我”。在英文里也有回文，“Race car”，“Step on no pets”，“Put it up”，“Was it a car or a cat I saw?”，“A man，a plan，a canal，Panama！”又如西班牙文里有，“Amor Roma”。

有趣的是，數學里也有一種叫回文數的游戲。

大約在公元850年，印度數學家馬哈維拉撰寫了《計算精華》一書，該書曾在南印度被廣泛使用。1912年，這部書被譯成英文在馬德拉斯（現改名金奈）出版，成為印度第一部初具現代形式的教科書。書中提到了“花環數”，即將兩整數相乘，使其乘積的數呈中心對稱，此即“回文數”。馬哈維拉親自找到了一些回文數，例如

14287143×7=100010001

12345679×9=111111111

27994681×441=12345654321

之所以稱花環數，估計與印度人愛花，同時花環是無頭無尾且對稱有關。英文里叫Palindromic number，阿拉伯人稱其為謝赫拉莎德數，即以《一千零一夜》里那位會講故事的王妃命名。事實上，1001本身便是一個花環數。

方冪數里也有許多花環數，例如121（11的平方）、343（7的立方）、14641（11的四次方）。迄今為止，人們尚未找到5次或更高次冪次型的回文數，于是有了下列尚未證明的猜想。

猜想　不存在5次或更高冪次型的回文數。

值得一提的是，四位和六位回文數有一個特點，它決不可能是素數。例如，設其為abba，它等于1000a +100b +10b + a=1001a +110b，能被11整除。

一個回文數，如果它同時還是某個數的平方，就叫做平方回文數。1000以內的正整數里，有108個回文數，而平方回文數只有6個，即1、4、9、121、484、676；考慮到1000以內的平方數只有31個，因此比例相對較高。另外有些數，通過不斷與它的倒序數相加，也可得到回文數。例如，29+92=121；194+491=685，586+685=1271，1271+1721=2992。于是，又有了以下問題。

問題　是否任何一個正整數與它的倒序數相加，所得的和再與和的倒序數相加，……如此反復，經過有限次步驟后，最后必定可以得到一個回文數？

必須指出，有些數至今仍未發現有此類特征，例如196。在電子計算機尚未問世的1938年，美國數學家拉赫曼便已計算到了第73步。2006年，已計算到699萬步，得到了一個2.89億位的和數。2015年，這個和數達到了10億位，仍不是回文數。也就是說，人們既不能肯定運算下去是否永遠得不到回文數，也不知道需要再運算多少步才能得到回文數。

永遠得不到回文數的正整數被稱為“利克瑞爾數”(Lychrel number),196可能是最小的利克瑞爾數，因而受到了特別的關注。說起這個名字，它的來歷也蠻有趣，是發明者　Landingham姓氏的第一個字母L與他當時的女友Cheryl字母的組合拼貼。

不難看出，假如196或其他數是利克瑞爾數，那么它后面的那些和數都是。也就是說，只要有一個利克瑞爾數，就有無窮多個利克瑞爾數。另外，還有一個關于“回文數”計算步數的世界紀錄。它是一個19位數字1,186,060,307,891,929,990,算出它的“回文數”用了261步，這是在2005年11月30日找到的。

無厘頭的冰雹傾瀉

自然數里包含著無窮無盡的奧秘。將近一個世紀以前，美國出生的英國數學家莫德爾在一篇隨筆中這樣寫道：

數論是無與倫比的，因為整數和各式各樣的結論，因為美麗和論證的豐富性。數論看起來包含了數學的大部分羅曼史。如同高斯給索菲·熱爾曼的信中所寫的，“這類純粹的研究只對那些有勇氣探究她的人才會展現最魅人的魔力”。

或許有一天，全世界的黃金和鉆石會被挖掘殆盡，可是數論，卻是取之不竭的珍寶。前文我們給出了回文數的性質以及利克瑞爾數存在的可能性，下面我們要討論的角谷猜想也有類似情況，是否存在一個回不到1的反例呢？　事情得從一則新聞報道說起。

1976年的一天，《華盛頓郵報》頭版頭條報道了一條新聞。此報道講述的是一則與數學有關的故事：

20世紀70年代中期，美國諸多名牌大學校園內，人們都像發瘋一般，夜以繼日，廢寢忘食地玩弄一種數學游戲。這個游戲十分簡單：任意寫出一個自然數n，按照以下的規律進行變換，如果是個奇數，則下一步變成3n+1；如果是個偶數，則下一步變成n/2（見左圖）。

不單單是學生，甚至連教授、實驗員都紛紛加入，無論是數學還是非數學專業。為什么這種游戲的魅力如此引人入勝？　因為人們發現，無論n是怎樣一個數字，最終都無法逃脫回到谷底1。準確地說，是無法逃出落入底部的4-2-1循環，永遠也逃不出這樣的宿命。

這就是著名的“冰雹猜想”。它的最大魅力在于不可預知性。那時仍在劍橋大學執教的康威也對這個問題著了迷，他找到了一個自然數27。雖然27貌不驚人，但如果按照上述方法進行運算，則它的上浮下沉異常劇烈：首先，27要經過77步驟的變換到達頂峰值9232，然后又經過34步驟到達谷底值1。

全部的變換過程（稱作“雹程”）需要111步，其峰值9232是原有數字27的342倍多，如果以瀑布般的直線下落（2的n次方）來比較，則具有同樣雹程的數字n要達到2的13次方。而在1到100的范圍內，27以及27的2倍54的波動是最為劇烈的。

這個“冰雹問題”便是著名的3x+1問題。1937年，德國數學家柯拉茨考慮了下列數論函數f(x)=x/2，若x是偶數，f(x)=(3x+1)/2，若x是奇數。柯拉茲猜想，對任意正整數x，經過有限次迭代運算后，f(x)均歸于1，而迭代的次數被稱為x的停擺時間（stopping time）。這被稱為柯拉茲猜想。

不過，也還有其他命名法，比如烏拉姆猜想、敘拉古問題，等等。大概因為在世界各地，許多人都提出過這個問題。在中國，它常常被稱為角谷猜想，這是因為日本出生的美國數學家角谷靜夫也曾提出這一猜想。角谷以提出并證明分析學中的角谷不動點定理（1941）聞名數學界，此定理后來被約翰·納什用來證明“納什均衡定理”，至今仍在經濟學和博弈論中有著廣泛應用。

值得一提的是，角谷靜夫的女兒美智子是一位新聞記者，也是一位文學評論家，獲得過普利策獎（1998）。美智子如今是《紐約時報》的首席書評家，她曾多次就閱讀問題提問時任美國總統巴拉克·奧巴馬，包括對中國科幻小說《三體》的看法，并邀請他開出給女兒的書單。前者曾引爆美國讀者對《三體》的熱情關注，后者是總統卸任前最后一次接受《紐約時報》采訪。

角谷猜想的推廣

雖然有人驗算了x不超過2的50次方的3倍猜想均成立，但至今仍無人能夠證明或否定它。匈牙利數學家愛多士甚至認為，用現有的數學方法無法完全證明角谷猜想。即便考慮類似qx+1問題（q為大于3的奇數）或3x-1問題這樣的推廣，也被認為沒有可能性。換句話說，猜想的自然推廣并不存在。做出此斷言的，正是那位發現x=27處有冰雹現象的康威。

近年來，作者在與浙西南淳安縣山區中學老師徐勝利的通信中，作了一些新的探索和嘗試。我們首先注意到，當x是奇數時，3x+1必是偶數，下一步應是（3x+1）/2。因此，我們可以把問題轉化為下列等價的數論函數：g(x)=x/2，若x是偶數，g(x)=[3x/2]+1，若x是奇數。

這里[x]是不超過x的最大整數，或曰x的整數部分（也有人稱它為高斯函數），此處x可取任意實數，例如[2.718]=2，[-3.14]=-4。不難驗證，函數f（x）與g（x）是等價的。

有了上述等價定義以后，我們便可將角谷猜想予以推廣。事實上，可以把g(x)公式右邊方括號里的3x/2改成4x/3、5x/4，等等，結論依然成立。

對于原汁原味的3x+1問題，也有以下推廣，這是中國駐柬埔寨某國際組織的數學愛好者沈利興在閱讀拙作《數之書》后的想法，他利用計算機做了驗證，然后發給了我。設k是任意非負整數，用3+3k替代原來的3x+1。當k=0時，便是原來的3x+1問題。沈利興猜測：設k為非負整數，對于任意正整數x，經過有限次迭代運算后，必均歸于3k。特別地，當k=0時，此即3x+1問題。