分形理論在模擬電路故障診斷中的效果分析

盛沛

摘要：提出了一種利用分形理論中的盒維數算法對模擬電路故障進行分類的方法。首先對模擬電路故障狀態進行輸出信號樣本采集，其次對所采信號進行盒維數計算并取得狀態區間，最后利用所得狀態區間對故障狀態進行判別以實現故障狀態的區分。仿真結果表明，該方法能夠有效對模擬電路的故障進行區分。

關鍵詞：分形;盒維數;模擬電路

Abstract： A method is introduced to classify analog circuit faults by using the box dimension algorithm in fractal theory. Firstly， the fault state of the analog circuit is sampled， then the box dimension is calculated and the state interval is obtained. Finally， the fault state is distinguished by the obtained state interval. The simulation results show that this method can distinguish the faults of analog circuits effectively.

0? 引言

分形理論是用來刻畫對象的不規則性和自相似性的有力工具，在處理復雜非線性系統中具有獨到之處[1]。合理運用分形理論，提取有用的診斷信息，不僅可以定性，而且可以定量地分析系統的工作狀態。如果拋開采樣精度及存儲深度的限制，模擬電路故障信號特征與分形理論的描述是十分吻合的。

模擬電路的各種故障現象往往與其運行狀態存在著對應聯系。在一些技術部門中經常會存在這樣一種現象：對于一些常見的故障，有經驗的業務骨干往往可以通過某個測點電壓波形形態的變化，判斷出哪個元件出現了怎樣的問題。事實上，在各專業都有這種“聽音診脈”的業務骨干存在，他們有的看一眼波形、有的聽一下噪聲，便可判斷出裝備處于何種運行狀態。從這一現象出發，本文研究了相應的模擬電路中的分形理論。目的在于將該種現象提煉、轉化為可供利用的故障特征提取方法。

1? 分形維數計算

數學家Mandelbrot于1967年在《Science》上發表的一篇文章中提出一個關于英國海岸線長度的著名問題：每個臨海國家都有海岸線，而每一個海岸線都具有一個長度值，可是這個值要如何計算出來卻是個問題。通常人們可能會采取折線近似來計算，該方法首先要確定度量單位r，r表示度量海岸線長度的折線段長度，然后再通過長度r計算所需要折線段的數量N（r），由此可以得到海岸線長度L（r）=r·N（r）。但是，海岸線包含了許多海角和海灣，這就對折線段的尺度r的選擇產生了限制——選取過大就會忽略海角和海灣等因素。若尺度r變小，那么需要被測量的地方N（r）將隨之變大。Mandelbrot通過對折線法的研究，給出了一個規律：rD·N（r）=常數。其中D與r值變化無關，通常是非整數。由此，分形維數早期雛形逐漸形成。

分形是具有以非整數維形式填充空間的形態特征，而分形維數是描述分形最主要的參量，簡稱分維[2]-[3]。分形包括規則和無規則分形兩種。對于規則分形，其自相似性、標度不變性是無限的，即無論在何種尺度上對其觀察都具有一樣的自相似性質;而無規則分形自相似性是近似的或統計意義上的，可借助規則分形的思想進行求解[4]。與歐氏幾何圖形維數取整數值不同，分形維數能夠取得分數值。Hausdorff于1919年提出分數維數，并建立了維數理論和測度。在此基礎上，逐漸發展處諸多分形維數計算方法，如盒子維數、信息維數、網格維數、關聯維數等。其中盒子維數與其它維數計算方法相比，在故障診斷時的經驗估計和計算復雜度都比較簡單，故障診斷速度也比較快，其具體計算方法如下：

若非空集合F，且F？奐Rn。N（F，δ）代表覆蓋F所需直徑最大為δ集的最少數目，則F的上、下盒子維數為：

根據特征性不同，某些等價形式也會用這一定義。假設N（F，δ）取以下幾種情形，那么上述的極限值不變：

①與F相交的δ網格立方體數量;

②直徑最大為δ，覆蓋F的互不相交小球的最大數量;

③半徑為δ，中心在F里的互不相交的小球的最大數量;

④邊長為δ，覆蓋F的立方體的最小數量;

⑤半徑為δ，覆蓋F的閉球的最小數量。

對N（F，δ）的取值進行比較就可以獲得這些定義形式的等價性。Rn中δ網格立方體可表示為：[m1δ，（m1+1）δ]×…×[mnδ，（mn+1）δ]。很顯然的，當n的取值不同時，這一網格立方體有不同的含義，譬如：n取1時，網格立方體為區間;n取2時，網格立方體為正方形;n取3時，網格立方體為立方體……其中n取2時的情況也是本文所要研究的重點。在實際應用中，假設一平面集F，計算盒維數，就需要建立一些盒子，定義其邊長為δ，盒維數值就是F與δ相交的數量。該盒維數值可通過函數lnN（F，δ）-lnδ的斜率估計出來。

2? 盒維數算法應用建模

對于模擬電路信號特征的提取，分形理論主要針對的就是分形維數值，通過分形維數就可以識別它們的分形特征。假設現有表征同一故障狀態的某一被測信號，對其進行采樣可得到兩組故障數據。可能由于采樣起始位置、長度、采樣周期的影響，其形態特征會有所不同，但是基于分形特征自相似的理論，在相同測度下其分形維數是比較接近的[5]。這是將分形理論應用于電路故障診斷的理論依據。基于此，可利用分形維數作為故障特征，以期達到區分故障狀態的目的，具體步驟如下：

步驟1：選取非線性模擬電路中N種典型的故障狀態，包括正常狀態在內共計N+1種。

步驟2：在第i種狀態下，對測試點輸出電壓信號進行測量并進行盒維數值的計算，則該盒維數值即為一次實驗樣本。

步驟3：重復1、2步驟m次，取得m個狀態i下的樣本，求取平均值及區間范圍。

步驟4：重復上述步驟N+1次，取得所有狀態i的樣本區間及均值。

為了驗證上述方法的有效性，以較為簡單的某開關電源作為仿真驗證對象，電路圖如圖1所示。電路中元件故障狀態設定為標稱值的正（↑）、負（↓）20%，節點OUT為輸出測試點。仿真平臺Orcad CIS 7.0和Matlab 8.5，采樣點數1024。取電路狀態集合如表1所示。當輸入激勵信號設定為時，對電路不同故障狀態進行盒維數值計算。更進一步地，調整數值，考察不同頻率下輸出信號盒維數值變化趨勢，結果如表2、表3及表4所示。

可以看出，對于同一輸入頻率，不同電路狀態下的測試點輸出信號分形維數是不同的。因此，利用分形維數進行電路故障特征識別進而進行故障診斷的方法是可行的。為了更進一步說明方法有效性，考察分形維數D隨輸入頻率變化趨勢，結果如圖2所示。在輸入信號頻率相同的情況下，不同的故障狀態對應著不同的盒維數值，說明各狀態的分形特征是不同的;隨著頻率的增加，各故障狀態盒維數值均有所增加，這是因為在采樣參數不變的情況下，輸出信號會顯得更為復雜，也就是說其“填充空間的能力[6]”增加了。

雖然在該算例中，各故障狀態在不同輸入頻率下分形維數同時升高，均值并未出現交叉混疊的現象。但是，由于每個單獨的樣本盒維數值圍繞中心值上下波動較大，導致了其部分樣本數據存在如圖3所示的混疊現象。導致此種現象產生的原因是由于盒維數計算誤差所致。圖中明顯可以看出，正是由于在頻率為500Hz處S5狀態下部分樣本數據發生了較大偏差，導致其與S4狀態發生了混疊。通過更進一步的研究發現，在面對更加復雜的裝備模擬電路時，這種現象將會變得更為嚴重，導致該方法誤差較大甚至完全失效。

3? 建模效果分析

目前，模擬電路故障診斷方法多以時頻分析為主。本文基于分形盒維數算法的故障診斷方法是以輸出信號的分形維數為特征樣本，考量的是其非線性特性、填充空間能力，是從另一個角度對故障特征的一種提取，是對傳統方法一次有益的擴充。通過將模擬電路故障狀態劃分為不同的數值區間，被測電路輸出信號與其進行對比后即可進行狀態判定。基于盒維數算法的診斷方法以數值的形式判斷電路故障狀態，描述起來更加簡單直觀，其可操作性及直觀性大大由于傳統的故障診斷方法。并且此方法僅需要少量的先驗樣本即可完成對診斷系統的訓練。因此，該算法在模擬電路故障診斷方面具有一定優勢。然而，雖然基于盒維數算法的模擬電路故障診斷方法可以簡單直觀地進行故障狀態判別，但仍存在許多方面不足：

①由于盒維數算法受自身定義限制，在無標度區及記盒數量影響下，其數值具有一定波動性。主要體現在：受儀器精度限制及無標度區影響，不同故障信號存在個體差異;受采樣參數及噪聲影響，相同故障信號盒維數值會略有差異。這一現象將對該方法的實際應用造成一定影響。

②該方法雖然不需要大量的先驗數據，但是必須克服上述波動因素的影響，本章的做法是觀察其平均值趨于穩定，而其樣本數量已超過100個。

③與傳統算法相同的是，該方法也需要對故障信號的整個波動狀態范圍進行全覆蓋，因此，采樣參數的選擇也需要人為進行掌控。

④該方法所反映的是故障信號整體的分形特征，但僅僅是在一個測度上，并不能全面體現信號的局部特征，為此導致的混疊現象對故障診斷是極為不利的。

4? 結束語

分形理論的應用范圍十分廣泛，將其作為一種信號處理的有力工具，應用于模擬電路故障特征提取有其明顯的優勢。但是，分形維數歸根結底僅僅是在被測信號眾多特征之中取出的一種，僅憑這一種特征無法對信號做到更加準確的刻畫。因此，僅僅依靠分形維數一種手段解決本文所要研究的問題是不夠的，還需將故障信號做進一步處理，比如利用多重分形對其進行擴維。

參考文獻：

[1]Liangliang Zhang， Yuanhua Jia. The Arrival Passenger Flow Short-Term Forecasting of Urban Rail Transit Based on the Fractal Theory[M]. Springer Berlin Heidelberg， 2014.

[2]MichaelFrame， AmeliaUrry. Fractal Worlds[M]. Yale University Press： 2019.

[3]侯榮濤，朱飛.分形理論及其意義[J].信息與電腦（理論版），2011（01）：196.

[4]Rama Cont. Fractals in Engineering[M]. Springer London：2005.

[5]孫霞.分形原理及應用[M].北京：中國科學技術大學出版社，2003.

[6]Yu. V. Gulyaev， A. A. Potapov. Application of Fractal Theory， Fractional Operators， Textures， Scaling Effects， and Nonlinear Dynamics Methods in the Synthesis of New Information Technologies in Radio Electronics [J]. Springer journal， 2019， 64（9）.