簡單后，何處增補？

張霞

[摘要]對于簡單的教學內容，教師不能只是在教學內容上、習題上做增補，還需要考慮作為學習主體的學生的“內部目標”。以“分數乘整數”教學為例，通過分析問卷調查的結果提出教學設想，并給出最終的增補教學方案。

[關鍵詞]簡單;增補;分數乘整數

[中圖分類號]G623.5

[文獻標識碼]A

[文章編號] 1007-9068（ 2020） 29-0016-03

“分數乘整數“是蘇教版教材六年級上冊“分數乘法”單元的第一課時。從教材上看，這節課的主要內容是分數乘整數的意義、算法和算理。說它簡單，是因為本課所涉及的分數乘整數的意義，相對于前期所學并無拓展;而分數乘整數的算法和算理，學生有整數乘法、小數乘法的學習經驗，可以直接遷移運用。因此，我們預估，此課的教學內容相對學生的認知發展水平較為簡單。是否真是如此？我們做了問卷調查：

[問卷設計意圖]

問卷1：著重調查學生在沒有學習分數乘整數的意義之前，能否利用整數乘法的意義列出分數與整數相乘的算式。問卷2：著重調查學生對分數與整數相乘的算法的直覺，及其初步的算理分析能力。

[問卷調查結果]

問卷1的結果表明，學生能夠直接利用學習整數乘法、小數乘法的經驗，在遇到較復雜的“求幾個相同加數的和”時，自動地列出乘法算式。問卷2的結果表明，學生遇到從未碰到過的分數乘整數的新計算時，34.7%的學生會主動運用乘法的意義，把分數乘整數乘法轉換成“幾個相同加數的和”來計算結果。由此可知：分數與整數乘法的意義，學生能夠直覺理解，更能夠主動運用。

問卷2的結果表明，學生對分數乘整數的計算方法有著天然的直覺。在計算第①題時，就有28.6%的學生直接運用“分子與整數相乘的積作分子、分母不變”的方法計算;對于第③題，遇到“想加算乘”的計算方法不再便利時，65.3%的學生能夠直接用乘法正確計算。通過訪談得知，部分學生能從前兩題的計算結果中確定分數乘整數的計算方法;大部分學生在“想加算乘”與“畫圖形法”的方式行不通時，能利用數學

直覺得出“（

）”三種不同的計算方式，又由于25和4可以湊整的關系，誤用“分母乘整數作分母”的錯誤率明顯上升。這說明學生對分數乘整數的算法有一定的直覺，但不夠穩定，容易錯位。

面對學生現有的認知水平，我們提出教學設想：

①分數乘整數的運算意義，不教，直接用;②未學先知的算法，讓學生自己探究驗證;③算法、算理，置于乘法運算的大視域下貫通。

【教學過程】

一、呈現課題，問題導路

出示課題：分數乘整數。

師：怎樣算？為什么這樣算？

二、直覺猜想，啟動探究

師：既然研究分數乘整數時，我們需要用一些例子來作為研究的樣本，請說一道分數與整數相乘的例子？

師：憑直覺，你認為分數乘整數該怎樣計算？

師：大膽猜想，小心求證。經過篩選，我們就可以集中注意力進行“小心求證”了。是不是真如你們所想，第①種猜想是合理的呢？

師：對于你們剛給出的3道題“2/7×3、3/10×7、5/8×4”，請任選一題，用你覺得可靠的方法算出結果，然后和猜想①進行對比。

（設計意圖：變“教學內容”為學生的“大膽的猜想”，激發學生“自我證實”的需求，以此驅動學生自主探究，有效地變“要我學”為“我要學”;把“怎么算”的問題落實到一道具體的計算題上，化抽象為具體，讓學生易于把握;先篩選再驗證，減量后再前行，便于集中精力突破難點;選擇學生自己舉的例子，看似隨意，實為精選：學生自創素材是學生最感興趣的，精選的3題分別對應著化成加法計算、化成小數乘法計算、算后需要約分這三種類型，覆蓋全部教學目標。）

三、多法并舉，驗證猜想

1.畫圖法

生1：我求的是2/7×3。（出示圖1）通過畫圖，我得到的答案是6/7。

師：你能夠利用畫圖策略來解決，真好！我們的猜想是a/b×n=a×n /b，分母不變，分子乘整數，從圖中，可以看出分子2乘整數3嗎？

生2：可以的，每次涂2份，涂了3次，一共涂了2x3份。

師：那圖上能說明為什么分母不變嗎？

生3：平均分的份數沒變。

生4.分數單位始終是1/7。

師：是的，平均分的份數沒變，也就是分數單位不變，所以分母不變。回看畫圖的過程，每次涂2份，涂3次，這個過程恰巧就是我們猜想中的“分子乘整數作分子”;而涂色過程并不改變平均分的份數，也就是“分母不變”的原因。畫圖的過程和結果與我們的猜想完全一致。

2.想加算乘法

師：把分數乘整數轉化成小數乘整數，好辦法。這個過程里，哪里能看到“分子乘整數”？

生11，：0.3x7的計算過程中，把0.3看作3個0.1，三七二十一，也就得到21個0.1。

師：說得好！得到21個0.1，也就是說計數單位“0.1”是不變的，即分母不變;“三七二十一”，算得的是——

生（齊）：計數單位的個數。

（設計意圖：分數乘整數的計算方法是什么？學生不知道，但可以猜，然后選擇自己可以把握的題目，用自己可以確定的方法算出答案，再追溯算法。教師要做的就是不斷地追問，在學生直覺抵達后，通過一項項的追問、質疑，使他們轉“快思”為“慢想”，在“慢想”中審視、確認、修正中，通透算理，明確算法。）

4.“反例”證實

師：三種方法，三個維度，都證實了我們的猜想是合理的。果真是如此嗎？請看這份作業。（遮住部分計算過程）這道算式結果的積的分母變了，分子和我們設想的也不符。

生12：能不能看看計算過程？

生13：我們的猜想沒有錯，只是結果約分了。

生14：能約分的要約分。

師：是啊，能約分的要約分，計算常識要記牢！當然，我們不能因為計算結果換了件“馬夾”就不認識了。一種方法，道理上講得通，那就可以確信它的正確。大家能不能肯定地說一說，分數乘整數怎么算？

（設計意圖：多個方法，多維驗證，不同基礎的學生有不同方式的展示、不同層次的說明，每種說明都歸結于對a×n/b的算理的解釋。一帆風順時突起“迷霧”，借一道非標準變式，引學生認知失衡，在審視、反思的一波三折中，既有了對算理、算法的夯實，又進一步明晰了“能約分的要約分”的規則，同時還是對“科學歸納”法的暗示。）

四、經歷繁難，撬動積習

生3：6/17可以表示為6÷17，這種變換是可以的。

生4：34x6÷17等于34÷17x6，先乘后除和先除后乘的結果不變。

師：既然過程合理，那結果怎么和第一位同學的不一樣呢？

生5：前面的結果沒有約分，約分后也是12。

師：噢，數據大了還真不容易發現沒有約分呢！看來，以后算完后還得仔仔細細地檢查。

生6：剛才我們計算時都是先乘后約的，能不能先約后乘呢？

師：好問題！他在前一位同學的基礎上又進了一步，提出能不能直接在“34×6 /17”上“先約再乘”呢？

生，：可以！依據分數的基本性質，分子、分母同時除以17，分子變成“2x6”，分母得“1”，得數是12。

師：道理講得通，方法就能確定。“先乘后約”到“先約后乘”，順序稍稍一變，計算就要簡單許多。

（設計意圖：選用“34×6/17”這樣繁難的計算作為算法優化的例子，起因是前幾次教學實踐后，發現學生在作業中總是固守“先乘后約”，極少用到“先約后乘”。追溯其因，學生在五年級下學期學習分數的加減法時都是先算出結果再約分的，所以分數乘法的計算上也承襲了以往的先乘后約。為了撬動舊習，我們尋尋覓覓后得到34×6/17和34x6的計算稍顯繁雜，以及204/17化簡較難發現，以此“繁難”突顯“先約后乘”的簡便、不易錯。新的方法，只有歷經困頓后的“華麗”現身，才會讓學生深感“優勢”后主動運用。）

五、瞻前顧后，融通算理

師：看圖列出相應的乘法算式（題略）。你們發現了什么？

（設計意圖：居高點撥，勾連學生不同時期的知識點，引導他們從“新”中辨出“舊”來，從“舊”中悟出“新”意，合縱連橫，收獲知識的融通與便捷。）

【課后思考】

當遇到簡單的教學內容時，并不意味著只能在教學內容上、習題上增補，還要關注學生以下的“內部目標”：

1.學習主體意識的強化

知識不是等待教師的給予，學生可以聽憑自己“心的聲音”，在大膽猜測后小心去求證。

2.自我掌控感的獲得

很多學生都“很聽話”，習慣于被動地接受知識，這是課堂教學中長期存在的教師占位過前導致的。要破除這一點，需要借助多次的成功體驗，讓學生逐步獲得自我的掌控感。本課中，學生提出的猜想被教師采納，因為被聽見，因為可選擇，因為可以遵從自我內心自主行事，因為個性而多樣的過程在后期的教學中都被“看到”價值，這些大大小小的“成功”給養了學生的自我掌控感。

3.學習視域的擴大

多法解答，不局限于一法一理，更在乎方法與方法之間邊界的打破，尋求其共通之“理”：在“想加算乘”里看到畫圖;在“化小數”里提煉計數單位。學“分數乘整數”，更要回看“整十數乘一位數”“小數乘整數”，形異質同，整合其理，成就“帶得走”的輕盈與強悍。

“教是為了不教”，何能“不教”？學習主體意識的覺醒，自我學習能力的確信，學習方法的習得……只有這些，才能更長效護佑學生的成長。

【本文系江蘇省教育科學“十三五”規劃課題2018年度立項課題“小學數學：讓學生‘帶得走的‘尋理課堂實踐研究”（ C-c/2018/02/19）階段性研究成果。】

（責編金鈴）