常見均勻分布參數(shù)的最大似然估計教學小結

馬驍

摘要：均勻分布參數(shù)的最大似然估計一直是概率論與數(shù)理統(tǒng)計教學中的一個難點和重點，為了幫助學生掌握最大似然估計方法的內(nèi)容，本文歸納整理并給出了四類常見均勻分布參數(shù)的最大似然估計量的求解過程，有助于增強學生運用最大似然估計方法的能力

關鍵詞：均勻分布;最大似然估計;點估計

最大似然估計方法是數(shù)理統(tǒng)計點估計中的一類重要方法，其參數(shù)估計值的選取以似然函數(shù)取得最大值為標準，相較于炬估計的方法，最大似然估計因為對總體的信息要求較高，故得到的結果可靠性更高^[1]。在概率論與數(shù)理統(tǒng)計教學中參數(shù)的最大似然估計方法一直是參數(shù)估計教學中的一個難點和重點^[2-3]，其困難之處主要是似然函數(shù)最大值點的求取，而在這部分內(nèi)容中，均勻分布參數(shù)似然函數(shù)最大值點的計算和常規(guī)的求極值的方法有所不同^[4]，有一定的教學難度，根據(jù)教學實踐經(jīng)驗來看對似然函數(shù)一取對數(shù)，二求導數(shù)的求極值方法普遍掌握較好，但均勻分布參數(shù)的最大似然估計對上述方法并不適用，需要借助順序統(tǒng)計量得到參數(shù)估計量的表達式，故本文歸納整理常見均勻分布參數(shù)的最大似然估計量的計算結果，并用統(tǒng)一的方法給出求解過程，有一定的教學指導意義。

一、第一類常見均勻分布參數(shù)最大似然

假設，x₁，x₂，…x_n是其一組樣本觀測值，求未知參數(shù)的最大似然估計量。

解析：因為，故X的概率密度為，

則其似然函數(shù)為：，

可以看出是關于的減函數(shù)，

令X_（1）=min（x₁，x_2，…x_n），X_（n）=max（x₁，x_2，…x_n）

顯然抽樣觀測值x₁，x₂，…x_n和參數(shù)滿足：≥max（x₁，x₂，…x_n）

故參數(shù)的最大似然估計量

二、第二類常見均勻分布參數(shù)最大似然估計

假設，x₁，x₂，…x_n是其一組樣本觀測值，求未知參數(shù)的最大似然估計量。

解析：因為，故X的概率密度為，

則其似然函數(shù)為：，

可以看出是關于的減函數(shù)，

令X_（1）=min（x₁，x_2，…x_n），X_（n）=max（x₁，x_2，…x_n）

顯然抽樣觀測值x₁，x_2，…x_n和參數(shù)滿足：

≥max（x₁，x₂，…x_n），-≤min（x₁，x₂，…x_n）

故參數(shù)的最大似然估計量

三、第三類常見均勻分布參數(shù)最大似然估計

假設，x₁，x₂，…x_n是其一組樣本觀測值，求未知參數(shù)，b的最大似然估計量和。

解析：因為，故X的概率密度為，

則其似然函數(shù)為：，

可以看出是關于的減函數(shù)，

令X_（1）=min（x₁，x_2，…x_n），X_（n）=max（x₁，x_2，…x_n）

顯然抽樣觀測值x₁，x_2，…x_n和參數(shù)，b滿足：

≥max（x₁，x₂，…x_n），b≤min（x₁，x₂，…x_n）

故參數(shù)的最大似然估計量，

第四類常見均勻分布參數(shù)最大似然估計

假設，x₁，x_2，…x_n是其一組樣本觀測值，求未知參數(shù)的最大似然估計量

解析：因為，故X的概率密度為，

則其似然函數(shù)為：，

可以看出是不含參數(shù)，

令X_（1）=min（x₁，x_2，…x_n），X_（n）=max（x₁，x_2，…x_n）

顯然抽樣觀測值x₁，x_2，…x_n和參數(shù)滿足：

+1/2≥max（x₁，x₂，…x_n），-1/2≤min（x₁，x₂，…x_n）

故參數(shù)的最大似然估計量

結語

為了降低學生學習均勻分布參數(shù)估計的難度，本文歸納整理常見均勻分布參數(shù)的最大似然估計量的計算結果，并用統(tǒng)一的方法給出求解過程，在作者的教學實踐中顯示這種模式較容易為學生掌握和理解，幫助學生掌握了極大似然估計的內(nèi)容

參考文獻

[1]李裕奇.概率論與數(shù)理統(tǒng)計第4版[M].北京.國防工業(yè)出版社，2014.

[2]李明泉.對最大似然估計法教學的探討[J].牡丹江大學學報，2010（07）：117-119.

[3]王星.最大似然估計法淺談[J].試題與研究：教學論壇，2019（6）：119-120.

[4]劉銳.一類均勻分布參數(shù)極大似然估計及優(yōu)良性的討論[J].吉林師范大學學報：自然科學版，2008，29（4）：95-96.