極坐標與參數(shù)方程問題中直線方程的作用分析

李剛

摘要：極坐標與參數(shù)方程是高考選考內(nèi)容，注重考查學生對本領(lǐng)域知識的理解和應(yīng)用。本文以2020年高考極坐標與參數(shù)方程命題為出發(fā)點，結(jié)合以往的典型例題，以直線方程的三種形式為指導(dǎo)，以數(shù)形結(jié)合為核心，完成知識的應(yīng)用與遷移，提升學生數(shù)學核心素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：極坐標與參數(shù)方程 直線方程 一題多解

一、極坐標與參數(shù)方程的背景分析

在新課程標準改革的推動下，極坐標與參數(shù)方程被納入新課程選修模塊中，在高考中以選做題形式考查，總分10分，總體難度不是很大，但是學生的總體得分率不高。在某些統(tǒng)計中發(fā)現(xiàn)，大約有三分之二的學生會選擇“極坐標與參數(shù)方程”，但是這其中有50%的得分不足4分，70%的得分不足7分，滿分率不足7.5%，甚至超過15%的考生不得分。為什么會出現(xiàn)這種情況？以下幾方面原因可供我們思考：1.學生對極坐標和參數(shù)方程的理解不夠，很多學生只局限在轉(zhuǎn)化為直角坐標普通方程，思想方法沒有提升;2.直角坐標普通方程的轉(zhuǎn)化實質(zhì)牽涉到知識的遷移和知識點的轉(zhuǎn)化，是多知識的交匯，思維品質(zhì)和運算能力比很多同學理解的要求要高;3.高考的命題很多考查是對極坐標與參數(shù)方程本身領(lǐng)域知識的理解和應(yīng)用，考查考生對新方法、新知識的思維能力和學習品質(zhì)，體現(xiàn)數(shù)學學科的核心素養(yǎng)，所以單純使用直角坐標普通方程解題，高考題會感覺越來越難、計算量愈來愈復(fù)雜，有的時候甚至出現(xiàn)算不下去的情況。

在2020年高考中，全國卷三套試卷的落腳點都放在極坐標與參數(shù)方程和直角坐標的互化中，直線方程的三種形式在題目中依然明顯體現(xiàn)。卷Ⅰ是直線極坐標方程化為直角方程的普通方程，卷Ⅱ是直線的參數(shù)方程化為普通方程，卷Ⅲ是普通方程化為極坐標方程。那么，直線方程的三種形式在解題中的作用是什么？對解題方法的分析有什么樣的指導(dǎo)作用？在解題中如何選擇？這些問題在歷年的高考題型和模擬題型中都有充分的體現(xiàn)。仔細分析，我們會發(fā)現(xiàn)，直線方程既是命題的基礎(chǔ)，更是我們解題的指南針。教學中，我們在進行這類題型的分析過程中，抓住直線的特征和三種形式去指導(dǎo)學生審題，往往可以很容易突破和貫穿極坐標與參數(shù)方程的解題過程。

二、直線方程三種形式以及在解題中的作用分析

直線的極坐標方程，體現(xiàn)的是長度ρ和角度θ的關(guān)系，本身就是兩個幾何量的關(guān)系。這里面通常有兩種情況：1.直線經(jīng)過極點。這時候ρ和θ幾何意義明確，在處理綜合題型時，提示選擇直線極坐標知識，利用數(shù)形結(jié)合直接處理;2.直線不經(jīng)過極點。這時候直線的極坐標方程幾何意義對高中學生來說不明顯，處理時更多考慮與直角坐標方程的互化。

直線的直角坐標方程常見的兩種形式是普通方程和參數(shù)方程。

直線普通方程是解析幾何基礎(chǔ)知識，學生理解掌握相對較好，利用公式計算或是數(shù)形結(jié)合處理。在題型考查中，體現(xiàn)在圓或圓錐曲線以參數(shù)方程形式出現(xiàn)，求其上點的參數(shù)形式到直線普通方程的距離公式求解一些范圍和最值問題。

直線的參數(shù)方程，特別是對于t幾何意義的理解比較靈活。直線的參數(shù)方程標準形式為x=x0+tcosαy=y0+tsinα（t為參數(shù)），過定點M0（x0，y0）、傾斜角α體現(xiàn)著數(shù)形結(jié)合。其中t表示直線l上以定點M0為起點，任一點M（x，y）為終點的有向線段M0M的數(shù)量。

三、數(shù)形結(jié)合，利用直線方程形式來解決典型例題中的審題和解題

合肥市2020年高三第三次教學質(zhì)量檢測中，坐標系與參數(shù)方程的選做題如下：在平面直角坐標系中，直線m的參數(shù)方程為x=tcosαy=tsinα（t為參數(shù)，0≤α<π）。以坐標原點為極點，以x軸的非負半軸為極軸，建立極坐標系。曲線E的極坐標方程為ρ2+2ρcosθ-3=0，直線m與曲線E交于A、C兩點。

（1）求曲線E的直角坐標方程和直線m的極坐標方程;

（2）過原點且與直線m垂直的直線n交曲線E于兩點B，D，求四邊形ABCD面積的最大值。

在審題和解題中，方法選擇的多樣性和不確定性讓不少學生難于取舍，或是猶豫不決。如何快速找到解題的突破口，找到這類題型的常用分析方法？直線方程的指導(dǎo)作用非常明顯。

策略1 審題中發(fā)現(xiàn)，直線m過極點，根據(jù)前面的分析，選擇直線的極坐標方程，極坐標方程中的ρ和θ幾何意義明確，|AC|=|ρA-ρC|，同理處理|BD|。

由第（1）問可得直線m的極坐標方程，帶入代入E的極坐標方程，并結(jié)合韋達定理可得|AC|=|ρ1-ρ2|=（ρ1+ρ2）2-4ρ1ρ2=2cos2α-3，用同樣方法求得|BD|=2sin2α-3，再利用SABCD=12|AC||BD|并極值判斷，便可得到SABCD的最大值為7。

策略2 根據(jù)題意，面積計算只牽涉到AC和BD的長度，我們選擇直線的參數(shù)方程。根據(jù)直線參數(shù)方程和數(shù)形結(jié)合，定點選擇為坐標原點。如圖，根據(jù)直線參數(shù)方程的幾何意義，A對應(yīng)參數(shù)為t1，B對應(yīng)參數(shù)為t2，則|OA|=t1，|OC|=-t2|AC|=|t1-t2|，只需將將直線的參數(shù)方程帶入E的直角坐標方程，化簡并結(jié)合韋達定理便可得到AC和BD的長度。

策略3 由于本題考查的是直線和圓，所以也可利用數(shù)形結(jié)合的方式，利用垂徑定理結(jié)合圖形求解。

從命題意圖看，本題考察的是極坐標與參數(shù)方程的綜合應(yīng)用，對極坐標與參數(shù)方程本身的知識理解是解題的關(guān)鍵，直線方程的三種形式是很明顯的突破口。教師要強調(diào)數(shù)形結(jié)合的重要作用，采用一題多解的方式培養(yǎng)和鍛煉學生的數(shù)學核心素養(yǎng)。

四、綜合考慮已知條件，不同角度的審題策略對直線方程形式選擇的影響

（一）牽涉到二次曲線上點到直線距離問題，優(yōu)先考慮直線的一般方程

例1在直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的方程為ρ=4cosθ。設(shè)點A的極坐標為2，π3，點B在曲線C上，求△OAB面積的最大值。

分析：審題時，OA長度一定，考慮面積公式S=12|OA|·h，h為曲線C上點B到OA的距離，根據(jù)教材中典型例題的方法，優(yōu)先考慮到直線OA的一般方程y=3x，而且曲線C的參數(shù)方程為x=2+2cosθy=2sinθ（θ為參數(shù)），把B用參數(shù)表示，根據(jù)點到直線距離公式表示出h，代入面積公式后，便可判斷出最大值。

當然，數(shù)形結(jié)合的思想方法同樣適用。根據(jù)已知條件，s=12|OA||OB|sin∠AOB，|OA|=2，設(shè)點B的極坐標為（ρB，θ）（ρB>0）.由題設(shè)知|OA|=2，ρB=4cosθ，于是△OAB面積S=12|OA|·ρB·sin∠AOB=4cosθ·sinθ-π3=2sin2a-π3-32≤2+3。當θ=-π12時，S取得最大值2+3。

（二）對于直線參數(shù)方程的非標準形式，引導(dǎo)學生抓住本質(zhì)，從幾何與代數(shù)方面做好轉(zhuǎn)化

例2 在平面直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為：x=-6-2ty=26+2t（t為參數(shù)）。以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，圓C的方程為ρ=46cosθ，

（1）求圓C的直角坐標方程;

（2）設(shè)圓C與直線l交于點A，B，求|AB|的大小。

分析：一般題目中直線的參數(shù)方程提供為標準形式，但是本題題干為直線的非標準參數(shù)方程，轉(zhuǎn)化為標準形式是我們首先的思路，是我們利用直線參數(shù)方程幾何意義解題的關(guān)鍵，如何轉(zhuǎn)化，我們可以從兩個方面來考慮，一是幾何意義，二是代數(shù)形式。

解：（1）由ρ=46cosθ，得圓C的直角坐標方程為（x-26）2+y2=24。

（2）方法一：題干所提供的是直線參數(shù)方程的非標準形式，根據(jù)直線的幾何意義，重新選擇定點，構(gòu)造新的直線的標準參數(shù)方程，化非標準參數(shù)方程為標準參數(shù)方程，利用標準方程中t的幾何意義求解。

根據(jù)圖形，取定點為（6，0），直線傾斜角為3π4，

所以，直線的標準參數(shù)方程為x=6-22ty=22t（t為參數(shù)），

方法二：根據(jù)直線參數(shù)方程標準形式的代數(shù)結(jié)構(gòu)，應(yīng)用換元的方法處理非標準形式參數(shù)方程。

直線的參數(shù)方程為x=-6-2ty=26+2tx=-6-22（2t）y=26+22（2t）（t為參數(shù)），

令s=2t，則x=-6-22sy=26+22s（s為參數(shù)）

直線參數(shù)方程化為標準形式之后，代入圓的方程，整理后根據(jù)韋達定理即可求解。

當然，對于掌握程度比較好的同學，可以提示抓住直線方程的本質(zhì)特征，直接使用直線的非標準形式來處理。直線l非標準參數(shù)方程x=x0+aty=y0+bt（t為參數(shù)），設(shè)兩點M1、M2為l上任意兩點，M1、M2對應(yīng)t的值分別為t1、t2，由兩點間距離公式可得|M1M2|=a2+b2|t1-t2|。當a2+b2=1時，非標準形式即為標準形式。

四、小結(jié)

運用極坐標與參數(shù)方程可使代數(shù)與幾何完美相結(jié)合，使許多繁雜的運算變的巧妙簡潔。處理這類題型，直線方程的三種形式指標意義明顯，對我們審題和解題都有指導(dǎo)作用。2019年全國Ⅰ卷中第二問考查圓錐曲線參數(shù)到直線的距離，考慮選擇直線方程的一般形式;全國Ⅱ卷中第一問直線過極點，第二問也是過極點，考慮選擇極坐標方程或是互化，利用數(shù)形結(jié)合解決;2018年全國Ⅱ卷參數(shù)方程幾何意義，考慮選擇直線參數(shù)方程……通過對直線形式的選擇，并以此為出發(fā)點，可以讓學生可以迅速找到的解題方法。

數(shù)學核心素養(yǎng)要求我們要將學生的數(shù)學能力構(gòu)建納入他們今后的學習和思維能力上來。高中數(shù)學學科核心素養(yǎng)是在學生數(shù)學學習過程中逐漸形成的，滿足學生終身學習和社會發(fā)展需求的綜合能力與品質(zhì)，是高中數(shù)學學科課程目標的集中體現(xiàn)。直線方程三種形式在審題和解題中的不同體現(xiàn)，既是分析方法更是解題指導(dǎo)，貫穿了思考和解題的過程，培養(yǎng)了學生的創(chuàng)造性思維和知識遷移能力，使得學科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)有依托、有根基，水到渠成。

參考文獻：

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