考慮繁忙率的多時段救護車優化布局研究

李 瑞， 蘇 強， 祝延宏， 王 謙

（1.同濟大學 經濟與管理學院，上海200092；2.上海市第一人民醫院，上海200080；3.中國人民解放軍第二軍醫大學 第三附屬醫院，上海200433）

0 引言

院前急救是現代急診醫療體系中重要的一環，它包含從突發事件起病人撥打急救電話，120指揮中心委派救護車輛，相應醫護人員抵達現場進行救治，以及必要時將病人轉運至醫院急診室進行進一步搶救的整個過程。它與院內急診科、重癥監護室等相關醫療科室共同組成急診醫療服務體系，是城市應急保障體系的重要組成部分。時間性、多樣性、不可預見性是院前急救的鮮明特點，救護車作為院前急救中不可或缺的重要角色，更是承擔著對時間分秒必爭的重任。

據相關文獻［1］報道，重癥急救患者中，僅不到10%的人是由于原發疾病致死，更多的是由于等待救援時間過長引發更為嚴重的并發癥，最終導致死亡。合理的救護車布局方案可以保證在有效時間內響應更多的急救需求，達到一定的服務水平，有助于建設高效、完善的院前急救服務體系。

對救護車布局問題的研究最早可以追溯到上世紀70年代，在早期的研究中，最經典的兩個模型分別是Toregas［2］提出的LSCP（Location Set Covering Problem）模型和由Church與Revelle［3］提出的MCLP（Maximal Covering Location Problem）模型。其中LSCP模型考慮在覆蓋所有需求點的情況下最小化所需救護車數量，MCLP模型則考慮在救護車數恒定的情況下最大化覆蓋需求量。但這兩個經典模型均只考慮了需求點被一次覆蓋的情況，這導致如果一輛救護車覆蓋的區域同時發生兩次急救需求，必須放棄一個急救需求，這顯然不符合實際。為了提高系統救援能力，Daskin和Stern［4］在MCLP模型的基礎上提出最大化二次覆蓋需求量。之后，Gendreau等學者［5］提出了雙標準覆蓋模型DSM（Double Standard Model），首次引入兩個覆蓋圈半徑，在保證所有需求都能被大圈覆蓋的情況下，最大化被小圈兩次覆蓋的需求數。本文即是在雙標準覆蓋模型的基礎上考慮了救護車的繁忙率，并探究一天內不同時段的繁忙率帶來的不同布局方案。繁忙率最早是由Daskin［6］在MEXCLP（Maximum Expected Covering Location Problem）模型中提出的，之后的學者Rapede和Bernardo［7］建立了不同時段需求不確定型模型，簡稱TIMEXCLP模型。Jagtenberg等人［8］提出了動態MEXCLP模型解決實時動態布局問題，系統中每出現一次急救需求，都要重新進行一次決策。

從既有文獻可知，在救護車布局領域，大部分研究主要來自國外學者，國內的研究相對較少。宋元濤，楊文國和黃鈞［9］提出有數量限制的雙覆蓋標準救護車選址模型，并利用禁忌搜索方法對模型進行求解。蘇強等人［10］對雙覆蓋模型進行改進，提出以最小化延誤成本和運營成本為目標函數。不同學者從不同角度對問題進行剖析。

本文的主要貢獻在于在傳統的雙覆蓋模型基礎上考慮到當急救需求產生時，救護車有的一定的概率處于繁忙狀態，此時無法立即響應需求，故在模型中引入繁忙率。此外，由于每天不同時段下需求產生頻率的不同，救護車的繁忙率也隨時段而改變，故本文提出多時段下的救護車布局方案。

1 問題描述

1.1 基本概況

在本研究中，假設共有p輛救護車，n個需求點，需求點集合V＝｛v1，v2，…，vn｝，其中任意需求點vi處的需求為λi；有m個備選站點，備選站點集合W＝｛w1，w2，…，wm｝，其中任意備選站點wj處停放的救護車數記為yj。結合實際情況，每個救護車備選站點都有其相應的承載上限，故這里規定備選站點wj處的救護車承載上限為pj。救護車從備選站點wj到需求點vi的行駛時間為tij。在雙標準覆蓋模型中，標準一為保證所有需求都能夠在一定的時間內被響應。由于覆蓋的全面性，這個時間通常比較久。標準二為保證至少有α比例的需求能在較短時間內被響應。這兩個規定時間記作r1和r2（r1＜r2）。定義三個0-1變量γij，δij和。當行駛時間tij≤r1時，規定γij＝1，否則γij＝0；當行駛時間tij≤r2時，規定δij＝1，否則δij＝0。＝1表示需求點vi被覆蓋了k次，這里k＝1，2，…，p。現實中，一輛救護車并不可能是24小時待命狀態，當急救電話打進時，救護車可能正在奔赴上一個需求點的途中，也可能在其他需求點等候醫護人員對病人進行檢查或搶救，也可能在將病人轉移到醫院急診室的途中等等，這些情況下救護車都無法立即響應新的需求，即處于繁忙狀態。因此，在解決問題時，應該考慮每輛救護車在不同時段下的繁忙率，這也是本文的主要創新點所在。

1.2 考慮繁忙率的期望覆蓋需求的計算

我們可以通過向專家及相關人員咨詢的方式獲得救護車的繁忙率q的值。本文假設所有的救護車繁忙率相同，且任意兩輛救護車之間的狀態不存在相關性，即一輛救護車是否可用的概率與另一輛救護車是否可用是獨立的。在上述設定下，可計算出任意時刻系統中有t輛待命救護車的概率為：

同時我們也可以計算出需求點vi被k輛救護車覆蓋，且k中至少2輛處于待命狀態的概率為：

P（需求點vi被k輛救護車覆蓋，且k中至少2輛處于待命狀態）故可以得到被k輛救護車覆蓋，且k中至少2輛處于待命狀態的需求點vi處的需求期望值：

從k輛車減少到（k-1）輛車產生的需求期望差值為：

1.3 多時段的劃分

為了更接近實際情況，可以將繁忙率進一步按照時間、空間標準進行細分。本文考慮到不同時段需求產生率的不同，將一天按照早、晚高峰時段共劃分為5個時段h1-h5，其中h1表示“早間時段”，h2表示“早高峰時段”，h3表示“白天非高峰時段”，h4表示“晚高峰時段”，h5表示“晚間時段”。不同時段救護車具有不同的繁忙率qh（h＝1，2，…，5）。表1列舉出多時段劃分法的基本框架。

表1 多時段的劃分及其繁忙率表

2 考慮繁忙率的多時段布局模型的構建

模型涉及到的相關變量已經在問題描述部分加以闡明，為了簡化分析，假設需求點位置及需求是確定的，且需求產生服從均勻分布。為解決院前急救中的救護車布局問題，本文提出以最大化全天在r1時間內被覆蓋至少2次的期望總需求量為目標函數的優化模型。構建的模型如下：

在上述模型中，（5）式為目標函數，表示在考慮救護車在不同時段繁忙率的情況下，全天能夠在r1時間內被至少2輛救護車響應的需求的期望最大值，其中λih表示在th-th+1時段內，任意需求點vi處的需求。（6）～（13）式為約束條件。（6）式為單覆蓋要求，保證每個需求點vi都能被救護車在r2時間內響應，即雙標準覆蓋模型中的標準一。（7）式表示能被救護車在r1時間內響應的需求數占總需求數的比例大于α，即雙標準覆蓋模型中的標準二。（8）式約束了目標函數中的時間限制為r1，同時它保證了當＝1時，能在r1時間內響應vi處需求的救護車數量至少為1；當＝1時，能在r1時間內響應vi處需求的救護車數量至少為2。約束（9）確保了當需求點vi沒有被覆蓋（k-1）次時，其不可能被覆蓋k次。（10）式表明布局的救護車總數不超過現有救護車數。（11）式約束了每個備選站點安置的救護車數不超過該站點可安置救護車數的上限。（12）式為整數約束。（13）式表示需求點vi是否被覆蓋k次為0-1變量。

3 算例比較實驗

為了驗證模型的有效性與改進性，將模型與傳統的雙覆蓋模型進行比較。為使隨機算例具備較強的實際意義，本文的算例規模與上海市松江區院前急救系統的實際規模相當，即24×24平方公里大小的區域被抽象成144個需求點，系統中有8個急救站點，每輛救護車的日繁忙率為0.1，雙覆蓋模型中兩個時間標準分別為r1＝8分鐘，r2＝15.6分鐘，需求比例α＝0.95。

不失一般性，本文隨機生成3個144×8的坐標網絡，4種大小的急救需求規模，因此共有3×4＝12組實驗來比較兩個模型的優劣。

根據上海市松江區院前急救的歷史數據，每年的急救需求量大約為總人口的1.5%。考慮到上海市高人口密度的特點，4種急救需求規模的需求人口比例分別為0.5%，1%，1.5%和2%。利用ILOG CPLEX 12.0求解模型，得到的對比結果見表2。

表2 傳統雙覆蓋模型與本文模型計算結果對比

表2中列出了通過傳統雙覆蓋模型與本文模型計算得到的需求覆蓋率及相應的運算時間，可以看出，在不同的隨機網絡下，利用本文提出的模型得到的需求覆蓋率均高于傳統雙覆蓋模型的結果，證明了本模型的有效性及改進性。運算時間幾乎與需求的規模大小呈正相關關系，但本文提出的模型由于引入了繁忙率這一因素，在運算時間上較傳統雙覆蓋模型略長，在之后的研究中可以通過設計合理的算法來縮短運算時間。

4 實例分析

本文以上海市松江區2014年120急救中心數據為例進行分析。松江區位于上海西南部，近年來經濟發展迅速，大量企業入駐，外來人口增加，急救需求也隨之增加。松江區人口總量為1，755，900，覆蓋面積達24×25平方公里。通過對2014年急救中心數據的預處理，得到該年共發生25，841起急救事故。為了便于之后的計算，現將松江區劃分為12×12個正方形，統計每個正方形內的需求量并將其集中于小正方形的某一點，這里選取每個小正方形的中心作為需求點，該點的需求量即為該小正方形的需求量。急救系統中共有8個備選站點，27輛救護車，假定這些救護車為相同型號并具有相同的繁忙率，每個備選站點停放救護車不得超過4輛。每個備選站點的位置可由圖1形象化表示。圖中A點為中心總站，B點為九亭分站，C點為佘山分站，D點為葉榭分站，E點為新浜分站，F點為泗涇分站，G點為老城區分站，H點為車墩分站。

圖1 松江區備選站點位置圖

救護車的平均行駛速度由歷史數據得知為每小時50公里，行駛距離通過起始點的經緯度進行計算，計算公式如下：

Lat1表示地點1的緯度，Lon1表示地點1的經度，地點2同理。

在上海市市委、市政府的重視下，近年來上海急救系統得到了較快的發展，以松江區為例，2005年松江區救護車響應急救需求的時間為20分鐘，2010年為15～18分鐘，到2014年已達到12～18分鐘。基于此情況，本文設定雙覆蓋模型中兩個時間標準分別為r1＝8分鐘，r2＝15.6分鐘，需求比例α＝0.95。

通過向專家及相關人員的咨詢，結合掌握的歷史數據，現設每輛救護車的日繁忙率為0.1，利用ILOG CPLEX 12.0求解模型，得到新的救護車布局方案。表3列舉了松江區救護車原始布局方案、傳統雙覆蓋模型求解方案與本文模型求解方案的結果對比。

表3 三種救護車布局方案

經計算，在救護車日繁忙率為0.1的情況下，應用本文提出的布局方案比應用原始方案得到的期望覆蓋需求量提高了3.19%，比傳統雙覆蓋模型的解得到的期望覆蓋需求量提高了0.54%，這充分證明了模型引入繁忙率后的有效性與改進性。從結果中也可以看出，A站點（即中心總站）由原來8輛車減少至2輛車，表明雖然站點處于松江區中心地段，但通過科學計算得到該處并不需要安置過多的救護車，原布局方案下極易產生偏遠地區救護車數量不足，對產生的需求應接不暇，而中心總站處救護車閑置的現象，這無疑是一種對資源的浪費。

為了進一步探究繁忙率對救護車布局的影響，令q分別為0.05，0.15，0.25，0.35，得到相應4種布局方案，結果見表4。

表4 不同繁忙率下的布局方案

根據表4可知，當繁忙率從0.05變為0.15時，需從A站點調離1輛救護車到D站點。繁忙率為0.15與0.25時的救護車布局方案相同，無需調動救護車。當繁忙率從0.25變為0.35時，需從D站點調離1輛救護車至G站點。

為了更接近實際情況，考慮將一天劃分為“早間時段”、“早高峰時段”、“白天非高峰時段”、“晚高峰時段”、“晚間時段”5個時段，不同時段救護車繁忙率及救護車平均行駛速度由歷史數據統計處理后獲得。表5列舉了5個時段詳細的時間劃分及該時段下系統的繁忙率及救護車的平均行駛速度。

表5 一天不同時段的劃分及其繁忙率、行駛速度表

因此，根據上述結論，可以得到一天5個不同時段下的救護車布局方案，詳見表6。

表6 一天不同時段下救護車布局方案

可以看出“早間時段”與“晚間時段”的布局方案相同，其余三個時段布局方案相同。調度僅發生在中心總站（即A站點）與葉榭分站（即D站點）之間。當時間由“早間時段”變為“早高峰時段”時，應從中心總站派1輛車至葉榭分站；而當時間由“晚高峰時段”變為“晚間時段”時，應從葉榭分站調1輛車到中心總站。為了更直觀地表現繁忙率q對需求覆蓋率的影響，選擇這兩種不同的布局方案（即表6中的“早間時段”方案與“早高峰時段”方案），探究在應用這兩種方案的情況下，需求覆蓋率隨q的變化。利用Matlab計算出結果，繪制出圖2，q根據實際情況，定義為從0到0.4。

圖2 需求覆蓋率與繁忙率的關系圖

明顯可以看出，需求覆蓋率曲線隨繁忙率q的增加而減小，意味著救護車處于待命時間的比例越小，其可服務的需求越少，這與實際意義完全相符。同時也可以看出，在0＜q≤0.3時，兩種布局方案下的需求覆蓋率具有很小的差異。這表明在繁忙率低于0.3的情況下，當遇到突發狀況導致無法按原計劃對救護車進行再布局時，對需求覆蓋率的影響在可接受范圍內。

5 結論

本文針對院前急救中救護車布局問題，通過引入繁忙率的概念，對傳統的雙覆蓋模型加以改進，并將模型應用于上海市松江區，基于已有站點對救護車進行合理布局，驗證了改進后模型的優越性，具有較強的可行性與應用性。同時，為了更貼合實際，考慮到一天中不同時段救護車繁忙率的差異，本文提出了多時段布局方案，以“早高峰”和“晚高峰”為界點，將一天劃分為5個時段，通過本文模型得到5個時段下分別的最優布局方案，保證了期望覆蓋需求量的最大化，更利于決策者做出合理決策。最后，本文驗證了繁忙率與需求覆蓋率之間的關系，即繁忙率越大，需求覆蓋率越小。需要指出的是，本文假設救護車行駛速度是恒定的，在今后的研究中可以考慮多時段下救護車速度的不同，使研究結果更為精準。也可以從救護車響應急救需求時間的角度考慮問題，保證需求被快速響應。在本文多時段布局的結論基礎上，也可以根據救護車布局方案，進一步探究救護車工作人員的排班情況。這些都是未來研究中可以考慮的研究方向。

院前急救服務能力可以體現出一座城市，乃至一個國家的急救醫療水平與社會安全保障程度。雖然近年來，我國的院前急救服務水平已經得到了很大的提升，但由于起步晚、基礎弱等歷史原因，較之于西方發達國家，我們的服務水平還處于相對落后的狀態。因此，要進一步加快和保障急救系統健康發展，提升急救服務水平與應急救援能力，為創造和諧社會提供有力的保障。