1-Bit壓縮感知理論研究

賈威

摘 要：1-Bit壓縮感知作為壓縮感知理論的重要分支，在原有理論的基礎(chǔ)上進(jìn)一步簡化，在量化時(shí)僅保留測量值的符號(hào)，并能由此重構(gòu)信號(hào)，使采樣和量化能夠同時(shí)進(jìn)行，提高了采樣速度，節(jié)約了存儲(chǔ)空間。本文介紹了1-Bit壓縮感知理論的發(fā)展過程、基本理論、實(shí)際應(yīng)用，并且詳細(xì)分析了常用的、一致性較好的二進(jìn)制迭代硬閾值算法和符號(hào)匹配追蹤算法。

關(guān)鍵詞：壓縮感知;1-Bit壓縮感知;二進(jìn)制迭代硬閾值;符號(hào)匹配追蹤

中圖分類號(hào)：TN911.7文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1003-5168（2020）23-0011-04

Abstract： As an important branch of compressed sensing theory， 1-Bit compressed sensing is further simplified on the basis of the original theory， only the sign of the measured value is retained during quantization， and the signal can be reconstructed from this， so that sampling and quantization can be performed simultaneously， and the sampling speed is increased， saving storage space. This paper introduced the development process， basic theory and practical application of 1-Bit compressed sensing theory， and analyzed in detail the commonly used and consistent binary iterative hard threshold （BIHT） algorithm and symbol matching sign pursuit （MSP） algorithm.

Keywords： compressed sensing;1-bit compressed sensing;binary iterative hard threshold;matching sign pursuit

隨著我國經(jīng)濟(jì)社會(huì)的高速發(fā)展、現(xiàn)代通信技術(shù)的進(jìn)步和信息傳播速度的提升，信號(hào)帶寬、信號(hào)處理量逐漸增大，表現(xiàn)在日常生活中就是人們對(duì)圖像、音頻、視頻信息質(zhì)量的要求越來越高，這就對(duì)信號(hào)轉(zhuǎn)換、存儲(chǔ)及傳輸帶來了諸多挑戰(zhàn)。

在數(shù)字系統(tǒng)中，模擬信號(hào)需要經(jīng)過量化和采樣過程轉(zhuǎn)換為方便計(jì)算機(jī)處理的數(shù)字信號(hào)。Nyquist采樣定理指出，當(dāng)采樣頻率不小于信號(hào)中最大頻率的兩倍時(shí)，人們才能準(zhǔn)確無失真地還原信號(hào)。在超寬帶通信等越來越多的領(lǐng)域中，采樣頻率要求非常高，一般的模數(shù)轉(zhuǎn)換設(shè)備難以實(shí)現(xiàn)。

為了解決以上問題，研究人員在前人算法的基礎(chǔ)上提出了壓縮感知（Compressed Sensing，CS）理論[1]。該理論指出，若一個(gè)信號(hào)具有稀疏表示，那么它可由一系列線性的、非自適應(yīng)的觀測量精確重建，即可以通過比較少的觀測量就可以將信號(hào)稀疏感知表示，從而提高采樣速率，節(jié)省存儲(chǔ)空間。

在實(shí)際的數(shù)字信號(hào)處理應(yīng)用中，采樣后的信號(hào)必須經(jīng)過量化才能進(jìn)行數(shù)字化處理。隨著采樣率的提高，量化器的量化速率也要相應(yīng)提高，這就對(duì)量化器造成更大的壓力。為了從量化精度角度出發(fā)降低采樣率，人們逐漸研究出1-Bit壓縮感知理論。

1-Bit壓縮感知理論的特點(diǎn)是在信號(hào)經(jīng)量化器量化后僅保留符號(hào)信息，大小均為1 bit，然后利用測量符號(hào)對(duì)原始信號(hào)進(jìn)行重構(gòu)。量化過程僅需要一個(gè)比較器就可以實(shí)現(xiàn)，大大簡化了量化設(shè)備，而且減小量化位數(shù)至一位，可以實(shí)現(xiàn)高速量化和高速采樣。本文將從基本理論、重構(gòu)算法和實(shí)際應(yīng)用的角度對(duì)該術(shù)進(jìn)行介紹。

1 基本理論

1.1 傳統(tǒng)壓縮感知理論

傳統(tǒng)壓縮感知理論的主要原理可以概括為三個(gè)關(guān)鍵步驟：信號(hào)的稀疏表示、測量矩陣的設(shè)計(jì)和重構(gòu)算法的研究。

壓縮感知的輸入信號(hào)必須是本身稀疏的或者在某種空間基底下稀疏的，因?yàn)楝F(xiàn)實(shí)中的信號(hào)往往不是稀疏的，所以人們首先要對(duì)信號(hào)進(jìn)行稀疏變換，使原始信號(hào)具有稀疏性。假設(shè)原信號(hào)[x∈RN]是[N]×1維離散時(shí)間信號(hào)，由信號(hào)理論可知，空間中的任何一組向量都可以用一組基進(jìn)行線性表示，則原信號(hào)可以被表示為：

利用修改后的公式求解的過程與BIHT算法一致，不再贅述。

2.2 MSP算法

2009年，Petros提出了符號(hào)匹配追蹤（Matching Sign Pursuit，MSP）算法，該算法是一種貪婪算法。

與大多數(shù)貪婪算法一樣，MSP算法在第[t]次迭代中會(huì)生成一個(gè)由觀測值和支持集形成的信號(hào)估計(jì)值[xt]，然后在下一次迭代中更新支持集，從而對(duì)信號(hào)估計(jì)值[xt]進(jìn)行更新，直到重構(gòu)的信號(hào)[xt]滿足要求。MSP算法每次迭代過程中的求解的最優(yōu)問題是將[（diag（y）Φx）-22]最小化。

其中，[diag（y）]是生成一個(gè)方陣，方陣的主對(duì)角線上依次放置測量符號(hào)[y]中的元素，其余元素為0;[?-]表示對(duì)括號(hào)內(nèi)矩陣中元素取負(fù)所做的功，即將所有大于0的元素置零，小于等于0的元素保留。[（diag（y）Φx）-22]類似一個(gè)罰函數(shù)，目的是懲罰信號(hào)估計(jì)值[xt]和待估計(jì)原始信號(hào)[x]中不同的元素，由1-Bit壓縮感知基本理論的內(nèi)容可知，觀測值為[yi]=sign（[φixi]），重構(gòu)信號(hào)為[xt]，如果重構(gòu)信號(hào)[xt]與原始信號(hào)[x]相同，則[yi]和sign（[φixi]）的符號(hào)值也相同，兩者的乘積為正數(shù)，經(jīng)過[?-]運(yùn)算后，正數(shù)元素也就是重構(gòu)信號(hào)[xt]與原始信號(hào)[x]相同的位置的元素置零，兩者不同位置的元素將會(huì)被保留下來。

2.3 1-Bit壓縮感知的應(yīng)用

1-Bit壓縮感知技術(shù)可以實(shí)現(xiàn)量化與采樣同時(shí)進(jìn)行，簡化量化設(shè)備，節(jié)省存儲(chǔ)空間，提高模數(shù)轉(zhuǎn)化速率，在信號(hào)處理領(lǐng)域有廣闊的應(yīng)用前景。

1-Bit壓縮感知的實(shí)現(xiàn)需要的硬件簡單。采樣器只需要一個(gè)比較器就能實(shí)現(xiàn)，通過與零電平進(jìn)行比較，大于0的信號(hào)值取1，小于0的信號(hào)值取-1，實(shí)現(xiàn)了高速采樣。例如，在多諧波信號(hào)采集系統(tǒng)中[5]，1-Bit量化節(jié)約了大量存儲(chǔ)空間，提高了采樣率。

1-Bit壓縮感知對(duì)非線性失真不敏感，具有較好的魯棒性。1-Bit測量只獲得信號(hào)的符號(hào)值，因此當(dāng)信號(hào)值在一定范圍內(nèi)波動(dòng)時(shí)，測量值不會(huì)發(fā)生改變，這就使得1-Bit壓縮感知能夠很好地應(yīng)用到硬件條件易受到溫度、濕度、光照等因素影響的環(huán)境中，使系統(tǒng)得到優(yōu)化。

3 結(jié)論

本文從多個(gè)方面詳細(xì)介紹了1-Bit壓縮感知理論。首先從時(shí)代背景出發(fā)，對(duì)1-Bit壓縮感知理論的產(chǎn)生發(fā)展以及與當(dāng)下技術(shù)的結(jié)合進(jìn)行了介紹，其次介紹了壓縮感知的基本思想與理論推導(dǎo)，然后結(jié)合1-Bit壓縮感知理論，對(duì)該理論應(yīng)用的核心部分——重構(gòu)算法進(jìn)行了介紹，并列舉了兩種常用算法，最后列舉了該理論在幾個(gè)技術(shù)領(lǐng)域內(nèi)的應(yīng)用。近些年來，1-Bit壓縮感知理論在國內(nèi)外眾多研究人員的努力下不斷完善，已經(jīng)在很多領(lǐng)域得到了應(yīng)用，也向更多領(lǐng)域發(fā)展。完善理論，構(gòu)建更加精確的算法，拓寬技術(shù)應(yīng)用，是1-Bit壓縮感知理論研究人員未來努力的方向。

參考文獻(xiàn)：

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