廣義加權分數傅里葉變換兩分量組合抗衰落技術

馬 聰,沙學軍,張宇思,3

(1.哈爾濱工業大學 通信技術研究所,哈爾濱 150001； 2.通信網信息傳輸與分發技術重點實驗室,石家莊 050081； 3.專用通信系統教育部工程研究中心,哈爾濱 150001)

基于4項加權分數傅里葉變換(4-Weighted Fractional Fourier Transform，4-WFRFT)的經典混合載波(Hybrid Carrier， HC)系統[1-2]，因其可以融合傳統單載波(Single Carrier， SC)系統和多載波(Multi-Carrier， MC)系統的優勢，在對抗信道衰落[3]、窄帶干擾抑制[4]、變換域均衡[5]、帶外輻射抑制[6]、峰均比抑制[7]、對抗載波頻率偏移[8]以及物理層安全[9]等方面受到廣泛關注.經典HC系統之所以能夠在雙彌散信道下獲得優于傳統SC和MC系統的誤碼性能，是因為其信號能量在時頻平面上的分布更加均勻[10].但由于受到4-WFRFT約束條件的限制，這種時頻能量分布的均勻性與理想的完全均勻分布還存在一定的差距.針對這一問題，文獻[11]通過對約束條件的放松，提出廣義加權分數傅里葉變換(Generalized Weighted Fractional Fourier Transform, GWFRFT).與4-WFRFT相比，GWFRFT在信號設計方面具有更高的自由度，可以設計出一些傳統HC框架下無法實現的信號形式.而文獻[11]也正是利用這一點，設計出時頻能量分布更為均勻的4分量等功率HC信號，進一步提升HC系統在雙彌散信道下的誤碼性能.

受此啟發，如果能利用GWFRFT在信號設計方面的靈活性，設計出在時域或頻域中能量分布更加均勻的信號，將有可能進一步提高通信系統抗時間/頻率選擇性抗衰落的性能.正是基于這一思路，本文提出一種基于GWFRFT的兩分量組合信號設計方案，在不改變載波體制的前提下，提升SC和MC系統的抗衰落性能.

1 4-WFRFT與GWFRFT基本理論

經典HC系統的數學機理來自4-WFRFT.對于離散復信號x(n)，其4-WFRFT定義為

ω2(α)x(-n)+ω3(α)X(-n).

(1)

式中ωl(α)為加權系數，l=0,1,2,3.4個加權系數的具體形式為：

(2)

式中i、e分別為虛數單位和自然對數的底，π為圓周率.x(n)和x(-n)分別為時域分量和時域反轉分量，X(n)和X(-n)分別為頻域分量和頻域反轉分量，X(n)是x(n)經歸一化離散傅里葉變換而得，其具體定義形式為

(3)

由上述定義可知，4-WFRFT的加權系數完全由參數α決定，這種強約束關系制約了信號設計的靈活性.

為了提高HC信號設計的自由度， GWFRFT在保持原有加權形式不變化的情況下，重新定義加權系數，將參數由單一的參數α擴展為θ0、θ1、θ2和θ34個角度參數.基于4個角度參數的GWFRFT的正、逆變換的加權系數表達式分別為：

(4)

(5)

當參數θl=πlα/2,(l=0,1,2,3)時，GWFRFT回退為4-WFRFT，而當θl取其他值時，基于GWFRFT的廣義混合載波(Generalized Hybrid Carrier，GHC)系統可以獲得經典HC系統無法實現的信號形式.

2 基于GWFRFT的兩分量組合信號設計方案

2.1 兩分量組合信號可行性分析及系統模型

為了不改變載波體制，4個分量中應只保留兩項時域分量或兩項頻域分量.在4-WFRFT框架下，對于只保留兩個時域分量的情況，式(2)中兩個頻域分量的加權系數應為0，即：

(6)

對方程組中兩式相加可得eiπα=1.在變換階數的主值區間α∈[0,4)內，式(6)的解為α=0和α=2.

當α=0時，4-WFRFT中兩個時域分量的加權系數為：

(7)

當α=2時，4-WFRFT中兩個時域分量的加權系數為：

(8)

此時系統回退為只包含一個時域分量的SC體制.同理，對于只保留兩個頻域分量的情況，兩個時域分量的加權系數為0，應滿足：

(9)

式(9)的解依然為α=0和α=2.此時系統回退為只包含一個頻域分量的傳統MC體制.可見，經典HC系統無法實現兩個分量組合的信號形式.

(10)

此時，角度參數的關系需滿足：

(11)

由于角度參數θl以2π為周期，當θl∈[0,2π)時，式(10)的解為：

(12)

將式(12)代入式(4)和(5)，則兩項時域的正、逆變換的加權系數為：

(13)

(14)

此時，角度參數的關系需滿足：

(15)

則式(14)的解為：

(16)

對應的正、逆變換加權系數分別為：

(17)

可見，GHC系統可以在不改變載波體制的情況下，實現兩分量組合信號結構.

圖1分別給出時域兩分量組合信號和頻域兩分量組合信號中兩個分量信號所對應的加權系數模值隨θ0-θ1的變化情況.

可見隨著θ0-θ1的變化兩個加權參數的模值在0～1之間連續變化，這說明GHC系統不僅可以實現兩分量信號形式，還可以實現分量功率的任意比例能量分配.

圖1 兩分量組合信號加權系數模值隨θ0-θ1的變化規律

圖2 兩分量組合信號系統實現框圖

Fig.2 Implementation diagram of double-component combination signal system

2.2 兩分量組合信號抗衰落機理分析及功率分配方法

在經典HC系統中，時頻能量的功率比例直接影響系統的誤碼性能[12].在兩分量組合信號中，如何對兩分量的功率進行分配同樣是一個需要研究的問題.

以時間選擇性衰落信道為例，圖3給出時域深衰落對SC信號和時域兩分量組合信號影響的示意圖.

圖3 時域深衰落對SC和GHC時域兩分量組合信號的影響

假設傳統SC信號的第i比特位置受深衰落影響，則該比特的信噪比顯著降低，從而造成接收機錯判.對信號進行基于GWFRFT的時域兩分量設計后，原來第i比特的能量分散到第一個分量的第i比特和第二個分量的第N-i-1比特處；對于相同位置的深衰，接收端經廣義加權逆變換后，未受深衰落的另一個分量會對深衰落比特進行能量補償.如果這種補償的能量足夠多，使得該比特處的信噪比仍然保持在接收機靈敏度范圍以上，則能被接收機正確解調.顯然，這種補償特性效果的好壞與兩個分量的功率分配直接相關.若兩個分量的功率分配明顯不均，則大功率分量遭遇深衰落時，小功率分量的補償效果有限；而當兩分量等功率時，可得到最好的補償效果.由于時域與頻域之間具有對偶性質，在頻率選擇性衰落信道中，對于只包含頻域分量與頻域反轉分量的頻域兩分量組合信號，也應當在兩分量等功率分配時獲得最優的誤碼性能.

除了從兩分量相互補償的角度理解之外，兩分量組合信號抗衰落機理還可以從分集增益的角度進行解釋.仍然以兩時域組合信號為例，由于兩時域分量組合信號的特殊形式，每一個符號的能量被分散到兩個不同的時隙進行傳輸.而兩個時隙同時出現深衰落的概率要比單一時隙出現深衰落的概率小得多，因而兩時域分量組合信號中符號遭遇深衰落的概率也遠遠低于傳統SC信號，從而可以獲得一定的分集增益.而從圖3給出的結構可以看出，變換前后碼塊的長度也不發生改變.可見，本文所提的兩分量組合信號只是以一定的復雜度為代價換取分集增益，而并沒有占用額外的時間和頻率資源.

2.3 半碼塊反轉優化設計

從補償特性的角度和分集增益的角度均可以很好地解釋兩分量組合信號取得性能優勢的機理.但無論從哪種角度理解，取得這種性能優勢的大前提都是同一符號在兩分量中經歷的衰落具有獨立性.從補償特性角度上看，如果同一符號在兩分量中經歷的衰落完全相同，則逆變換后的符號能量與SC系統完全一致，并不會體現出補償特性的優勢.而從分集增益角度看，完全相同的衰落也并不會帶來分集增益.因而，為了盡可能地挖掘兩分量組合信號的性能優勢，應當盡量增大兩分量中相同符號衰落的獨立性.

在時間選擇性衰落信道中，同一符號在不同分量中所經歷衰落的獨立性由其在兩分量中所處位置的時間間隔與信道相干時間之間的關系決定.當時間間隔大于相干時間時，二者衰落相互獨立，反之則不獨立.類似地，在頻率選擇性衰落信道中，同一符號在不同分量中所經歷衰落的獨立性由其在兩分量中對應頻點的頻率差與信道相干帶寬之間的關系決定.當頻率差大于相干帶寬時，二者衰落相互獨立，反之則不獨立.

而根據兩個分量組合信號的結構特點，處在碼塊不同位置的符號，在經過兩分量組合變換后，其兩部分對應的時間/頻率間隔的大小存在很大的差異.以一個碼塊長度為8的時域兩分量信號為例，其信號的比特位置關系如圖4(a)所示.對于位于碼塊兩端的符號x0和x7而言，其在時域分量和時域反轉分量中所在位置的時間間隔為7個時隙，而對于位于碼塊中間的符號x3和x4而言，其在時域分量和時域反轉分量中所在位置的時間間隔僅僅為1個時隙.如果信道相干時間為4個符號周期，此時碼塊邊緣的符號x0,x1,x6,x7由于在兩個分量中經歷的衰落相互獨立，因而可以獲得有效的分集增益，而位于碼塊中間4個符號，由于在兩個分量中經歷的衰落具有相關性，無法獲得完全的分集增益效果.

為了使得碼塊中間位置的符號也能獲得完全的分集增益，可以對時域兩分量信號的后一半碼塊進行反轉，得到帶有半碼塊反轉過程的時域兩分量組合信號，其信號比特間的位置關系如圖4(b)所示.仍然假設相鄰的4個符號經歷的衰落具有相關性，經過半碼塊反轉的兩分量組合信號中，每一個符號在時域分量和時域反轉分量中的位置間隔均為半個碼塊的長度，大于相干時間.此時碼塊中的所有符號均可以獲得分集增益.在實際系統中，只需設置適當的碼塊長度，使碼塊長度的一半大于相干時間，即可利用半碼塊反轉方案進一步提升系統抗衰落性能.而在接收端只要對接收到的信號再進行一次半碼塊反轉，然后進行廣義加權傅里葉逆變換即可.

圖4 時域兩分量組合信號半碼塊反轉前后的比特位置關系示意

2.4 兩分量組合信號及半碼塊反轉優化方案的實現過程

(18)

根據式(18)，解得θ1-θ0=±π/2，對應的加權系數為：

(19)

與之相對應的兩時域分量組合信號的數學表達式為

(20)

同理，對于頻域兩分量組合信號，中間參量應滿足θ1-θ0=±π，此時的頻域分量與頻域反轉分量的加權系數的表達式為：

(21)

與之相對應的兩頻域分量組合信號的數學表達式為

(22)

圖5 ReGHCT信號生成框圖

類似地，對于GHCF系統，半碼塊反轉方案同樣可以提高同一符號在不同頻域分量內所經歷衰落的獨立性.從機理上講，對于頻域信號的半碼塊反轉，應當是對映射到后一半子載波上的符號順序進行反轉.而對于GHCF信號，其IFFT變換之前的信號恰好對應映射到每個子載波上的符號，因而可以直接在子載波映射之前完成半碼塊反轉操作.帶有半碼塊反轉優化的GHCF系統稱為帶有半碼塊反轉的頻域廣義混合載波(ReGHCF)系統，ReGHCF信號生成過程如圖6所示.

圖6 反轉頻域兩分量組合信號生成框圖

2.5 兩分量GHC系統實現復雜度分析

由圖5、6給出的信號生成框圖可以看出，ReGHCT信號和ReGHCF信號的實現過程主要是由反轉模塊、半碼塊反轉模塊、加法器、復數乘法器模塊和快速傅里葉變換(Fast Fourier Transform, FFT)模塊組成.因而，這兩種信號實現的復雜度由各個模塊的實現復雜度之和決定.

在實際系統中，通常采用復數乘法的次數來度量實現復雜度.對于反轉模塊和半碼塊反轉模塊而言，在硬件實現過程中只需要對寄存器倒序尋址或對后半碼塊倒序尋址，即可實現反轉，并不需要復數乘法計算，因而該模塊的復雜度可以忽略.而相對于乘法過程，加法器的復雜度也常被忽略.對于FFT 模塊，其實現的復雜度為O(NlogN).對于復數乘法器模塊，顯然每一次運算產生的復雜度為1.那么，反轉兩分量GHC信號實現的復雜度實際上是由FFT模塊和復數乘法器模塊的復雜度之和決定.

基于上述分析，ReGHCT信號和ReGHCF信號的實現復雜度，如表1所示.可以看出，ReGHCT信號和ReGHCF信號的實現復雜度分別為O(2N)和O(NlogN+2N).也就是說，GHCT和GHCF與傳統的SC系統和MC系統的復雜度相比均在同一數量級.

表1 ReGHCT和ReGHCF信號實現復雜度

3 仿真分析

3.1 GHC信號頻譜特性分析

由于信號的頻譜與信號的時域波形之間具有傅里葉變換關系，因而想要研究GHC信號頻譜特性首先要對其時域波形進行研究.

圖7給出傳統QPSK信號和經過GWFRFT變換的QPSK信號(GWFRFT-QPSK)的同相分量及正交分量時域波形對比.其中GWFRFT-QPSK的4個角度參數為θ0=0.2π，θ1=0.35π，θ2=0.2π，θ3=0.35π.由圖7可見，無論是同相分量還是正交分量，兩分量GWFRFT-QPSK信號與傳統QPSK信號的碼元寬度相同，唯一區別在于前者的信號幅度不再是兩種正負電平的變化，而呈現為多電平變化的波形.

圖7 QPSK信號與GWFRFT-QPSK信號時域波形

圖8為QPSK信號和GWFRFT-QPSK基帶信號的歸一化功率譜.其中碼元長度為1 024，符號速率為1 kHz.由圖8可見，兩種信號的歸一化功率譜包絡在頻率上的過零點位置和包絡形狀基本一致；這也表明傳統的QPSK信號經過GWFRFT后生成的兩分量組合信號不會展寬系統帶寬，也就是說兩分量組合信號的生成不會占用額外的頻譜資源.

圖8 QPSK信號與GWFRFT-QPSK信號歸一化功率譜

3.2 兩分量組合GHC信號抗衰落性能分析

為了驗證所提方案的有效性，本節對兩分量組合信號的誤碼性能進行仿真.仿真中時域選擇性衰落信道采用單徑Jakes 信道模型，采樣間隔Ts=1×10-4s，最大多普勒頻移fd=50 Hz；頻域選擇性衰落信道由3條具有不同時延的單徑Jakes信道組成，三徑信道的多徑時延分別為[0,1,2]Ts，各徑的平均功率服從復指數分布，均值為[3.0,5.1,7.3]dB.兩分量組合信號碼塊長度為256 bit，采用QPSK調制方式和MMSE均衡.圖9、10分別給出時域/頻域選擇性衰落信道下，GHCT/GHCF信號不同分量功率分配方案下的誤碼率比較.

圖9 GHCT系統分量功率分配與誤碼率關系

在圖10中，頻率分量與頻率反轉分量的能量比值仍然從全部賦予頻率分量向均勻分配逐漸變化；比值10/0為信號所有能量均賦給頻率分量，此時系統等價于傳統MC系統，比值5/5為兩頻域分量等功率分配的情況.與時域情況類似，當兩頻域分量等功率分配時，系統可以獲得最佳的抗頻域選擇性衰落的性能；在所給信道條件下，當誤碼率為4×10-3時，與傳統MC系統相比，等功率分配的頻域GHCF系統可以獲得約1.5 dB的性能提升.

圖10 GHCF系統分量功率分配與誤碼率關系

可見，與傳統SC系統和MC系統相比，兩分量組合GHC信號(包括GHCT及GHCF信號)方案可以在不占用額外時間和頻譜資源，且不改變載波體制的前提下，以同一數量級的微小復雜度提升換取傳統SC系統和MC系統抗衰落性能的有效提升.

圖11驗證了半碼塊反轉過程對系統性能的提升情況.圖11(a)比較時間選擇性衰落信道下傳統SC系統、GHCT系統以及ReGHCT系統的誤碼率.圖11(b)比較頻率選擇性衰落信道下傳統MC系統、GHCF系統以及ReGHCF系統的誤碼率.可以看出，經過半碼塊反轉后的兩分量組合GHC信號可以在可以在GHCT/GHCF系統的基礎上獲得額外的性能提升.

圖11 時/頻選擇性衰落信道下3種系統的誤碼率比較

Fig.11 BER comparison among the three systems in time/frequency selective fading channel

4 結論

1)結合GHC系統生成信號的高靈活性，提出一種基于GWFRFT的兩分量組合抗衰落技術，在不改變載波體制的情況下，提升傳統SC和MC系統的抗衰落能力.

2)在兩分量組合GHC信號形式下，對兩個分量的功率分配比例進行優化，得出當兩分量等功率分配時，系統抗衰落性能最佳的結論，同時給出兩分量組合GHC信號生成方法.

3)在分量等功率分配的基礎上提出半碼塊反轉優化方案，該方案可以使得碼塊中間部分符號在兩分量中經歷的衰落更加獨立，從而進一步提升兩分量組合信號的抗衰落性能.

4)仿真表明：在時間和頻率選擇性衰落信道下，相比于傳統SC或MC信號，兩分量組合GHC信號可以在不占用額外時間和頻譜資源的前提下，以很小的復雜度為代價換取系統抗衰落性能的有效提升.而基于分量功率分配和半碼塊反轉的優化可以使得這種性能提升的效果更加顯著.

綜上所述，本文在時間選擇性衰落信道或頻率選擇性衰落信道下對兩分量組合GHC信號進行設計，并驗證了該信號比傳統SC和MC信號具有更好的抗衰落性能；然而，在更為復雜的信道場景下，基于GWFRFT理論的信號結構設計方法和時頻分量能量分配準則也具有潛在的性能優勢，這部分內容將作為接下來的研究方向.