循“理”入“法”，理法并行

江蘇揚州市四季園小學 王興偉

曹培英老師曾說：“算理和算法是運算能力的一體兩翼，兩者相輔相成，不可偏廢。”但在實際教學中，“算法嫻熟，算理不明”的問題普遍存在，不少教師并不重視學生對算理的理解，把會算與算對作為教學的唯一目標。在這樣的環境中，學生是運算程序的“操作工”，習得的技能特別容易退化，必然會影響運算能力的發展。如何讓學生經歷明白算理、探究算法的過程，從而實現算理和算法有效融合，進而達到理與法的內在統一呢？下面，筆者談談在實際教學中的幾點做法。

一、觀察情境，把握結合點

小學生的思維以具體形象思維為主，逐步向抽象邏輯思維過渡。因此，在計算教學中要十分重視引導學生觀察情境圖中的學習對象，發現有價值的信息，找到算理理解和算法構建的結合點。

“20以內的加減法”是學生學習計算的開始，以“9加幾”的教學為例，教材呈現了如下情境（圖1）：桌上的盒子里放著9個紅蘋果，盒子外放了4個綠蘋果，啟發學生思考“一共有多少個？”

教師首先要引導學生觀察主題圖，借助“加法意義”理解，認識到求“一共有多少個”就是將兩種蘋果合并起來，列成算式就是“9+4”。接著啟發學生思考：計算“9+4”可以從加法的基數意義理解，從第1個開始，依次把9個紅蘋果和4個綠蘋果全部數完，就是13個。還可以從加法的序數意義入手，即從盒子里的9個開始數起，并依次數完盒子外的蘋果。數一數的方法與加法意義相融合，同步揭示9+4的算理。

然后激發學生思考：“還有更快捷的方法嗎？”這樣學生就需要對計算方法進行提升。教師引導學生進一步觀察：盒子里一共有10格，再放一個正好放滿，可以從4個蘋果中拿1個放入盒子中，把9個蘋果湊成10個，再加上外面的3個蘋果，一共有13個。

這里，通過讓學生觀察情境，借助“合并”過程，理解體驗到具體數數過程中“湊十法”的原理與意義，為后續學習其他“算理”奠定了基礎，同時利用情境圖，結合“滿十進一”的計數原則，通過數的拆分與組合，構建掌握了“湊十法”的基本方法。數的概念與計算原理的交互融合，學生就能形成合理的認知結構。

二、聯系生活，挖掘起始點

弗賴登塔爾認為：“數學的根源在于普及常識，小學生離不開實際生活經驗。”由于算理的抽象性，為便于學生理解，教師要善于尋找學生生活中的數學現象與數學問題，將他們的生活經驗與計算數學有效銜接，讓學生親歷將生活經驗轉化為數學經驗的全過程，教師在探究的過程中引領學生發現算理的源頭，明確算法，從而不斷提高運算思維品質。

以三年級“兩位數除以一位數”為例。教師先出示情境：甜甜和果果買了52棵樹苗，平均每人分到幾棵？然后讓學生用小棒代替樹苗來分一分，展示三種分法：一根一根地分；先分單根的，再分整捆的；先分整捆的，再把余下的1捆和單根合并分。接著引導學生比一比：結果雖然都是26根，哪種分發更簡便？經過比較，學生發現了第一種太復雜，第二種分了3次，第三種最簡便。有了分小棒的經歷，接著教師讓學生自己嘗試著用豎式寫一寫，然后展示、比較，追問：哪個算式能夠更清楚地體現分的過程？

在學生爭鳴中，教師指出“除法豎式有它規定的格式，不如讓我們一起去看看它是怎么產生的”。教師借助課件的動態演示，邊描述分的過程，邊將人物、倉庫、樹苗等抽象成除法豎式（圖2），在觀察完豎式的呈現過程后，教師啟發學生比較，發現豎式的算理和分樹苗、分小棒的過程和實質都是一樣的：先分十位，再分個位，然后把兩次分得的結果合起來。至此，學生借助生活經驗，找到了除法豎式的起點，對算理、算法的理解易如反掌。

三、多元表征，發現邏輯點

研究證明，學生的計算學習通常以線性方式展開，其表征過程一般是從動作、語義再到符號。這三種表征代表著思維的不同程度，教師要引導學生經歷從具體逐步走向抽象，這一過程中，這些表征之間并不是一個單向的簡單過程，而是多向和復雜的。

以一年級下冊“用豎式計算兩位數加法”為例，這是第一次出現加法豎式，教學前筆者先做了預測，95%的學生已經能正確計算出例題“36+21”的結果，但有超過60%的學生雖能算對結果，卻不能清楚地表示出計算方法，也就是并沒有真正掌握其中的算理。

為了幫助學生找到豎式的“根”，筆者先讓學生用小棒擺來還原實物原型，引導學生思考“你是怎么把它們合起來的”，學生清楚地看到“捆和捆相加，根和根相加”；接著再讓學生用計數器撥珠，再次提問“你們是怎么把它們合起來的”，學生再次看到“十位和十位相加，個位和個位相加”。這兩次的動作表征，強化了數位表象，直觀體現了相同數位對齊。接著筆者引導學生用口算加，板書分解加的過程，學生發現，擺小棒、撥計數器和口算都是先把十位相加，再把個位相加，最后合起來，這就為豎式提供了邏輯的支撐。然后再展示豎式的方法，讓學生觀察，“豎式和計數器像不像，它們之間有什么聯系？豎式和小棒圖有什么關系呢？”通過符號表征，將豎式中的每一部分都和相應的計數器、小棒相對應，學生清晰地感受到它們的聯系。最后，教師讓學生進行比較，并用語言概括出“兩位數加法”的計算方法，完成了思維的外化。這樣的教學，讓學生經歷“實物具象—計數器半抽象—符號抽象—語言概括”的多元表征過程，溝通了相互之間的內在聯系，為學生找到了豎式的邏輯點。

四、遷移經驗，找準共通點

小學計算內容聯系十分緊密，一般因為數位增加、進位或退位等情況的出現而逐漸復雜。但基本的算理和算法卻都可以相互遷移。因此在新的“算理”的認識活動中，要應用好學生的前概念，注重激活已有的經驗，并將新“算理”的理解建立在與原有相關知識發生、發展的基礎之上，使得新舊知識得以多角度共通，“算理”在學生認知結構中“扎根”。

以典型的“兩位數乘以兩位數”教學為例，教師利用學生已有的經驗分三步來引導：第一步，先出示24×2，讓學生用豎式計算并口頭說出豎式計算兩位數乘一位數的計算方法，達到溫故知新，然后復習24×12的橫式筆算方法，利用學生學過的知識，為下面對算理的理解埋下伏筆。第二步，出示主題圖，借助主題圖的觀察，引導學生主動探究，逐步理解兩位數乘兩位數的“算理”。首先結合觀察，列出算式“24×12”，激活學生原有認知：“24×12的實質就是求12個24的和是多少”；然后引入“合并”，用情境圖直觀地搬運的過程：先搬10箱，再搬2箱。這樣的呈現方式能夠啟發學生利用已有的知識理解算理。學生在觀察圖后很容易想到，要求24×12得多少，可以先算2箱，用24×2=48，再算6個2箱，用48×6=288箱；還可以先算2箱，用24×2=48，再算10箱用24×10=240，再把240和48合起來。這兩種算法本質上是相同的，而第二種的思考過程更具體地揭示了24×12的算理。第三步，掌握豎式的算法。通過上述兩個層次對原有知識、經驗的激活，學生對于24×12的“算理”形成了初步體驗，在此基礎上，教師及時對已有分項計算過程與豎式進行意義連接，使學生理解豎式中“位值”的表示方式，即個位上2乘24的結果是2箱的個數，而十位上1乘24的結果是10箱的個數，是24個十，從而使學生明確“4”為什么在十位的意義”。經驗的遷移達到了理清法明，前后共通的“算理”會深深扎根于學生心田。

五、直觀操作，尋求支撐點

直觀操作是計算教學的有效手段。在計算教學中，直觀操作不僅能將抽象的算理形象地顯現出來，一目了然，而且能使算法的闡述更為清晰、準確。學生借圖明理，數形結合，就為算法的構建提供了原型支撐，對學生理解算理、構建創造性的算法具有重要的意義。

在五年級“小數乘以小數”教學中，由于小數是特殊的分數，小數乘法的意義要到六年級學習分數乘法時才能理解，小數乘小數的算理比較抽象，學生對算理難以理解。怎樣突破這一難點呢？筆者首先借助面積模型，先理解“0.1×0.1”，出示圖3，學生從圖中清晰地看到0.1×0.1相當于邊長為0.1的小正方形的面積，0.1×0.1=0.01。接著以此為基礎，讓學生在學習單上（圖4）操作0.3×0.4，學生通過涂一涂、算一算，利用同樣的直觀圖，發現0.3×0.4是計算一個長4小格寬3小格的長方形面積，就是12個0.01，所以0.3×0.4=0.12。到此，筆者啟發學生在頭腦中進行想象：0.7×0.6的積是多少？你能用圖形做出解釋嗎？通過以上三個在直觀圖中構造零點幾乘零點幾的長方形，學生展開直觀推理，初步獲得對一位小數乘一位小數算理的理解。

接著筆者讓學生探究幾點幾乘以幾點幾，出示：3.6×2.3，有了前面的基礎，學生很快把上面環節中的認知與經驗遷移過來（圖5）：在方格紙上畫一個與3.6×2.3對應的長方形，3.6×2.3就可以看作是36個0.1與23個0.1相乘，得到828個0.01，就是8.28。據此，再用乘法豎式計算（圖6），學生對算理的理解就水到渠成。

上述直觀的面積模型，為算理算法提供了有效的支撐，豐富的數形結合材料，讓學生在比較中感悟到不同方法之間的內在聯系，深刻地領悟了小數乘法的算理。