由一道題目引發的圓錐曲線性質的猜想與證明

孫濤

摘要：圓錐曲線是高考的重要內容之一，所占分數也比較高，有針對性地考查橢圓、雙曲線、拋物線的定義、標準方程和簡單幾何性質及其應用，解答題主要是以圓或橢圓為基本依托，考查橢圓方程的求解、考查直線與曲線的位置關系，除了本身知識的綜合，還會與其他知識如向量、函數、不等式等知識構成綜合題，重點掌握直線與圓錐曲線相關問題的基本求解方法與策略，提高運用函數與方程思想、向量與導數的方法來解決問題的能力。

關鍵詞：橢圓;雙曲線;拋物線;方程思想

題目：橢圓E的左焦點為F₁，右焦點為F₂，離心率，過F₁的直線交橢圓于A、B兩點，且△ABF₂周長為8。

（1） 求橢圓E的方程;

（2） 設動直線∶y=kx+m橢圓E有且只有一個公共點P，且與直線x=4相交于點Q，試探究：在坐標平面內是否存在定點M，使得以PQ為直徑的圓恒過點M？若存在，求出點M的坐標，若不存在，說明理由。

經計算發現，直線x=4為橢圓E的右準線：，而定點M（1，0）為橢圓的右焦點。筆者大膽猜想：

猜想一（由橢圓右準線、右焦點聯想橢圓左準線、左焦點） ： 橢圓E：的左焦點為F₁，右焦點為F₂，動直線∶y=kx+m與橢圓E相切于點P，若直線與橢圓E的右準線相交于點Q，那么以PQ為直徑的圓恒過橢圓的右焦點F₂;若直線與橢圓E的左準線相交于點Q，那么以PQ為直徑的圓恒過橢圓的左焦點F₁。

下面以證明“橢圓E：的右焦點為F₂，動直線∶y=kx+m與橢圓E相切于點P，若直線與橢圓E的右準線相交于點Q，那么以PQ為直徑的圓恒過橢圓的右焦點F₂”。

證明：由得，

因為動直線與橢圓E相切于點P，所以m≠0，△=0，即

化簡得（*），因為

所以，由

得，假設坐標平面內存在以PQ為直徑

的圓恒過定點M，由圖形的對稱性知，點M必在x上，設M（x₀，0），則，對滿足*式的m，k恒成立。因為

，由得，

，整理得

（**），由于（**）式對滿足（*）式的m，k恒成立，所以

，解得x₀=c，所以定點M（c，0）即為橢圓E的右焦點F₂，所以以PQ為直徑的圓恒過橢圓的右焦點F₂。

（本題也可直接由證得）

猜想二（由橢圓聯想雙曲線）：雙曲線E：的左焦點為F₁，右焦點為F₂，動直線∶y=kx+m與雙曲線E相切于點P，若直線與雙曲線E的右準線相交于點Q，那么以PQ為直徑的圓恒過雙曲線的右焦點F₂;若直線與雙曲線E的左準線相交于點Q，那么以PQ為直徑的圓恒過橢圓的左焦點F₁。

證明方法與證明橢圓的方法相同。

猜想三（由橢圓聯想拋物線）：拋物線E：y²=2px的焦點為F，動直線∶y=kx+m與拋物線E相切于點P，且與拋物線E的準線相交于點Q，那么以PQ為直徑的圓恒過拋物線的焦點F。

證明：由得k²x²+2（km-p）x+m²=0，因為動直線與橢圓E相切于點P，所以k≠0，△=0，即4k²m²+4p²-8kpm-4k²m²=0化簡得p=2km（*），因為所以，由得，假設坐標平面內存在以PQ為直徑的圓恒過定點M，由圖形的對稱性知，點M必在x上，設M（x₀，0），則，對滿足*式的m，k恒成立。因為，，由得，整理得（**）由于（**）式對滿足（*）式的m，k恒成立，所以，解得，所以定點M即為拋物線E的焦點F，所以以PQ為直徑的圓恒過拋物線的焦點F。