積累數學活動經驗的“四化”路徑*

熊露 趙思林

摘? ?要? ?數學學習過程是經驗的累積、激活、改造和創(chuàng)生的過程。在數學新知課教學中，按照“情境—問題—知識—應用—經驗”這一路徑，可以實現“四化”：情境—問題化，問題—知識化，知識—應用化，應用—經驗化。這個“四化”路徑可用于新知課教學過程中積累數學活動經驗。

關鍵詞? ?數學活動經驗? 積累? “四化”路徑

數學學習的本質是數學經驗的累積、激活、改造和創(chuàng)生的過程。數學經驗包括數學知識經驗、數學思維經驗、問題解決的經驗、元認知經驗等。數學活動經驗作為“四基”之一，是修煉數學核心素養(yǎng)的必要基礎。因此，研究如何積累數學活動經驗是有益的。本文擬探討在一些數學新知課（新授課）的教學中，如何通過“四化”路徑實現數學活動經驗的積累。

一、積累數學活動經驗的意義及研究現狀

1.數學活動經驗的含義

數學活動經驗是指個體在數學活動中經過心智操作和心力操作過程后儲存于長時記憶系統中具有意義和價值的數學信息[1]。這個界定表明，數學活動經驗的獲得需要“三步曲”：第一步，心智和心力協同工作，特別應調動心力的參與;第二步，理解數學，即建構數學知識的意義，認識數學知識的價值;第三步，應注意在理解的基礎上記憶數學知識。

2.積累數學活動經驗的教學意義

從教學目標來看，新修訂的兩個數學課標，即《義務教育數學課程標準（2011年版）》[2]和《普通高中數學課程標準（2017年版）》[3]，均把積累數學活動經驗作為數學教學的重要內容和基本目標。落實中小學數學教學目標的任務之一，就是在數學教學特別是新知課教學中幫助學生積累豐富的數學活動經驗，特別是數學思維的經驗。

數學活動經驗是數學核心素養(yǎng)“養(yǎng)成”或“生長”的“土壤”。數學學習是新舊經驗反復的、雙向的相互調整和累積，最終內化并增值成數學素養(yǎng)的過程[4]。數學核心素養(yǎng)最終落實到數學活動經驗上[5]。數學活動經驗對學生生成數學核心素養(yǎng)無疑是不可或缺的。有一些數學活動經驗就是數學核心素養(yǎng)，如解決問題時所獲得的策略性知識就是數學核心素養(yǎng)。因此，比較狹義地講，積累數學活動經驗就是在修煉數學核心素養(yǎng)。

數學活動經驗對數學學習是很必要的。“學習的心理機制是同化和順應。”同化學習相對于順應學習，它是“最經濟”的學習方式，這里的“最經濟”是指花費的學習成本最低但效率較高，也就是說，同化學習最節(jié)省時間、最容易發(fā)生、效率比較高。數學活動經驗是數學同化學習的基礎。沒有經驗，同化學習就難以發(fā)生甚至不能發(fā)生。因此，數學活動經驗不論是新知識的學習還是新經驗的借鑒，都具有決定性的意義。

數學教學的最高價值是數學知識、數學方法和數學思想的創(chuàng)新。由于直覺是創(chuàng)新的基礎，而經驗是產生直覺的前提，因此，數學活動經驗涵育數學的創(chuàng)新。由此得到一條重要的創(chuàng)新之路，即經驗→直覺→創(chuàng)新。但應注意，數學活動經驗是數學創(chuàng)新的必要條件而非充分條件。

3.積累數學活動經驗教學的研究現狀

近年來，一些教師對積累數學活動經驗的教學作了不少研究。如，有人提出了數學活動動機激發(fā)策略，數學活動經驗的生成策略、系統化實現策略、層次轉化策略、拓展策略、優(yōu)化策略等[6]。也有人提出，在數學化的過程、問題解決的過程和反思的過程中積累數學活動經驗[7]。還有人認為，數學活動經驗是在做數學的過程形成的[8]。筆者認為，獲取數學活動經驗的方法是心智操作和心力操作，獲得經驗的標志是認識數學信息所具有的意義和價值，數學活動經驗的產品是數學信息（含多種成分），經驗的落腳點是長時記憶系統[1]。數學活動經驗形成的標志有三個：一是理解數學，即理解數學知識的意義和價值;二是會用數學解決問題（包括數學本身之外的問題）;三是對數學的學習、思考、應用和發(fā)現（創(chuàng)造）產生了成功體驗。這些認識（含教學策略）對積累數學活動經驗是有啟發(fā)性的。這些認識（含教學策略）的理論雖好，但并沒有直接說明在一堂新知課中如何使用理論，如何讓數學活動經驗在課堂上落地生根。因此，有必要探究在新知課中如何讓學生積累數學活動經驗。

二、積累數學活動經驗“四化”路徑的理論依據

在數學新知課（新授課）教學中，按照“情境—問題—知識—應用—經驗”這一路徑，可以實現“四化”，即情境—問題化，問題—知識化，知識—應用化，應用—經驗化。顯而易見，情境是數學教學的邏輯起點，情境是產生（發(fā)現）問題、提煉知識、遷移應用、積累經驗的共同基礎。“問題”“知識”“應用”是以情境起點通向經驗的三座橋梁，離開“問題”“知識”“應用”，積累數學活動經驗是很困難的。

1. 情境—問題化

情境認知理論把“情境”看成是學習的核心要素。該理論重視認知與情意的整合、個體與情境的整合、外部驅力與主觀能動性的整合[9]。情境教學是指運用具體活動的場景或提供學習資源以激起學習者主動學習的動機（興趣）、提高學習效率的一種教學方法[10]。

問題是數學學習的重要載體。問題解決是數學學習的核心目標。數學問題源于主體意識，主體意識源于問題情境，問題情境源于真實情境，因此，真實情境中教學主客體的互動性能由此充分演繹出來。

情境與問題好比是水與魚的關系，情境像水，問題像魚。情境生成問題，問題是情境的內核。從情境到問題，即情境—問題化，是發(fā)現問題、提出問題的重要機遇，是積累發(fā)現問題經驗和提出問題經驗的重要途徑。“情境—問題化”教學是指教師從具有新穎性、現實性、趣味性等特點的情境出發(fā)，通過引導學生經歷思考、探究、發(fā)現等環(huán)節(jié)，來獲得數學的基本知識、基本思想、基本技能以及發(fā)現問題和提出問題的經驗的過程。“情境—問題化”教學符合奧蘇伯爾的“有意義學習”理論。

2.問題—知識化

知識的教學應提倡大力采用布魯納的發(fā)現教學法、弗賴登塔爾的再“創(chuàng)造”教學法、問題驅動教學法。在教學活動中，盡力讓學生從問題中抽象知識、發(fā)現知識、提煉知識，在內化中理解知識，在應用中遷移知識，在拓展中發(fā)現知識。在知識的學習過程中感悟數學思想，積累數學活動經驗。

問題是知識的心臟，知識是問題的內核。從問題到知識，即問題—知識化，是分析問題、探究問題、發(fā)現知識、提煉知識的核心過程。從教師的角度看，“學會向知識提問”是教師的基本任務;從學生的角度看，“學會從問題中發(fā)現和提煉知識”是學生生成核心素養(yǎng)的主要途徑。“問題—知識化”教學是教師引導學生分析問題、探究問題和解決問題的過程。該過程有利于學生積累分析問題、解決問題的經驗。如果把一個個問題看成知識的先行組織者，那么“問題—知識化”教學符合奧蘇伯爾的“先行組織者”教學理論。

3.知識—應用化

應用是學習數學的重要環(huán)節(jié)和基本目的。不論是知識的理解、知識的遷移、知識的檢驗、知識的創(chuàng)新等都離不開應用。數學知識的應用過程其本質是問題解決的過程。問題解決是數學教學和學習的根本任務。適量的應用是必不可少的，但過度地強調應用可能導致機械訓練或“題海戰(zhàn)術”，這對數學學習是不利的。

“知識與應用”與“工具與方法”的關系類似，知識對應于工具，而應用對應于方法。從知識到應用即知識—應用化，是知識遷移、檢驗知識的關鍵環(huán)節(jié)。知識的應用是體現“問題解決”教學理念的必要環(huán)節(jié)。數學問題解決的實質是“做”數學。所謂“做”數學是指數學知識和思想所包含的概念（定義）、命題（公式）、法則的綜合應用。“應用”數學體現了“做”數學的學習理念，“做”是學習數學的核心理念和主要方法。“知識—應用化”教學符合知識遷移教學理論。

4.應用—經驗化

建構主義認為，學習是在已有經驗基礎上建構知識的意義的過程。知識的意義是指知識自身的屬性與規(guī)律，以及該知識與其他知識之間的內在聯系。意義建構就在于將外在的事物屬性、法則與規(guī)律，以及事物之間的內在聯系在大腦中形成內在的“圖式”，也就是認知經驗。經驗既是意義建構的結果，同時又是意義建構的必要前提[11]。知識經驗的獲取源于問題解決[12]。應用意識的生成是知識經驗形成的標志[12]。數學知識的學習的最終目標是數學知識的經驗化，數學經驗的素養(yǎng)化。學習者自我反思的過程是梳理知識系統的過程，正如美國心理學家波斯納所言：“沒有反思的經驗是狹隘的經驗，最多只能是膚淺的知識。”[13]由此可見，反思對經驗的獲得與積累是至關重要的。反思應融入“情境—問題—知識—應用—經驗”的各個環(huán)節(jié)之中。

從應用到經驗，即應用—經驗化，是積累分析問題、解決問題經驗的必要環(huán)節(jié)。“應用—經驗化”學習體現了“為應用而學”“為經驗而學”的學習理念。

三、教學建議

數學活動經驗是學生在數學學習活動中日積月累的結果。每一節(jié)數學課特別是新知課應看成是積累數學活動經驗的重要時機。錯失利用大量新知課來積累數學活動經驗，數學活動經驗的積累只能落空。關于“知識”、“應用”的教學，已有許多理論和實踐成果可以借鑒，本文不擬探討。下面重點對“情境”、“問題”、“經驗”的教學作一些探討。

積累數學活動經驗的“四化”路徑表明，“情境”是數學教學的邏輯起點。基于情境的教學（學習）有如下價值[11]：一是能以真實問題誘發(fā)學習（教學）目標;二是提供發(fā)現問題的載體，為建構知識做準備;三是激發(fā)學習者的內部動機;四是通過解決現實問題來強化成功體驗，讓學習者產生成功體驗。從數學教學來看，一個好的情境至少有三大功能：第一，情境是（數學）問題之源;第二，情境可以激發(fā)學生學習動機和興趣;第三，以新穎情境為載體可以檢測學生是否能遷移數學知識解決問題。情境的創(chuàng)設要從學生的內在需求出發(fā)，真實、貼近生活、內含典型問題、富有思維的啟發(fā)性。學生通過情境，可以激發(fā)學習動機、激活已有經驗。

教學實踐表明，問題驅動教學法是激活學生學習動機、數學思維、知識經驗的有效方法。從“情境”中發(fā)現問題并提出問題之后，宜采用問題驅動教學法。為了啟發(fā)學生的思維和充分接近學生的最近發(fā)展區(qū)，一般把數學知識分解為一個個難度適中的問題，通過這一個個難度適中問題的解決，獲得新的數學知識，這種教學方法就是所謂的問題驅動教學法。問題驅動教學法的關鍵是把數學知識設計成一個個難度適中的問題，這些問題好比是給學生搭建的認識或發(fā)現數學知識的一個個臺階（梯子），其實質是幫助學生建立一個個最近發(fā)展區(qū)，其目的是學生在認識或發(fā)現數學知識的過程中數學思維水平逐漸得到提升。

經驗的積累應落實在“情境—問題—知識—應用—經驗”的每一個環(huán)節(jié)中。如，在“情境”環(huán)節(jié)，除激發(fā)學習動機和學習興趣之外，還應重視積累從“情境”中發(fā)現問題和提出問題的經驗;在“問題”環(huán)節(jié)，應注意積累分析問題、探究問題和解決問題的經驗，也應注意積累從“問題”中發(fā)現知識、提煉知識、感悟數學思想的經驗;在“知識”環(huán)節(jié)，應注意積累理解知識、內化知識、拓展知識、發(fā)現知識的經驗;在“應用”環(huán)節(jié)，應注意積累知識的遷移、數學方法的習成等經驗;在“經驗”環(huán)節(jié)，應注意積累對舊“經驗”的激活、反思、創(chuàng)生的經驗，就是由舊經驗生成新經驗。

需要注意的是，本文介紹的積累數學活動經驗的“四化”路徑，主要適合于一些新知課，并不適合于所有課型（包括部分新知課）。有些新知課也可能不需要“四化”，可能“三化”或“二化”就行了，應根據課程內容的難度、時間的松緊、學生的知識經驗基礎等情況進行綜合考慮。

參考文獻

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[12] 朱德全.知識經驗獲取的心理機制與反思型教學[J].高等教育研究，2005，26（05）.

[13] 趙昌木.論教師成長[J].高等師范教育研究，2002，14（3）.

[作者：熊露（1997-），女，四川遂寧人，內江師范學院數學與信息科學學院，碩士生;趙思林（1962-），男，四川巴中人，內江師范學院數學與信息科學學院教授，碩士，碩士生導師，通訊作者。]【責任編輯? 劉永慶】